高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀学案，共6页。

《椭圆的简单几何性质》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)=1的离心率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C1：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)=1，C2：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)=1，则( )


A.C1与C2顶点相同 B.C1与C2长轴长相同


C.C1与C2短轴长相同 D.C1与C2焦距相等








LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )


A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，离心率是eq \f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为( )


A.eq \f(x2,3)＋y2=1 B.x2＋eq \f(y2,3)=1 C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1 D.eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,3)=1








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知直线l：x＋y－3=0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2=1，则直线与椭圆的位置关系是( )


A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交








LISTNUM OutlineDefault \l 3 若直线y=kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1相切，则斜率k的值是( )


A.eq \f(\r(6),3) B.－eq \f(\r(6),3) C.±eq \f(\r(6),3) D.±eq \f(\r(3),3)








LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线y=kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)=1总有公共点，则m的取值范围是( )


A.(1，＋∞) B.(0，＋∞)


C.(0,1)∪(1,5) D.[1,5)∪(5，＋∞)











LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线y=kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1的位置关系为( )


A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定





LISTNUM OutlineDefault \l 3 经过椭圆eq \f(x2,2)＋y2=1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=( )


A.－3 B.－eq \f(1,3) C.－eq \f(1,3)或－3 D.±eq \f(1,3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab=0相切，则C的离心率为( )


A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线x＋2y－2=0经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 直线y=a与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)=1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆eq \f(x2,3)＋y2=1被直线x－y＋1=0所截得的弦长|AB|=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，


则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))的最大值为________.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为eq \f(3,5).


(1)求C的方程；


(2)求过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线被C所截线段的中点坐标.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO=90°，求椭圆的离心率的取值范围.
































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：D；


解析：由eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)=1可得a2=16，b2=8，∴c2=a2－b2=8.∴e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(1,2).∴e=eq \f(\r(2),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：由两个椭圆的标准方程可知：C1的顶点坐标为(±2eq \r(3)，0)，(0，±2)，


长轴长为4eq \r(3)，短轴长为4，焦距为4eq \r(2)；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±2eq \r(2))，


长轴长为8，短轴长为4eq \r(2)，焦距为4eq \r(2).故选D.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：因为a=5，c=4，所以最大距离为a＋c=9，最小距离为a－c=1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵eq \f(c,a)=eq \f(\r(6),3)，且c=eq \r(2)，∴a=eq \r(3)，b=eq \r(a2－c2)=1.∴椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2=1.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：把x＋y－3=0代入eq \f(x2,4)＋y2=1得eq \f(x2,4)＋(3－x)2=1，即5x2－24x＋32=0.


∵Δ=242－4×5×32=－64＜0，∴直线与椭圆相离.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：把y=kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)=1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6=0，


因为直线与椭圆相切，∴Δ=(12k)2－4(3k2＋2)×6=0，解得k=±eq \f(\r(6),3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：∵直线y=kx＋1恒过(0,1)点，若5＞m，则eq \r(m)≥1，


若5＜m，则必有公共点，∴m≥1且m≠5.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：直线y=kx－k＋1可变形为y－1=k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，


而该点在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1内部，所以直线y=kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)=1相交，故选B.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：椭圆右焦点为(1,0)，


设l：y=x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=x1x2＋y1y2.


把y=x－1代入eq \f(x2,2)＋y2=1得，3x2－4x=0.∴A(0，－1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3))).∴eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))=－eq \f(1,3).


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2=a2，


由原点到直线bx－ay＋2ab=0的距离d=eq \f(2ab,\r(b2＋a2))=a，得a2=3b2，


所以C的离心率e= eq \r(1－\f(b2,a2))=eq \f(\r(6),3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(2\r(5),5)；


解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，∴在直线x＋2y－2=0中，


令y=0得c=2；令x=0得b=1.


∴a=eq \r(b2＋c2)=eq \r(5).∴e=eq \f(c,a)=eq \f(2\r(5),5).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：(－2,2)；


解析：由eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)=1得－2≤y≤2，∴－2







LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(3\r(2),2)；


解析：


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,\f(x2,3)＋y2＝1))得交点坐标(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))，则|AB|= eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))2)=eq \f(3\r(2),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：6；


解析：由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1，可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，


则eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))=x2＋x＋y2=x2＋x＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x2,4)))=eq \f(1,4)x2＋x＋3=eq \f(1,4)(x＋2)2＋2，


当且仅当x=2时，eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(FP,\s\up7(―→))取得最大值6.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)将(0,4)代入C的方程得eq \f(16,b2)=1，∴b=4.


又e=eq \f(c,a)=eq \f(3,5)得eq \f(a2－b2,a2)=eq \f(9,25)，即1－eq \f(16,a2)=eq \f(9,25)，∴a=5.


∴C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)=1.


(2)过点(3,0)且斜率为eq \f(4,5)的直线方程为y=eq \f(4,5)(x－3)，


设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，


将直线方程y=eq \f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq \f(x2,25)＋eq \f(x－32,25)=1，


即x2－3x－8=0，则x1＋x2=3，


∴AB的中点坐标eq \x\t(x)=eq \f(x1＋x2,2)=eq \f(3,2)，eq \x\t(y)=eq \f(y1＋y2,2)=eq \f(2,5)(x1＋x2－6)=－eq \f(6,5)，


即中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(6,5))).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：设P(x，y)，由∠APO=90°知：P点在以OA为直径的圆上.


圆的方程是：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋y2=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2⇒y2=ax－x2.①


又P点在椭圆上，故eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1.②


把①代入②得：eq \f(x2,a2)＋eq \f(ax－x2,b2)=1⇒(a2－b2)x2－a3x＋a2b2=0，


故(x－a)[(a2－b2)x－ab2]=0，


x≠a，x≠0⇒x=eq \f(ab2,a2－b2).


又0eq \f(\r(2),2).


又∵0

故所求的椭圆离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).