搜索
    上传资料 赚现金
    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法
    立即下载
    加入资料篮
    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法01
    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法02
    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法03
    还剩6页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法

    展开

    4讲 数学归纳法

     [2019考向导航]

    考点扫描

    三年考情

    考向预测

    2019

    2018

    2017

    1利用数学归纳法证明等式

     

     

     

      数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题.江苏高考命题通常与推理、数列、不等式证明等知识结合来考查逻辑推理能力.

    2.利用数学归纳法证明不等式

     

     

     

    1数学归纳法的运用步骤

    (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;

    (2)(归纳递推)假设nk(kn0kN*)时命题成立证明当nk1时命题也成立.

    只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.

    2运用数学归纳法要注意的问题

    (1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法它们的表述严格而且规范两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础第二步是递推的依据第二步中归纳假设起着已知条件的作用nk1时一定要运用它否则就不是数学归纳法.第二步的关键是一凑假设二凑结论”.

    (2)在用数学归纳法证明等式的过程中要注意等式两边的构成规律两边各有多少项并注意初始值n0是多少.要注意从kk1时命题中的项与项数的变化,防止对项数估算错误.

    (3)当遇到与正整数n有关的不等式证明时若用其他办法不容易证则可考虑应用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立推证nk1时也成立证明时用上归纳假设后可采用求差(求商)比较法、放缩法等证明.

    利用数学归纳法证明等式

    [典型例题]

    (2019·常德模拟)a>0f(x)a11an1f(an)nN*

    (1)写出a2a3a4的值并猜想数列{an}的通项公式;

    (2)用数学归纳法证明你的结论.

    】 (1)因为a11所以a2f(a1)f(1)

    a3f(a2)a4f(a3)

    猜想an(nN*)

    (2)证明:易知n1猜想正确.

    假设nk(k1kN*)时猜想正确

    ak

    ak1f(ak)

    这说明nk1时猜想正确.

    ①②对于任何nN*都有an

    归纳——猜想——证明的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例猜想出一般性的结论然后用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明其关键点在于弄清等式两边的构成规律等式两边各有多少项以及初始值n0的值.由nknk1除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子即充分利用假设正确写出归纳证明的步骤从而使问题得以证明.

    [对点训练]

    1将正整数作如下分组:(1)(23)(456)(78910)(1112131415)(161718192021)分别计算各组包含的正整数的和如下:

    S11

    S2235

    S345615

    S47891034

    S5111213141565

    S6161718192021111

    试猜测S1S3S5S2n1的结果并用数学归纳法证明.

    [] 由题意知n1S1114

    n2S1S31624

    n3S1S3S58134

    n4S1S3S5S725644

    猜想:S1S3S5S2n1n4

    下面用数学归纳法证明:

    (1)n1S1114等式成立.

    (2)假设当nk(k1kN*)等式成立

    S1S3S5S2k1k4

    那么nk1S1S3S5S2k1S2k1k4[(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)]k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4

    这就是说nk1等式也成立.

    根据(1)(2)可知对于任意的nN*S1S3S5S2n1n4都成立.

    利用数学归纳法证明不等式

    [典型例题]

    (2019·常州期末检测)n个正数a1a2an满足a1a2≤…≤an(nN*n3)

    (1)n3证明:a1a2a3

    (2)n4不等式a1a2a3a4也成立请你将其推广到n(nN*n3)个正数a1a2an的情形归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.

    】 (1)证明:因为an(nN*n3)均为正实数

    右=

    0

    所以原不等式a1a2a3成立.

    (2)归纳的不等式为:

    a1a2an(nN*n3)

    Fn(a1a2an)

    n3(1)不等式成立;

    假设当nk(kN*k3)不等式成立

    Fk(a1a2ak)0

    则当nk1

    Fk1(a1a2akak1)

    Fkak1

    Fkak1akak1(ak1ak)

    0aak1(ak1ak)

    (ak1ak)

    因为ak1ak22

    所以Fk10

    所以当nk1不等式成立.

    综上所述不等式a1a2an(nN*n3)成立.

    用数学归纳法证明不等式问题时nknk1的推证过程中证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等有时还要考虑与原不等式等价的命题运用放缩法时要注意放缩的”.

