北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品教案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品教案，共7页。

2.2 全称量词与存在量词











1．全称量词与全称量词命题


(1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示．读作“对任意的”


(2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．


思考1：“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？


提示： 该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．


2．存在量词与存在量词命题


(1)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．


(2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．


思考2：“不等式x2－1<0有解”是全称量词命题还是存在量词命题？用符号表示该命题。


提示：是存在量词命题，可表示为“∃x∈R，x2－1<0”．


3．全称量词命题与存在量词命题的否定


思考3：含有一个量词的命题和它的否定一定是一真一假吗？


提示：一定是一真一假．





1．下列命题中是全称量词命题的个数( )


①任意一自然数都是正整数 ②有些菱形是正方形 ③三角形内角和是180°


A．0 B．1 C．2 D．3


[答案] C


2．下列四个命题中的真命题是( )


A．∃x0∈Z，1<4x0<3


B．∃x0∈Z，2x0－1＝0


C．∀x∈R，x2－1＝0


D．∀x∈R，x2＋1>0


D [∀x∈R，x2≥0⇒x2＋1≥1>0.]


3．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是________．


[答案] ∃x∈R，x2<0


4．写出下列命题的否定，并判断真假．


(1)∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；


(2)有些质数是奇数；


(3)∃x∈R，|x|＞0.


[解] (1)∃x0∈R，使x0是5x－12＝0的根，真命题．


(2)每一个质数都不是奇数，假命题．


(3)∀x∈R，|x|≤0，假命题．








全称量词命题与存在量词命题的判断


【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．


(1)对任意实数x，都有x2＋2>0.


(2)存在x0∈R，使2x0＋1＝3.


(3)至少有一个自然数小于0.


(4)对每一个无理数x，x2也是无理数．


[思路点拨] 根据命题中出现的量词或者隐含的量词判断命题类型．


[解] (1)是全称量词命题，真命题；


(2)是存在量词命题，真命题；


(3)是存在量词命题，假命题；


(4)是全称量词命题，假命题．





1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中是否含有全称量词，或者存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，但是可以根据命题的意义去判断．


2．存在量词命题真假的判断


要判断存在量词命题“存在x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))成立即可；如果在集合M中，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．


(1)任意一个二次函数的图象都与y轴相交；


(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被3整除；


(3)所有的素数都是奇数；


(4)三角形都有外接圆．


[解] (1)是全称量词命题，真命题．


(2)是存在量词命题，真命题．


(3)是全称量词命题，假命题．


(4)是全称量词命题，真命题．





含有一个量词的命题的否定


【例2】 (1)命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )


A．∃x<0，x3 ＋ x< 0 B．∃x<0，x3＋ x≥0


C．∃x≥0，x3＋ x< 0 D．∀x≥0，x3＋ x< 0


(2)命题“存在x∈Z，x2＋2x＋m≤0”的否定是( )


A．存在x∈Z，x2＋2x＋m>0


B．不存在x∈Z，x2＋2x＋m>0


C．对任意x∈Z，x2＋2x＋m≤0


D．对任意x∈Z，x2＋2x＋m>0


[思路点拨] 从以下两点考虑：


(1)分清是全称量词命题还是存在量词命题．


(2)改变量词并且否定结论．


[答案] (1)C (2)D





含有一个量词的命题的否定


(1)首先找到命题中的量词与结论，然后把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．


(2)对于省略量词的命题，通常省略的是全称量词，先补上相应的量词，再进行否定．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．写出下列命题的否定并判断其真假：


(1)若x>0，则x2>0；


(2)矩形的对角线相等；


(3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得xA；


(4)至少有一个实数x，使x2＋ 1 ＝ 0.


[解] (1)存在x>0，使得x2≤0 ，为假命题．


(2)存在一个矩形，它的对角线不等，为假命题．


(3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题．


(4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题．





全称量词命题与存在量词命题的应用


【例3】 已知∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，求实数m的取值范围．


[思路点拨] 将其转化为函数的最值问题来求解．


[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)) eq \s\up8(2)，x∈R，所以其最小值为0.


要使∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，只需m≤0，


所以，实数m的取值范围是m≤0.





1．将例3中的条件“∀x∈R，都有x2＋2x＋1≥m”改为“∃x∈R，使得x2＋2x＋1≤m”，求实数m的取值范围．


[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，


则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)) eq \s\up8(2)，x∈R，所以其最小值为0.


要使∃x∈R，x2＋2x＋1≤m，只需m≥0，


所以，实数m的取值范围是m≥0.


2．已知命题“存在x∈R，使得2x2＋(a－1)x＋ eq \f(1,2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围．


[解] 由已知得，命题“对任意x∈R，2x2＋(a－1)x＋ eq \f(1,2)＞0”是真命题，


所以Δ＝(a－1)2－4＜0，


解得－1＜a＜3.





求解含有量词的命题中的参数取值范围的策略


1.对于全称量词命题“∀x∈M，y>a(或y

2.对于存在量词命题“∃x∈M，y>a(或y










1．判断一个命题是全称量词命题，还是存在量词命题，主要看命题中含有哪种量词，如果命题中省略了量词，通常省略的是全称量词．


2．要判断全称量词命题“任意x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0))不成立，那么这个全称命题就是假命题；要判断存在量词命题“存在x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))成立即可；如果在集合M中，使得p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))成立的x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．


3．含有一个量词的命题的否定的模式是固定的，把全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，并把结论否定．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)“正方形都是矩形”是全称量词命题．( )


(2)“∃x∈R，x＋ eq \f(1,x)≥2”是真命题．( )


(3)若“∀x∈M，具有性质p(x)”是真命题，则“∃x∈M，不具有性质p(x)”是假命题．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)√


2．“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )


A．不存在x∈R，使x3－x2＋1≤0


B．存在x∈R，使x3－x2＋1≤0


C．存在x∈R，使x3－x2＋1＞0


D．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1>0


[答案] C


3．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋ eq \f(1,x)≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________．


[答案] ②


4．若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．


[解] 由已知，得“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，


所以Δ＝22－4m<0，解得，m>1，


所以，实数m的取值范围是m＞1.


学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解全称量词与存在量词的意义．(重点)


2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)


3．能判断全称量词命题与存在量词命题的真假．(重点、难点)
1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．


2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养．
命题p
命题p的否定
∀x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))
∃x∈M，x不具有性质p(x)
∃x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))
∀x∈M，x不具有性质p(x)