高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第1课时导学案

1.3集合的基本运算

第1课时　交集与并集

公务员，是指在各级政府机关中，行使国家行政职权，执行国家公务的人员．每年都有很多人报名参加考试，常出现一个岗位若干人争夺的局面．

2020国家公务员考试报考条件中规定，报考人员应符合以下条件(摘录)：(1)具有中华人民共和国国籍；(2)18周岁以上、35周岁以下(1983年10月至2001年10月期间出生)，2020年应届硕士研究生和博士研究生(非在职)人员年龄可放宽到40周岁以下(1978年10月以后出生)；……(7)具有大学专科及以上文化程度．

[问题]　根据以上条件，哪些人可以报名参加公务员考试呢？

知识点一　交集

对交集概念的理解

(1)运算结果：A∩B是一个集合，由集合A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；

(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；

(3)A∩B＝∅的含义：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集．　　　　

若A∩B＝A，则A与B有什么关系？

提示：若A∩B＝A，则A⊆B.

1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－1，0，3}，则A∩B＝________．

答案：{－1，0}

2．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，C＝{x|x≤－3}，则A∩B＝________，A∩C＝________．

答案：{x|2＜x＜4}　∅

知识点二　并集

对并集概念的理解

(1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)；

(2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”．　　　　

1．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　)

A．{x|－1≤x＜3}　　　 B．{x|－1≤x≤4}

C．{x|x≤4}  D．{x|x≥－1}

解析：选C　在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．

2．设集合M＝{4，5，6，8}，N＝{3，5，7，8}，则M∪N＝________．

答案：{3，4，5，6，7，8}

[例1]　(链接教科书第9页例6)(1)已知集合A＝{－2，0，3}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝(　　)

A．∅　　　　　　　  B．{2}

C．{0}  D．{－2}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)

A．{x|0≤x≤2}  B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}  D．{x|1≤x≤4}

[解析]　(1)方程x2－x－2＝0的解为x＝－1或2，∴B＝{－1，2}，∴A∩B＝∅.故选A.

(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．

[答案]　(1)A　(2)A

求两个集合的交集的方法

(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；

(2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·南通高一月考)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)

A．{0}  B．{2}

C．{1，2}  D．{0，1，2}

解析：选B　∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故选B.

2．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　)

A．x＝3，y＝－1  B．(3，－1)

C．{3，－1}  D．{(3，－1)}

解析：选D　由得故M∩N＝{(3，－1)}.

[例2]　(链接教科书第10页练习3题)(1)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　)

A．{x|x＜－5或x＞－3}

B．{x|－5＜x＜5}

C．{x|－3＜x＜5}

D．{x|x＜－3或x＞5}

(2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．8

[解析]　(1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A.

(2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C.

[答案]　(1)A　(2)C

求集合并集的2种基本方法

(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·吉林实验中学高一月考)已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝(　　)

A．{x|3≤x＜4}  B．{x|x≥2}

C．{x|2≤x＜4}  D．{x|2≤x≤3}

解析：选B　由集合B知5x≥15，即x≥3，结合数轴(图略)知A∪B＝{x|x≥2}，故选B.

2．(多选)满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A可能是(　　)

A．{5}  B．{1，5}

C．{3}  D．{1，3}

解析：选AB　由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A⊆{1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素．而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．

[例3]　集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}．

(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；

(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围．

[解]　(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝∅，如图①所示，∴数轴上点x＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴{a|a≤－1}．

(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，如图②所示，∴数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴{a|－1＜a≤1}．

[母题探究]

(变条件)本例(1)中，把“A∩B＝∅”改为“A∩B≠∅”，求a的取值范围．

解：利用数轴(略)表示出两个集合，数形结合知，要使A∩B≠∅，需数轴上点x＝a在点x＝－1右侧且不包含点x＝－1，所以{a|a＞－1}．

利用集合交集、并集的性质解题的方法

(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合的基本关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理；

(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时一定要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．　　　　

[跟踪训练]

1．若A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，A∩B＝{9}，则x＝________．

解析：由A∩B＝{9}可知9∈A，则x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5.

①当x＝3时，x－5＝1－x＝－2，集合B中元素不满足互异性，故舍去x＝3；

②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，满足题意；

③当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾，故舍去x＝5.

综上可知，x＝－3.

答案：－3

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

(1)求A∩B；

(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意得B＝{x|x≥2}，

∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．

(2)由题意得C＝，

∵B∪C＝C，∴B⊆C，

∴－＜2，解得a＞－4.

∴实数a的取值范围是{a|a>－4}．

1．(2019·北京高考)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，则A∪B＝(　　)

A．(－1，1)  B．(1，2)

C．(－1，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：选C　

将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．由图可得A∪B＝{x|x>－1}．故选C .

2．(2019·天津高考)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)

A．{2}  B．{2，3} 

C．{－1，2，3}  D．{1，2，3，4}

解析：选D　∵A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}，∴(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D.

3．设S＝{x|x＜－1或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　)

A．－3＜a＜－1  B．－3≤a≤－1

C．a≤－3或a＞－1  D．a＜－3或a＞－1

解析：选A　在数轴上表示集合S，因为S∪T＝R，由数轴可得解得－3＜a＜－1.故选A.

4．(2021·济宁第一学期质量检测)已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则集合A∩B＝(　　)

A．{0}  B．{－1，0}

C．{0，1}  D．{－1，0，1}

解析：选B　A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0}．故选B.

5．已知集合A＝{x∈R|2x－3≥0}，B＝{x∈R|x＜a}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________．

解析：A＝{x∈R|2x－3≥0}＝，B＝{x∈R|x＜a}，因为A∩B＝∅，所以a≤.

答案：