    [对点训练]

    2(2019·盐城中学开学考试)已知数列{an}的各项均为正整数对于任意nN*都有22成立a24

    (1)a1a3的值;

    (2)猜想数列{an}的通项公式并给出证明.

    [] (1)因为22a24

    n1222

    即有22

    解得a1.因为a1为正整数a11

    n2262

    解得8a310所以a39

      (2)a11a24a39猜想:ann2

    下面用数学归纳法证明.

    n123(1)ann2均成立.

    假设nk(k3kN*)时成立akk2,

    由条件得2k(k1)2

    所以ak1

    所以(k1)2ak1(k1)2

    因为k30101

    ak1N*所以ak1(k1)2

    nk1ann2也成立.

    ①②对任意nN*ann2

    1(2019·东海中学质检)已知点Pn(anbn)满足an1an·bn1bn1(nN*)且点P1的坐标为(11)

    (1)求过点P1P2的直线l的方程;

    (2)试用数学归纳法证明:对于nN*Pn都在(1)中的直线l上.

    [] (1)由题意得a11b1=-1

    b2a21×

    所以P2

    所以直线l的方程为2xy1

    (2)证明:n12a1b12×1(1)1成立.

    假设nk(k1kN*)2akbk1成立.

    2ak1bk12ak·bk1bk1·(2ak1)1

    所以当nk1

    2ak1bk11也成立.

    ①②对于nN*都有2anbn1即点Pn都在直线l上.

    2(2019·南京市四校联考)已知平面内有n(n2nN*)条直线其中任意两条不平行任意三条不共点设这n条直线将平面分成f(n)个区域f(2)4f(3)7

    (1)试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法加以证明;

    (2)请用类比的方法写出n个平面将空间最多分成多少个部分.(不要求证明)(注:122232n2)

    [] (1)通过画图可求出f(4)11f(5)16观察发现:

    f(3)f(2)3f(4)f(3)4f(5)f(4)5

    猜想f(n)f(n1)n进而用累加法求得f(n)f(2)n(n1)3

    所以f(n)1

    下面用数学归纳法证明.

    n2f(2)4显然成立;

    假设当nk(k2kN*)时成立f(k)1则当nk1因为第k1条直线与前面的k条直线都不平行而且也不交于同一点(因为任意三条直线不共点)所以第k1条直线与其他k条直线有k个交点k个交点将第k1条直线分成k1其中每一段都将所在区域一分为二所以增加了k1个区域

    所以f(k1)f(k)k1

    由归纳假设得f(k1)f(k)k1k1111

    即当nk1时也成立.

    综合①②f(n)1对任意的n(n2nN*)均成立.所以f(n)1(n2nN*)

    (2)设这n个平面将空间最多分成g(n)个部分当这n个平面任意两个不平行任意三个不共线(即交线不重合)时才能最多用类比法得g(n1)g(n)f(n)从而求得g(n)4f(2)f(n1)

    3(2019·南通市高三模拟)已知函数f0(x)x(sin xcos x)fn(x)fn1(x)的导数nN*

    (1)f1(x)f2(x)的表达式;

    (2)写出fn(x)的表达式并用数学归纳法证明.

    [] (1)因为fn(x)fn1(x)的导数

    所以f1(x)f0(x)

    (sin xcos x)x(cos xsin x)

    (x1)cos x(x1)(sin x)

    同理f2(x)=-(x2)sin x(x2)cos x

    (2)(1)f3(x)f2(x)=-(x3)cos x(x3)·sin x

    f1(x)f2(x)f3(x)分别改写为

    f1(x)(x1)sin(x1)cos

    f2(x)(x2)sin(x2)cos

    f3(x)(x3)sin(x3)cos

    猜测fn(x)(xn)sin(xn

    cos(*)

    下面用数学归纳法证明上述等式.

    n1(1)等式(*)成立.

    假设当nk(k1kN*)等式(*)成立

    fk(x)(xk)sin(xk)cos

    则当nk1

    fk1(x)fk(x)

    sin(xk)coscos(xk)

    (xk1)cos[x(k1)]·

    [x(k1)]sin[x(k1)]·cos

    即当nk1等式(*)成立.

