2021学年第5章 函数概念与性质本章综合与测试同步练习题

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易混易错练

易错点1　忽视函数定义域致错

1.()下列各组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.f(x)=x,g(x)=

B.f(x)=x,g(x)=|x|

C.f(x)=|x|,g(x)=

D.f(x)=|x|,g(x)=

2.(2019北京师范大学盐城附属学校高一上学期月考,)下列函数中,在定义域内既是奇函数又是减函数的为(　　)

A.y=x+1 B.y=-x3

C.y= D.y=x|x|

3.(2019江苏宿迁高一上学期阶段测试,)若函数y=f(x-1)的定义域是[-3,2],则y=f(2x+1)的定义域是(　　)

A.[-7,3] B.

C.[-3,7] D.

4.(2019江苏海安高级中学高一月考,)若f(,则f(x)的解析式为　　　　　　　　. 

5.(2019江苏盐城高一第一学期期中,)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,若f(2x-1)>f(1),则实数x的取值范围为　　　　. 

易错点2　忽视分段函数中定义域的“临界点”致错

6.()如果y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-1<0的解集是(　　)

A.

B.

C.

D.

7.(2019江苏常州高一第一学期期中,)若函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

8.(2019江苏南京金陵中学高一月考,)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(t∈(0,+∞))左侧的图形的面积为f(t).试求函数y=f(t)的表达式.

易错点3　忽视参数的范围致错

9.(2019江苏南菁高级中学高一上学期阶段测试,)若f(x)=的定义域为R,则实数k的取值范围是　　　　. 

10.()已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1,且f(2)=15.

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)令g(x)=(1-2m)x-f(x).

①若函数g(x)在区间[0,2]上不是单调函数,求实数m的取值范围;

②求函数g(x)在区间[0,2]的最小值.

思想方法练

一、数形结合思想在函数中的应用

1.()已知函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)为增函数,若f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{x|0<x<2或x>4} B.{x|x<0或x>4}

C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}

2.()已知函数f(x)=|1+2x|+|2-x|,则f(x)的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　. 

二、分类讨论思想在函数中的应用

3.()已知定义在[-2,2]上的函数f(x)=x2-2ax+3.

(1)当a=1时,求f(x)的最值;

(2)若f(x)的最大值为M,设函数g(a)=M,求g(a)的表达式.

4.(2019江苏海安高级中学高一月考,)如果函数y=f(x)的定义域为R,且存在实数a,使得对于定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(-x)成立,那么称此函数f(x)具有“性质P(a)”.

(1)判断函数y=|x+1|是否具有“性质P(a)”,若具有“性质P(a)”,求出所有实数a的取值集合;若不具有“性质P(a)”,请说明理由;

(2)已知函数y=f(x)具有“性质P(0)”,且当x≤0时,f(x)=(x+m)2,求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域.

5.(2019江苏兴化第一中学高一月考,)已知f(x)=x|x-a|+2x,a∈R.

(1)若a=2,求f(x)在区间[0,3]上的最大值;

(2)若a>2,求f(x)的单调区间;

(3)若存在a∈[-2,4],使得方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围.

三、方程思想在函数中的应用

6.()已知函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,且f(2)=1,当-4<x≤0时,有f(x)=.

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)在区间(0,4)上的表达式,并利用定义判断其在该区间上的单调性.

四、转化与化归思想在函数中的应用

7.()如图,函数y=|x|在x∈[-1,1]的图象上有两点A、B,AB∥x轴,点M(1,m)是△ABC中BC边的中点.

(1)写出用B点的横坐标t表示△ABC的面积S的函数表达式S=f(t);

(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标.

答案全解全析

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易混易错练

1.C　A中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为{x|x≠0},不符合题意;B中, f(-1)=-1≠g(-1)=1,不符合题意;C中,|x|=,x∈R,符合题意;D中,f(x)的定义域为全体实数,g(x)的定义域为{x|x≠0},不符合题意.故选C.

2.B　A中,y=x+1是非奇非偶函数,且在定义域内单调递增;B中,y=-x3是奇函数,且是减函数;C中,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),不能说函数y=在定义域内是减函数;D中,y=x|x|在定义域内为增函数.故选B.

3.B　∵函数y=f(x-1)的定义域是[-3,2],∴-3≤x≤2,∴-4≤x-1≤1,∴-4≤2x+1≤1,∴-5≤2x≤0,∴-≤x≤0.故选B.

4.答案　f(x)=x2-4,x≥2

解析　令t=+2,t≥2,则=t-2,∴f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2,∴f(x)=x2-4,x≥2.

5.答案　

解析　∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,∴不等式f(2x-1)>f(1)可化为∴x∈.

6.C　因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.当x>0时,-x<0, f(x)=-f(-x)=-[(-x)+2]=x-2.

当x<0时,f(x)=x+2,代入所求不等式,

得2(x+2)-1<0,解得x<-;

当x=0时,2f(0)-1<0,恒成立,

当x>0时,f(x)=x-2,代入所求不等式,得2(x-2)-1<0,解得x<,所以0<x<.

综上,不等式2f(x)-1<0的解集为.故选C.

7.答案　[-2,3)

解析　若对任意x1≠x2,都有 >0成立,则f(x)在R上是单调递增函数.

