新教材数学苏教版必修第一册第5章 5.3 第2课时　函数的最大值、最小值 课件

第2课时　函数的最大值、最小值

知识点　函数的最大值与最小值

(1)函数的最大值

一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

(2)函数的最小值

一般地，设y＝f(x)的定义域为A．如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．

函数的最值与值域是一回事吗？

[提示]　不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1．  (　　)

(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M．  (　　)

(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞． (　　)

(4)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

类型1　利用图象求函数的最值

【例1】　已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值．

[解]　作出函数f(x)的图象(如图)．

由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为

f(1)＝f(－1)＝1．

当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0，

故f(x)的最大值为1，最小值为0．

图象法求函数最值的一般步骤

1．已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．

[解]　y＝－|x－1|＋2＝

图象如图所示，

由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值，

所以其值域为(－∞，2]．

类型2　利用单调性求函数的最值

【例2】　已知函数f(x)＝．

(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数；

(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．

[解]　(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为1<x1<x2，

所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为减函数．

(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为减函数，

所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；

在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值．

[母题探究]

(变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．

[解]　任取x1，x2∈[－4，－3]且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝．

∵x1，x2∈[－4，－3]，

∴x1－1<0，x2－1<0．

又x1<x2，

∴x2－x1>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)在[－4，－3]上为减函数，

∴f(x)max＝f(－4)＝，

f(x)min＝f(－3)＝，

∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为．

1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．

2．函数的最值与单调性的关系

(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；

(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；

(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．

2．已知函数f(x)＝．

(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．

[解]　(1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为－1<x1<x2⇒x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)，

所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．

(2)由(1)知f(x)在[2,4]上为增函数，

所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，

最大值f(4)＝＝．

类型3　二次函数的最值

【例3】　求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．

二次函数fx的对称轴在区间[2，4]可能存在几种位置关系？

[提示]　对称轴在[2，4]的左侧即a<2，在区间[2，4]内即2≤a≤4，在区间[2，4]的右侧即a>4.)

[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a．

当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，

∴f(x)min＝f(4)＝18－8a．

当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2．

∴f(x)min＝

[母题探究]

1．在本例条件下，求f(x)的最大值．

[解]　∵函数图象的对称轴是x＝a，

∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，

当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a．

∴f(x)max＝

2．在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a的值．

[解]　由本例解析知

f(x)min＝

当a<2时，6－4a＝2，a＝1；

当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；

当a>4时，18－8a＝2，a＝2(舍去)．

∴a的值为1．

求二次函数的最大(小)值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间内，在区间左侧，在区间右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论．

3．若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，

即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，

即a≥f(x)max，x∈[2,4]．

又f(x)max＝

(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3．

(2)当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3．

综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．

1．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．10,5     B．10,1

C．5,1     D．以上都不对

B　[因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，

所以当x＝1时，ymin＝1，

当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10．故选B．]

2．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为(　　)

A．3,0     B．3,1

C．3，无最小值     D．3，－2

C　[观察题中图象可知，图象的最高点坐标是(0,3)，从而函数f(x)的最大值是3；图象无最低点，即函数f(x)不存在最小值．故选C．]

3．(多选题)已知函数f(x)＝有最小值，则实数a的值可能为(　　)

A．2     B．4

C．6     D．8

BCD　[由题意知，当x>0时，函数f(x)＝x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号；当x<0时，f(x)＝x2＋a> a，因此要使f(x)有最小值，则必须有a≥4，即实数a的最小值为4．]

4．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是________．

　[∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，

∴f(x)max＝f＝－＋1＝．]

5．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________，减区间为________．

2　[－1,0]　[f(x)的图象如图，

则f(x)的最大值为f(2)＝2．

减区间为[－1,0]．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．怎样理解函数的最值？

[提示]　①存在．

②在给定区间上所有函数值中最大(小)．

③在函数图象上有最高或最低点．

2．求函数的最值有哪些常用方法？

[提示]　图象法、单调性法，对于二次函数还可用配方法．

3．本节内容渗透了哪些数学思想？

[提示]　数形结合思想，分类讨论思想．