    综上所述nN*fn(x)(xn)sin(xn)cos成立.

    4(2019·江苏名校高三入学摸底)fn(x)1x(nN*)记集合Mn{x|fn(x)0}的元素个数是mn

    (1)m1m2m3m4

    (2)mn并用数学归纳法证明.

    [] (1)因为f1(x)1x0x=-1所以m11

    因为f2(x)1x0Δ14×=-1<0

    所以m20

    因为f3(x)1xf3(x)1xf2(x)>0所以f3(x)R上单调递增f3(2)122=-<0f3(0)1>0

    f3(x)R上有唯一的零点m31

    因为f4(x)1xf4(x)1xf3(x)所以f4(x)有唯一的零点设为x0x0(20)则当x<x0f4(x)<0f4(x)单调递减;当x>x0f4(x)>0f4(x)单调递增所以f4(x)minf4(x0)f3(x0)>0所以f4(x)0无解m40

    (2)猜想:当n为偶数时mn0;当n为奇数时mn1

    下面用数学归纳法证明.

    n为奇数时fn(x)R上单调递增且值域为R

    n为偶数时fn(x)>0恒成立这里fn(x)1x(nN*)求导得fn(x)1xfn1(x)(nN*)

    (1)n12结论成立.

    假设当nk1(k2kN*)结论成立则当nk

    k为偶数时fk(x)1x(kN*)fk(x)fk1(x)

    因为k1为奇数由归纳假设得fk1(x)R上单调递增且值域为R所以方程fk1(x)0有且仅有一个实数根设为x0(x0<0)x<x0fk(x)<0fk(x)单调递减x>x0fk(x)>0fk(x)单调递增

    所以fk(x)minfk(x0)fk1(x0)>0

    所以fk(x)0无解mk0

    k为奇数时k1为偶数由归纳假设得fk1(x)>0fk(x)fk1(x)>0fk(x)R上单调递增.

    k为奇数

    所以fk(x)的值域为()

    所以方程fk(x)0有且仅有一个实数根mk1

    综合①②可得结论成立.

     

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:0份资料
    • 充值学贝下载 90%的用户选择 本单免费
    • 扫码直接下载
    选择教习网的 4 个理由
    • 更专业

      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿

    • 更丰富

      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;500万+优选资源 ⽇更新5000+

    • 更便捷

      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤

    • 真低价

      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣

    开票申请 联系客服
    本次下载需要:0学贝 0学贝 账户剩余:0学贝
    本次下载需要:0学贝 原价:0学贝 账户剩余:0学贝
    了解VIP特权
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送

        扫码支付后直接下载

        0元

        扫码支付后直接下载

        使用学贝下载资料比扫码直接下载优惠50%
        充值学贝下载,本次下载免费
        了解VIP特权
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付(支持花呗)

        到账0学贝
        • 微信
        • 支付宝

        微信扫码支付

        支付宝扫码支付 (支持花呗)

          下载成功

          Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

          若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

          本资源来自成套资源

          更多精品资料

          正在打包资料,请稍候…

          预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

          服务器繁忙,打包失败

          请联系右侧的在线客服解决

          单次下载文件已超2GB,请分批下载

          请单份下载或分批下载

          支付后60天内可免费重复下载

          我知道了
          正在提交订单

          欢迎来到教习网

          • 900万优选资源,让备课更轻松
          • 600万优选试题,支持自由组卷
          • 高质量可编辑,日均更新2000+
          • 百万教师选择,专业更值得信赖
          微信扫码注册
          qrcode
          二维码已过期
          刷新

          微信扫码,快速注册

          还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

          手机号注册
          手机号码

          手机号格式错误

          手机验证码 获取验证码

          手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

          设置密码

          6-20个字符,数字、字母或符号

          注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
          QQ注册
          手机号注册
          微信注册

          注册成功

          下载确认

          下载需要:0 张下载券

          账户可用:0 张下载券

          立即下载

          如何免费获得下载券?

          加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

          即将下载

          2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第4讲 数学归纳法

          该资料来自成套资源,打包下载更省心

          [共10份]
          浏览全套
            立即下载(共1份)
            返回
            顶部