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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第1章 §1 1.3 第1课时 交集与并集
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时教学设计

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算优秀第1课时教学设计,共7页。

    1.3 集合的基本运算


    第1课时 交集与并集











    1.交集与并集的定义


    思考1:在什么条件下,集合A∪B的元素个数等于集合A与B的元素个数之和?


    提示:A∩B=∅.


    2.交集与并集的运算性质


    思考2:交集与并集的运算满足结合律吗?


    提示:满足.





    1. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是矩形))))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是菱形))))=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是平行四边形)))) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是矩形))))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是菱形)))) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x是正方形))))


    [答案] D


    2.设M= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,0,1)),N= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,1,2)),则M∩N=________;M∪N=________.


    [答案] eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,1)) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,0,1,2))


    3.若集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(-32))))则A∪B=________.


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>-3)))) [如图





    所以A∪B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x>-3)))).]


    4.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},且9∈(A∩B),求a的值.


    [解] ∵9∈(A∩B),∴9∈B且9∈A,


    ∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.


    当a=3时,a-5=1-a=-2,集合B的元素不满足互异性,所以a=5或a=-3.








    交集运算


    【例1】 (1) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等腰三角形))∩{x|x是等边三角形}=______.


    (2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))-1≤x≤2))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤4))=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤2)) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤2))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))0≤x≤4)) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤4))


    (3)已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x=3n+2,n∈Z)))),B={6,8,10,12,14},则集合A∩B元素的个数为( )


    A.5 B.4 C.3 D.2


    (1){x|x是等边三角形} (2)A (3)D [(1)因为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等边三角形))⊆{x|x是等腰三角形},


    所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等腰三角形))∩ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等边三角形))={x|x是等边三角形}.


    (2)如图,





    所以{x|-1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤x≤2)))).


    (3)因为8=3×2+2;14=3×4+2,


    所以A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(8,14)).]





    1.在进行集合的交集运算时,要根据交集的定义进行运算,尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时要用Venn图表示;集合元素是连续时用数轴表示,但要注意端点值的取舍.


    2.恰当地使用交集的交换律与结合律,可简化运算过程.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.(1)已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2)),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,-1,0,1,2)),则A∩B=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2)) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,2))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0)) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,-1,0,1,2))


    (2)设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(-1≤x<2)))),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x

    A.-12


    C.a≥-1 D.a>-1


    (1)A (2)D [(1)由交集的定义可知,A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2)).


    (2)在数轴上表示两集合,





    由上图可知,当a>-1时,A∩B≠∅.]





    并集运算


    【例2】 (1)设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2+2x=0)))),B={x|x2-2x=0},则A∪B=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0)) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,0)) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,0,2))


    (2)已知集合M= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))-35)))),则M∪N=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<-5,或x>-3))))


    B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))-5

    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))-3

    D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<-3,或x>5))))


    (3)已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,4,x)),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,x2)),且A∪B={1,4,x2},则满足条件的实数x的个数为( )


    A.1个 B.2个


    C.3 个 D.4个


    (1)D (2)A (3)A [(1)因为A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,-2)),B={0,2},所以A∪B={-2,0,2}.


    (2)如图,在数轴上表示两集合,





    所以M∪N= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x<-5,或x>-3)))).


    (3)由A∪B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,4,x2)),得x=x2,又x≠1,所以x=0.]





    在进行集合的并集运算时


    (1)若集合是用列举法表示的,可以直接用并集的定义求解,但要注意集合元素的互异性.


    (2)若集合是连续的数集,可以借助数轴进行运算.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.(1)已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,2)),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<0 )),则A∪B=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))≤0,或x=2 )) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<0 ))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))≤2 )) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x))<2 ))


    (2)设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥0)))),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(-1≤x≤2)))),则A∪B=________.


    [答案] (1)A (2) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥-1))))





    集合的交与并的性质的应用


    [探究问题]


    设A与B是两个集合,


    1.若A∩B=A,则集合A与B有什么关系?


