高中数学1.2 集合的基本关系优秀教案

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这是一份高中数学1.2 集合的基本关系优秀教案，共6页。

1.2 集合的基本关系

1．Venn图

为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．

2．子集

思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？

提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．

3．集合相等

对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．

思考2：如何证明集合相等？

提示：证明这两个集合互为子集．

4．真子集

对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB.

1．设M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1))，则下列关系正确的是( )

A．N∈M B．NM

C．N⊆M D．N⊇M

C [由1∈M，知N⊆M.]

2．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )

A．A⊆B B．C⊆B

C．D⊆C D．A⊆D

B [根据四边形的定义和分类，可知选B.]

3．集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1))的子集有________个．

4 [集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1))的子集分别是∅， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1)).]

4．已知集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(16))⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2，a＋3，7))，求实数a的值．

[解] (1)由已知，得16∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2，a＋3，7))，所以a2＝16或a＋3＝16，解得a＝－4，4或13，

当a＝4时，a＋3＝7，集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2，a＋3，7))的元素不满足互异性，

所以，实数a的值为－4，13.

集合间的关系的判断

【例1】判断下列各组中集合间的关系．

(1)A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x是等腰三角形))，B＝{x|x是等边三角形}；

(2)A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))＝0))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1))；

(3)A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－1

(4)A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝n＋\f(1,2)，n∈Z))，B＝{x eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)))n＋1，n∈Z}．

[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故BA.

(2)A＝B.

(3)把集合A与B在数轴上表示出来，根据定义易得AB.

(4)A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(2n＋1,2)，n∈Z))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝\f(n＋2,2)，n∈Z))，又 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n＋1，n∈Z)) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝n＋2，n∈Z))，所以AB.

判断两集合关系的常用方法

(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系；

(2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

1．设A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n－1，n∈Z))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n＋1，n∈Z))，C＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝4n－1，n∈Z))，判断它们之间的关系．

[解] 因为A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n－1，n∈Z))＝{x|x＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))＋1，n∈Z}⊆B，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝2n＋1，n∈Z))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1))－1，n∈Z))))⊆A，

所以A＝B.

因为C＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝4n－1，n∈Z))＝{x|x＝2×2n－1，n∈Z}⊆A，又－3∈A，但－3C，所以CA.

综上，CA＝B.

子集个数问题

【例2】已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))M⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5))，试写出满足条件的所有集合M.

[思路点拨] 先分析集合M中元素的特点，然后分类列举．

[解] 集合M含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：

含有3个元素： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，4))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，5))；

含有4个元素： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，5))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，4，5))；

含有5个元素： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，4，5)).

故满足条件的集合M共有上述7个集合．

1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举．

2．若一个集合有n个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．

eq \a\vs4\al([跟进训练])

2．已知集合B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))，A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x⊆B))))，

(1)写出集合A；

(2)判断B与A的关系．

[解] (1)集合B的子集分别是∅， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2))， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))，所以A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(∅，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1))，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(2))，\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))))；

(2)BA.

集合间的关系的应用

[探究问题]

1．已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1))))⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))，试求a，b满足的条件．

提示：a≤－1且b≥1.

2．已知 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))⊆ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1))))，试求a，b满足的条件．

提示：对集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))是否为空集讨论，

当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))为空集，即a>b时，满足题意；

当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a≤x≤b))))非空时，－1≤a≤b≤1，

故a，b满足的条件是a>b或－1≤a≤b≤1.

【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．

[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B可能为空集，故需分B＝∅与B≠∅两种情况讨论．

[解] 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，

当B≠∅时，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.

综上得m≤4.

1．对于本例中的集合A，B，是否存在实数m使A⊆B?

[解] 若A⊆B，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1<－2,2m－1>7)) ，该不等式组无解，故实数m不存在．

2．若将本例中的“A＝{x|－2≤x≤7}”改为“A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≤－2，或x≥7))))”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

[解] 当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2，

当B≠∅时，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1＜2m－1，,2m－1≤－2，))或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1＜2m－1，,m＋1≥1，))解得m≥6，综上得x≤2或m≥6.

1．对于B⊆A，在未指明B非空时，应分B＝∅与B≠∅两种情况讨论．

2. 对于B≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．

1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．

2．若一个集合有n个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集．

3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)空集是任何集合的真子集．( )

(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集．( )

(3)任何一个集合至少有两个子集．( )

(4)若A不是B的子集，则A中至少存在一个元素不属于B.( )

[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(0≤x<3))))真子集的个数是( )

A．3 B．4 C．7 D．8

C [因为A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，1，2))，所以其真子集的个数是23－1＝7.]

3．设x，y∈R，A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(y＝x))))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))，则集合A，B的关系是________．

[答案] BA

4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．

(1)若AB，求实数a的取值范围；

(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．

[解] (1)当AB时，a>2.

(2)当B⊆A时，1≤a≤2.

学习目标
核心素养
1.理解集合的包含与相等的含义．(难点)

2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)
1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．

2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．
文字叙述
对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．
符号表示
若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．
图形表示
性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．
(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．
(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．