数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件一等奖教案

这是一份数学必修 第一册2.1 必要条件与充分条件一等奖教案，共8页。

§2 常用逻辑用语


2.1 必要条件与充分条件











1．命题


(1)命题的定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句．


(2)命题的两种形式：“若p，则q”和“p是q”．


(3)“⇒”的意义：当命题“若p，则q”是真命题时，就说由条件p推出结论q，记作p⇒q.


思考1：命题可以是疑问句吗？


提示：不可以，疑问句不涉及真假，更无法判断真假．


2．必要条件与充分条件


思考2：(1)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”所表示的推出关系是否相同？


(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？


提示：(1)相同，都是p⇒q (2)等价


3．充要条件


(1)一般地，如果有p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．


(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．


(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．


(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．


思考3：如果一个命题及其逆命题均成立，那么原命题中的条件是结论的充要条件吗？


提示：是．





1．下列语句是命题的是( )


A．正方形是矩形 B．作直线AB


C．x是整数 D．明天会下雨吗


A [D不是陈述句，B、C无法判断真假．]


2．“同位角相等”是“两直线平行”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


[答案] C


3．使x>1成立的一个充分条件是( )


A．x>0 B．x<0


C．x>2 D．x<2


C [只有x>2⇒x>1，其他选项均不能推出x>1.]


4．如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？





[解] 如图(1)，闭合开关A或者闭合开关C都可能使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件．


如图(2)，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，则开关A必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件．


如图(3)，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充要条件．


如图(4)，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也可不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分又不必要条件．








必要条件、充分条件的判断


【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．


(1)p：x＝1，q：x2＝1；


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；


(3)p：a>b，q：ac>bc.


[思路点拨] 求解本题需注意以下两点：


(1)分清条件和结论；


(2)准确判断命题“若p，则q”及其逆命题的真假．


[解] (1)x＝1⇒x2＝1，但x2＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a＞bac＞bc，ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．





用定义判断必要条件、充分条件要注意


(1)分清条件与结论；


(2)既要考虑由条件能否推出结论，即充分性；也要考虑由结论能否推出条件，即必要性．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．指出下列各题中p是q的什么条件


(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；


(2)p：x＝2，q：x>1；


(3)p：a>b，q： eq \f(a,b)>1.


[解] (1)由等腰三角形的性质定理与判定定理知，p是q的充要条件．


(2)x＝2⇒x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要条件．


(3)当b<0时，由a>b，可得 eq \f(a,b)<1，由 eq \f(a,b)>1，可得a




必要条件、充分条件的应用


[探究问题]


记集合A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))))，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))))，


1．若A⊆B，则p是q的什么条件？A⊇B呢？


提示：若A⊆B，则p是q的充分条件．若A⊇B，则p是q的必要条件．


2．若p是q的充分条件，则集合A与B有何关系？p是q的必要条件呢？


提示：若p是q的充分条件，则A⊆B.若p是q的必要条件，则A⊇B.


【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．


[思路点拨] 从以下两点考虑：


(1)从集合角度认识条件与结论的关系；


(2)由集合之间的包含关系，寻找m满足的条件．


[解] 由p是q的充分不必要条件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，


所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋m>1－m,1－m<－2,1＋m≥10)) ，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋m>1－m,1－m≤－2,1＋m>10)) ，


解得m≥9.


所以实数m的取值范围是m≥9.





1．把本例中的“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求实数m的取值范围．


[解] 由p是q的必要不充分条件，得集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，


当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))＝∅，即m<0时，符合题意；


当 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))≠∅，即m≥0时，


可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0,1－m>－2,1＋m≤10)) ，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0,1－m≥－2,1＋m<10)) ，


解得0≤m≤3.


综上得，实数m的取值范围是m≤3.


2．本例中，是否存在实数m，使p是q的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．


[解] 若p是q的充要条件，


则 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1－m≤x≤1＋m))＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－2≤x≤10))，


即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－m＝－2,1＋m＝10)) ，


由于该方程组无解，所以实数m不存在．





利用必要条件与充分条件求参数的取值范围


(1)化简p与q；


(2)把p与q之间的关系转化为相应集合之间的关系；


(3)利用集合之间的关系建立不等式；


(4)解不等式求参数的取值范围．








充要条件的探求与证明


【例3】 求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是 eq \f(c,a)<0.


[思路点拨] 从“充分性：条件⇒结论”与“必要性：结论⇒条件”两个方面证明．


[证明] ①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以两根之积小于零，即 eq \f(c,a)<0.


②充分性：由 eq \f(c,a)<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，设这两个实根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1x2＝ eq \f(c,a)<0，


所以两根异号．


综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是 eq \f(c,a)<0.





1.数学概念的定义通常是充要条件的形式，既是概念的判断依据，又给出了概念的性质．


2.证明命题条件成立的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).


提醒：证明时，要分清条件与结论．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．求证：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.


[证明] 充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，


∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，


故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根．


必要性：关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为1，∴a＋b＋c＋d＝0，综上所述，关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根为1的充要条件是a＋b＋c＋d＝0.








1．必要条件与充分条件的判断方法


(1)定义法：通过判断原命题与其逆命题的真假来判断．这是基本方法．


(2)集合法：利用条件与结论对应的集合之间的关系来判断，这种方法有一定的局限性．


2．必要条件与充分条件的应用


利用必要条件与充分条件可以使问题得到转化，有助于找到解题思路．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )


(2)q不是p的必要条件时，pq.( )


(3)若q是p必要条件，则当q成立时，p也成立．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．下列选项中，p是q的充要条件的是( )


A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5


B．p：a>2，b<2，q：a>b


C．p: 四边形的对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形


D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解


D [若a≠0，则方程ax＝1有唯一解x＝ eq \f(1,a)；若方程ax＝1有唯一解，则a≠0.选项A、B、C可举反例排除．]


3．在判断定理中，条件是结论的________条件．


[答案] 充分


4．已知p：x－3<0是q：2x－3

[解] 由x－3<0，得x<3；由2x－3

因为p是q的充分不必要条件，所以集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<3))真包含于集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x<\f(m＋3,2)))，


所以3< eq \f(m＋3,2)，解得m>3.


学 习 目 标
核 心 素 养
1.结合具体实例，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(重点、难点)


2．会求(判断)某些问题的必要条件、充分条件与充要条件．(重点)
1．通过必要条件、充分条件的判断，提升逻辑推理素养．


2．借助必要条件、充分条件的应用，培养数学运算素养．
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件


q是p的必要条件
p不是q的充分条件


q不是p的必要条件