    提示:A⊆B.


    2.若A∪B=A,则集合A与B有什么关系?


    提示:A⊇B.


    3.若A∩B=A∪B,则集合A与B有什么关系?


    提示:A=B.


    【例3】 设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(-3

    [思路点拨] eq \x(A∪B=A) eq \(――――→,\s\up9(等价转化)) eq \x(B⊆A) eq \(――――――→,\s\up9(分B=∅和B≠∅)) eq \x(建立k的不等关系) eq \(――→,\s\up9(求交集)) eq \x(得k的范围)


    [解] 由A∪B=A,得A⊇B.


    当B=∅,即k+1>2k-1,k<2时,满足题意;


    当B≠∅时,要使A⊇B,只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-3

    综上,k的取值范围是k≤ eq \f(5,2).





    1.对于本例中的集合A,B,是否存在实数k,使A∩B=A?


    [解] 若A∩B=A,则A⊆B.


    所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-3≥k+1,4≤2k-1)) ,该不等式组无解,故实数k不存在.


    2.若将本例中的“A∪B=A”改为“A∪B={x|-3

    [解] 由题意知, eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-3

    所以实数k的值是3.





    已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的条件.解决这类问题要合理利用数轴、Venn图帮助分析.


    提醒: 在涉及集合关系时,必须关注空集的存在,否则会因为遗漏空集使解题不完整.











    1.对于交集、并集的定义,要注意“且”与“或”的理解,其中“或”与通常所说的“非此即彼”有本质性的区别,“x∈A或x∈B”包含下列三种情况:(1)x∈A,但xB,(2)x∈A,且x∈B;(3)xA,但x∈B.


    2.在进行集合的运算时,要根据定义进行运算,恰当地使用交集与并集的运算律,可简化运算过程.


    3.对于数集的运算,尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)A∩B⊆A∪B.( )


    (2)若A⊆B,则A∩B=A.( )


    (3)集合A∪B的元素个数,就是集合A,B的元素个数之和.( )


    (4)若A∪B=A∪C,则B=C.( )


    [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×


    2.已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,1,2,3,4,5)),B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,3,6,9)),C= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3,7,8)),则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B))∪C=( )


    A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0,1,2,6)) B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3,7,8))


    C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,3,7,8)) D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,3,6,7,8))


    C [因为A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,3)),所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B))∪C={1,3,7,8}.]


    3.设集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x+y=0)))),B={(x,y)|x-y=2},则集合A∩B=________.


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-1)))) [A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x,y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x+y=0,x-y=2))))))= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,-1)))).]


    4.已知集合A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2-px-2=0)))),B={x|x2+qx+r=0}.且A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2)),A∪B={-2,1,5},求p,q,r的值.


    [解] 由A∩B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2)),知-2∈A,


    ∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2)) eq \s\up8(2)- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))p-2=0,


    解得p=-1.


    ∴A= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x2+x-2=0))))= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,1)),


    又∵A∪B={-2,1,5},


    ∴B= eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,5)),


    ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(-q=-2+5,r=\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))×5)) ,解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q=-3,r=-10)) ,


    所以,p=-1,q=-3,r=-10.





    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集.(重点、难点)


    2.能使用Venn图表达集合的关系与运算,体会图示对理解抽象概念的作用.(难点)
    1.借助Venn图培养直观想象素养.


    2.通过并集与交集的运算,提升数学运算素养.
    交集
    并集
    文字


    叙述
    由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”.
    由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”.
    图示


    表示
    符号


    表示
    A∩B={x|x∈A,且x∈B}
    A∪B={x|x∈A,或x∈B}
    交集的运算性质
    并集的运算性质
    A∩B=B∩A
    A∪B=B∪A
    A∩A=A
    A∪A=A
    A∩∅=∅
    A∪∅=A
    A⊆B⇔A∩B=A
    A⊆B⇔A∪B=B
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          (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第1章 §1 1.3 第1课时 交集与并集

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