苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试优秀学案设计

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]


函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．


【例1】 (1)若函数f(x)＝lg2eq \f(a·4x＋2x＋1,3)的定义域为(－∞，1)，则a＝ ．


(2)若函数f(x)＝lg2eq \f(a·4x＋2x＋1,3)在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是 ．


[思路点拨] 分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．


(1)－eq \f(3,4) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞)) [(1)因为x<1，所以0<2x<2．


要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，


由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，


所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－eq \f(3,4)．


(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．


因为4x>0，所以a>－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)))在(－∞，1]上恒成立．


令g(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)))，x∈(－∞，1]．


由y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)与y＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋\f(1,2)))＝－eq \f(3,4)．


因为a>－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)))在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－eq \f(3,4)．


故所求a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，＋∞))．]





1．识别函数的图象从以下几个方面入手：


(1)单调性：函数图象的变化趋势；


(2)奇偶性：函数图象的对称性；


(3)特殊点对应的函数值．


2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，lga1＝0．





eq \([跟进训练])


1．已知f(x)＝lg2 (x＋1)＋lg2 (1－x)，


(1)求f(x)的定义域，并求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))的值；


(2)判断f(x)的奇偶性；


(3)判断f(x)的单调性．


[解] (1)由题知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1

∴f(x)的定义域为{x|－1

feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))＋lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))


＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),2)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝－1．


(2)f(－x)＝lg2(－x＋1)＋lg2(1＋x)＝f(x)，


又f(x)的定义域为{x|－1

故f(x)为偶函数．


(3)f(x)＝lg2 (x＋1)(1－x)＝lg2 (1－x2)，


设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，


在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝lg2 u是增函数，


∴f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．


1．比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．


2．当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．


3．比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”“大于等于0，小于等于1”“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．


【例2】 比较下列各组数的大小：


(1)0.65.1,5.10.6，lg0．65.1；


(2)lg712，lg812；


(3)a＝0.2eq \s\up12(eq \f(1,2))，b＝0.3eq \s\up12(eq \f(1,2))，c＝3eq \s\up12(eq \f(1,3))，d＝5eq \s\up12(eq \f(1,3))．


[思路点拨] (1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；


(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；


(3)利用幂函数的性质求解．


[解] (1)因为0<0.65.1<1,5．10.6>1，lg0.65.1<0，所以5.10.6>0．65.1>lg0.65.1．


(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝lg7x与y＝lg8x的图象：





由底数变化对图象位置的影响知：lg712>lg812．


法二：eq \f(lg712,lg812)＝eq \f(\f(lg 12,lg 7),\f(lg 12,lg 8))＝eq \f(lg 8,lg 7)＝lg78>1．


∵lg812>0，∴lg712>lg812．


(3)因为0

又因为0.3eq \s\up12(eq \f(1,2))<1,3eq \s\up12(eq \f(1,3))>1，所以b




1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．


2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．


3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．





eq \([跟进训练])


2．比较大小：


(1)lgeq \s\d12(eq \s\up7(eq \f(1,4))) 3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.2),2eq \s\up12(eq \f(1,3))；


(2)lg3 2，lg2 3，lg2 5．


[解] (1)lgeq \s\d12(eq \s\up7(eq \f(1,4))) 3<0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.2)∈(0,1)，2eq \s\up12(eq \f(1,3))>1，故lgeq \s\up7(eq \f(1,4)) 3

(2)∵lg3 2

本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．


【例3】 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，求不等式f(lga x)>0(a>0，且a≠1)的解集．


[思路点拨] 根据偶函数的性质，将f(lga x)>0转化为lga x与eq \f(1,2)和－eq \f(1,2)的大小关系，然后分类讨论求解不等式．


[解] ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，


又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0．


故若f(lga x)>0，则有lga x>eq \f(1,2)或lga x<－eq \f(1,2)．


①当a>1时，由lga x>eq \f(1,2)或lga x<－eq \f(1,2)，得x>eq \r(a)或0

②当0eq \f(1,2)或lga x<－eq \f(1,2)，得0eq \f(\r(a),a)．


综上可知，当a>1时，f(lga x)>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0， \f(\r(a),a)))∪(eq \r(a)，＋∞)；当00的解集为(0，eq \r(a))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a),a)，＋∞))．





将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答？


[解] ∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，


∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0．


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lga x))>0可转化为lga x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)

①当a>1时，上述两不等式的解为x>eq \r(a)和eq \f(\r(a),a)

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\r(a)或\f(\r(a),a)

②当0

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

综上，当a>1时，不等式的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\r(a)或\f(\r(a),a)

当0

eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．


2．对于指数函数、对数函数含参数的问题，要根据底中参数的取值进行分类讨论．





函数的图象与性质
比较大小
分类讨论思想