苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集精品第2课时2课时学案设计

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第2课时 全集、补集








如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，所有男同学组成的集合记为E，集合E，F和S之间有怎样的关系？E，F之间有怎样的关系？





1．补集


(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．


(2)符号表示


∁SA＝{x|x∈S，且xA}．


(3)图形表示：


(4)补集的性质


①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A．


2．全集


如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)一个集合的补集中一定含有元素．( )


(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集．( )


(3)一个集合的补集的补集是其自身．( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁UA＝ ．


{x|－1＜x≤0} [根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以∁UA＝{x|－1＜x≤0}．]





【例1】 (1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则∁UA等于 ．


(2)(一题两空)已知集合U＝{x|x≤10，x∈N}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则∁UA＝ ，∁UB＝ ．


(3)已知集合U＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，A＝{(x，y)|y＝x,0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈N}，则∁UA＝ ．


[思路点拨] (1)利用数轴将集合表示出来再求补集．


(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．


(3)利用列举法表示出全集U，集合A这两个点集，再求A，B的补集．


(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}


(2){0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10} (3){(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)} [(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知∁UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．





(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，


因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以∁UA＝{0,2,4,6,8,10}．


因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以∁UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．


(3)已知集合U＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，A＝{(x，y)|y＝x,0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈N，}＝{(0,0)，(1,1)，(2,2)}，


所以∁UA＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．]





1．求补集∁UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：


(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．


(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．


(3)利用Venn图求解．


2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，∁UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．


3．解决集合问题注意分清集合类型，不要混淆数集与点集．





eq \([跟进训练])


已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2

{x|－3≤x≤－2或x>4} [将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．





所以∁UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．]


[探究问题]


1．若M⊆N，则∁UM与∁UN有什么关系？


[提示] 由Venn图可知，若M⊆N，∁UM⊇∁UN．





反之，若∁UM⊇∁UN，则M⊆N，即M⊆N⇔∁UM⊇∁UN．


2．若M⊆N，针对M应考虑的两种情况是什么？


[提示] 两种情况是M＝∅和M≠∅．


【例2】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，求集合B．


[思路点拨] 先由集合A与∁UA求出全集U，再由补集的定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B．


[解] 法一：∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，


∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．


又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．


法二：借助Venn图，如图所示．


由图可知B＝{2,3,5,7}．





【例3】 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．


[思路点拨] 首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．


[解] 若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2．


此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB；


若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，


此时∁UB＝{x|x2a－1}，


由于A⊆∁UB，如图，





则a＋1>5，所以a>4，


所以实数a的取值范围为a<2或a>4．





(变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围．


[解] ∁UA＝{x|x<－2或x>5}．


因为B⊆∁UA，


当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA．


当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅．


所以2a－1<－2或a＋1>5，


即a>4，


综上，a的取值范围为a<2或a>4．





1．解决此类问题应注意以下几点


(1)空集作为特殊情况，不能忽略；


(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；


(3)端点值能否取到，应注意分析．


2．U是由集合A与∁UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈∁UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．











1．∁UA的数学意义包括两个方面：①A⊆U，也即暗含了A必须是U的子集这一条件；②∁UA＝{x|x∈U，且xA}．


2．补集是集合间的关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想．





1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则∁UB＝ ．


{1,2} [根据补集的定义∁UB＝{x|x∈U且xB}＝{1,2}．]


2．若全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x>0，y>0，x，y∈R}，则∁UA＝ ．


{(x，y)|x≤0或y≤0，x，y∈R} [因为A＝{(x，y)|x>0，y>0，x，y∈R}，所以∁UA＝{(x，y)|x≤0或y≤0，x，y∈R}．]


3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3

[答案] {x|－4≤x≤－3，或2

4．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2

(1)求∁UA，∁UB；


(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．


[解] (1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2

所以借助于数轴知∁UA＝{x|x<3，或x≥10}，


∁UB＝{x|x≤2，或x>7}．





(2)要使A⊆C，只需a<3即可．所以a的取值范围为{a|a<3}．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)


2．能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
通过求集合的补集来提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养．
集合的补集
补集与子集的综合应用