高中北师大版 (2019)1.3 集合的基本运算公开课第2课时2课时教案设计

这是一份高中北师大版 (2019)1.3 集合的基本运算公开课第2课时2课时教案设计，共7页。

第2课时 全集与补集











1．全集


在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合．


思考1：在研究数集时，全集一定是实数集R?


提示：全集是一个相对概念，可以根据所研究问题的不同，选择不同的全集．比如，在研究素数时，可选择正整数集为全集．


2．补集


思考2：∁AC与∁BC相等吗？为什么？


提示：不一定．依据补集的含义，符号∁AC和∁BC都表示集合C的补集，但是∁AC表示集合C在全集A中的补集，而∁BC表示集合C在全集B中的补集，由于集合A和B不一定相等，所以∁AC与∁BC不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．





1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁UM＝( )


A．U B．{1，3，5}


C．{3，5，6} D．{2，4，6}


C [∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁UM＝{3，5，6}．]


2．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，M＝{1，2}，N＝{2，5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )





A．{3，4，5} B．{1，3，4}


C．{1，2，5} D．{3，4}


D [由图可知，阴影部分表示的集合是∁U(M∪N).


∵M∪N＝{1，2，5}，又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(M∪N)＝{3，4}．]


3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝_____．


{x|0＜x＜1} [∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁UA＝{x|0＜x＜1}．]


4．设全集U＝R，A＝{x|x<－1或x>1}，B＝{x|x－2≥0}，判断∁UA与∁UB之间的关系．


[解] 因为A＝{x|x<－1或x>1}，


所以∁UA＝{x|－1≤x≤1}．


因为B＝{x|x－2≥0}，


所以∁UB＝{x|x<2}，


所以∁UA∁UB.








补集运算


【例1】 已知全集U，A＝{x|23}，B＝{x|4≤x＜6}，求∁UB.


[思路点拨] 利用A∪(∁UA)＝U先求出全集U，然后求∁UB.


[解] 因为A＝{x|23}，如数轴：





所以U＝A∪(∁UA)＝{x|x>2}，


所以∁UB＝{x|2




1．解答本题，依据A∪(∁UA)＝U求全集U是关键环节．


2．求补集， 一是利用补集定义或性质；二是借助于Venn图或数轴来求解．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．(1)已知集合A＝{x|x＜1}，则∁RA＝( )


A．{x|x＞1} B．x≥1


C．{x|x≥1} D．∅


(2)设集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N*\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤6))))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，4))，则∁AB＝( )


A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2，4)) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3，5))


C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，5，6)) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，3，5，6))


(1)C (2)C [(1)结合补集的定义，借助数轴知∁RA＝{x|x≥1}．


(2)因为A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5，6))，所以∁AB＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，3，5，6)).]





交、并、补的综合运算


【例2】 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

[思路点拨] 先计算括号内的部分，再进行其它运算．


[解] 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：





由图知，A∪B＝{x|2

∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，


∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，


∴(∁RA)∩B＝{x|2




在进行集合的混合运算时


(1)对于集合的混合运算，要注意运算的顺序，如求(∁UA)∩B时，应先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，可先求出A∪B，再求补集．


(2)若集合是离散的数集，可以借助Venn图进行运算；若集合是连续的数集，可以借助数轴进行运算．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．(1)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )


A．{6，8} B．{5，7}


C．{4，6，7} D．{1，3，5，6，8}


(2)设集合A＝{x|1

A．(1，4) B．(3，4)


C．(1，3) D．(1，2)∪(3，4)


(1)A (2)B [(1)∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，∴∁U(A∪B)＝{6，8}．


(2)∵∁RB＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－1))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，＋∞))，∴A∩(∁RB)＝(3，4).]





补集及补集思想的应用


[探究问题]


设A与B是全集U的两个子集，


1．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅，则集合A与B有什么关系？


提示：A⊇B.


2．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∪B＝U，则集合A与B有什么关系？


提示：A⊆B.


3若∁UA⊆∁UB，则集合A与B有什么关系？


提示：A⊇B.


【例3】 设全集U＝R，A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＋m≥0))))，B＝{x|－2

[思路点拨] 法一： eq \x(由A求∁UA) eq \(――――→,\s\up9(结合数轴),\s\d7(∁UA∩B＝∅)) eq \x(\a\al(建立m的,不等关系))


法二： eq \x(（∁UA）∩B＝∅) eq \(――――→,\s\up9(等量转化)) eq \x(B⊆A)


[解] 法一：∁UA＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＋m<0))))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－m))))


∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅，





∴－m≤－2，∴m≥2.


法二：A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－m))))，


由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅，得A⊇B，





∴－m≤－2，∴m≥2.





1．若将本例中的“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅”改为“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝B”，求实数m的值．


[解] 由已知得∁UA＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<－m))))，∁UA⊇B，所以－m≥4，解得m≤－4.


2．若将本例中的“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅”改为“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UB))∪A＝R”，求实数m的值．


[解] 由已知得，A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－m))))，A⊇B，所以－m≤－2，解得m≥2.


3．若将本例中的“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅”改为“ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B≠∅”，求实数m的值．


[解] 由例3知，当 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B＝∅时，m≥2，所以当 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∩B≠∅时，m<2.





1．要注意下面五个关系式A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UB))＝∅、 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))∪B＝U都与A⊆B等价．


2．对于一些难于从正面入手的问题，在解题时，可以从问题的反面入手，往往能化难为易，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略．该策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，则可先求∁UA，再由∁U eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))＝A求A.











1．求一个集合的补集时，要明确全集，同一集合在不同全集下，得到的补集也是不同的．


2．在正向思维受阻时，改用逆向思维，这就是“正难则反”的解题策略，它是补集思想的应用．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)∁QA＝∁RB .( )


(2)∁UU＝∅，且∁U∅＝U.( )


(3)若A⊆B，则∁UA⊆∁UB.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)×


2．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )


A．{2} B．{1，2，4}


C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}


B [A∪B＝{1，2，4，6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1，2，4}．]


3．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________，(∁UA)∩(∁UB)＝________．


{2，4} {6} [∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}


∴∁UA＝{1，3，6，7}，∁UB＝{2，4，6}．


∴A∩(∁UB)＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，


(∁UA)∩(∁UB)＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}．]


4．设全集U＝R，M＝{x|3a

[解] ∁UP＝{x|x<－2或x>1}，


∵M⊆∁UP，∴分M＝∅，M≠∅两种情况讨论．


(1)M＝∅时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5，


(2)M≠∅时，如图可得：





eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a<2a＋5,2a＋5≤－2))，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a<2a＋5,3a≥1))，


∴a≤－ eq \f(7,2)或 eq \f(1,3)≤a<5，


综上可知，


实数a的取值范围为{a|a≥ eq \f(1,3)或a≤－ eq \f(7,2)}．


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的含义及符号表示．(易混点)


2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定集合的补集．(重、难点)


3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点)
1．通过补集的运算，培养数学运算素养．


2．借助集合对实际生活中的对象进行判断归类，培养数学抽象素养．
补集
文字语言
设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作∁UA
图形语言
符号语言
{x|x∈U，且xA}
性质
A∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))＝U，A∩ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∁UA))＝∅，∁U(∁UA)＝A