苏教版 (2019)必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀导学案及答案

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


函数的值域由函数的定义域和对应关系确定，一旦函数的定义域和对应关系确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．


【例1】 求下列函数的值域：


(1)y＝eq \r(2x)；(2)y＝eq \f(2x－1,x＋3)；(3)f(x)＝x＋eq \r(3x－2)；


(4)y＝eq \f(x2＋1,x)．


[思路点拨] (1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解；(4)可以转化为关于x的一元二次方程，利用判别式法求出值域，也可以创造条件利用基本不等式求出最值，得到值域．


[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0．所以函数y＝eq \r(2x)的定义域为[0，＋∞)，因此eq \r(2x)≥0，所以函数y＝eq \r(2x)的值域为[0，＋∞)．


(2)法一(分离系数法)：y＝eq \f(2x－1,x＋3)＝eq \f(2x＋3－7,x＋3)＝2＋eq \f(－7,x＋3)．而eq \f(－7,x＋3)≠0，所以2＋eq \f(－7,x＋3)≠2，因此函数y＝eq \f(2x－1,x＋3)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．


法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝eq \f(2x－1,x＋3)的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝eq \f(2x－1,x＋3)，得x＝eq \f(3y＋1,2－y)．而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2．所以函数y＝eq \f(2x－1,x＋3)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．


(3)令eq \r(3x－2)＝t，则t≥0，x＝eq \f(t2＋2,3)＝eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)，


∴y＝eq \f(1,3)t2＋eq \f(2,3)＋t＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,12)．


∵t≥0，∴y≥eq \f(2,3)，


∴函数f(x)＝x＋eq \r(3x－2)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))．


(4)法一(判别式法)：由y＝eq \f(x2＋1,x)得x2－yx＋1＝0，因为关于x的方程有实数根，所以Δ＝y2－4≥0，解得y≥2或y≤－2，所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．


法二(基本不等式法)：函数y＝eq \f(x2＋1,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，


当x>0时，y＝x＋eq \f(1,x)≥2当且仅当x＝1时取等号．


当x<0时，y＝x＋eq \f(1,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\f(1,－x)))≤－2当且仅当x＝－1时取等号．


所以该函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．





常见的求值域的方法


1直接法观察法：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数fx＝5x＋1x∈{1，2，3，4}的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数fx的值域为{6，11，16，21}.


2分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.





4图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.


5换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.


6判别式法：对于形如：的函数，fx、gx是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域.


7基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解.





eq \([跟进训练])


1．(1)(一题两空)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7，x∈[－1，1，,2x＋6，x∈[1，2]，))则f(x)的最大值与最小值分别为 、 ．


(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为 ．


(1)10 6 (2)1 [(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8．


在[－1,1]上，f(x)

(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，


∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，


∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1．]


函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有涉及，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．


【例2】 函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)．


(1)确定函数f(x)的解析式；


(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；


(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0．


[思路点拨] (1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f，转化为t的不等式求解．


[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,1＋02)＝0，,\f(\f(a,2)＋b,1＋\f(1,4))＝\f(2,5)))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))


∴f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，经检验，符合题意．


(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1

f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,1＋x\\al(2,2))－eq \f(x1,1＋x\\al(2,1))＝eq \f(x2－x11－x1x2,1＋x\\al(2,1)1＋x\\al(2,2))．


∵－10,1＋xeq \\al(2,1)>0,1＋xeq \\al(2,2)>0．


又∵－10，


∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，


∴f(x)在(－1,1)上是增函数．


(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．


∵f(x)在(－1,1)上是增函数，


∴－1

解得0

故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(t\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




函数单调性与奇偶性应用常见题型


1用定义判断或证明单调性和奇偶性.


2利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.


3利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.


4利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.





eq \([跟进训练])


2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2．


(1)求证：f(x)是奇函数；


(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．


[解] (1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，


即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0．


令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．


(2)任取－3≤x10．


由题意，得f(x2－x1)<0，


且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]


＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]


＝－f(x2－x1)>0，


即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．


所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6．





函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．


【例3】 (1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是 ．(填序号)








(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是 ．


[思路点拨] (1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．


(1)③ (2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．


(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，


则f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋5， x≥0，,x2＋4x＋5， x<0，))


作出f(x)的图象，如图所示．





由图象可知，当1




作函数图象的方法


方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线.


注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.


方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.





eq \([跟进训练])


3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，eq \f(3,2)x＋eq \f(1,2)，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是 ．


2 [首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，eq \f(3,2)x＋eq \f(1,2)，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，eq \f(3,2)x＋eq \f(1,2)，x2－4x＋3中最大的一个．


如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．





从图象观察可得函数f(x)的表达式：


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤0，,－x＋3，05.))


f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2．]


函数值域的求法
函数性质的应用
函数的图象与数形结合思想