当x≥2时,f(x)=(3-a)x+5a为增函数,则3-a>0,即a<3;

当x=2时,f(x)取得最小值,最小值为3a+6;

当x<2时,f(x)=-(x-2)2为二次函数,其图象开口向下,对称轴为直线x=2,

若f(x)在(-∞,2)上为增函数,则f(x)max<f(2)=0,

又函数f(x)在定义域R上单调递增,

所以3a+6≥0,解得a≥-2.

综上,实数a的取值范围是-2≤a<3.

8.解析　由题图得O(0,0),B(1,),A(2,0),易得直线OB对应的函数为y=x,

直线AB对应的函数为y=-,

S△OAB=.

当0<t≤1时, f(t)=t·t2;

当1<t<2时,f(t)=;

当t≥2时, f(t)=.

综上,f(t)=

9.答案　[0,1]

解析　由题意,得kx2-6kx+k+8≥0在x∈R上恒成立,

当k=0时,显然符合题意;

当k≠0时,

解得0<k≤1.

综上,实数k的取值范围是[0,1].

10.解析　由已知设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

(1)∵f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=-2x+1,

∴2a=-2,a+b=1,

∴a=-1,b=2,

∴f(x)=-x2+2x+c,

又∵f(2)=15,

∴c=15,

∴f(x)=-x2+2x+15.

(2)g(x)=(1-2m)x-f(x)=x2-(2m+1)·x-15,其图象的对称轴为直线x=m+.

①∵g(x)在[0,2]上不单调,∴0<m+<2,∴m∈.

②当m+≤0,即m≤-时,g(x)min=g(0)=-15;

当0<m+<2,即-时,g(x)min=g;

当m+≥2,即m≥时,g(x)min=g(2)=-4m-13.

综上,

g(x)min=

思想方法练

1.A　解法一:由题意知函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,

则当x<0时, f(x)为增函数,

且f(-2)=0.令t=x-2,

则f(x-2)>0可转化为f(t)>0,

得-2<t<0或t>2,

即-2<x-2<0或x-2>2,

解得0<x<2或x>4.故选A.

解法二:由函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)为增函数,且f(2)=0,可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,

故函数f(x)的大致图象如图所示.

由函数的图象可得, f(x-2)>0时,

-2<x-2<0或x-2>2,

解得0<x<2或x>4.故选A.

2.答案　

解析　f(x)=画出函数f(x)的大致图象(如图),

结合图象,得函数的单调递增区间是,单调递减区间是.

3.解析　(1)当a=1时,f(x)=x2-2x+3.其图象开口向上,对称轴为直线x=1.

∵x∈[-2,2],∴f(x)min=f(1)=2,

f(x)max=f(-2)=11.

故f(x)的最大值为11,最小值为2.

(2)f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=a, f(-2)=4a+7, f(2)=-4a+7.

当a≤0时,f(x)max=f(2)=-4a+7;

当a>0时,f(x)max=f(-2)=4a+7.

∴g(a)=

4.解析　(1)假设y=|x+1|具有“性质P(a)”,则|x+a+1|=|-x+1|恒成立,

等式两边平方并整理得,x2+2(a+1)x+(a+1)2=x2-2x+1,因为等式恒成立,

所以解得a=-2,

所以y=|x+1|具有性质P(-2),

故实数a的取值集合为{-2}.

(2)∵函数y=f(x)具有“性质P(0)”,

∴f(x)=f(-x)恒成立,

又∵f(x)的定义域为R,∴y=f(x)是偶函数.

设0≤x≤1,则-1≤-x≤0,

∴f(x)=f(-x)=(-x+m)2=(x-m)2.

①当m≤0时,函数y=f(x)在[0,1]上单调递增,值域为[m2,(1-m)2].

②当0<m<时,函数y=f(x)在[0,m]上单调递减,在[m,1]上单调递增,ymin=f(m)=0,ymax=f(1)=(1-m)2,值域为[0,(1-m)2].

③当≤m≤1时,ymin=f(m)=0,ymax=f(0)=m2,值域为[0,m2].

④当m>1时,函数y=f(x)在[0,1]上单调递减,值域为[(1-m)2,m2].

5.解析　(1)当a=2时,f(x)=x|x-2|+2x=其大致图象如图.

由图象得f(x)在R上为增函数,

故f(x)在[0,3]上为增函数,

所以f(x)在[0,3]上的最大值为f(3)=9.

(2)f(x)=

若a>2,则0<a-2<a<a+2,

当x≥a时,易知a>,故f(x)在[a,+∞)上为增函数;

当x<a时,<0,即<a,

故f(x)在上为增函数,在上为减函数.

综上,f(x)的单调递增区间为和[a,+∞),单调递减区间为.

(3)由(2)可知,当-2≤a≤2时,f(x)为增函数,方程不可能有三个不相等的实数根;

当2<a≤4时,由(2)得f(a)<tf(a)<f,即2a<2at<,即1<t<在(2,4]内有解,令g(a)=,则g(a)=在(2,4]上为增函数,

当a=4时,g(a)的最大值为,则1<t<.

6.解析　(1)因为函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数,且f(2)=1,所以f(-2)=-f(2)=-1, f(0)=0,

即解得

(2)由(1)可知,当x∈(-4,0]时,f(x)=.当x∈(0,4)时,-x∈(-4,0),

又∵f(x)在(-4,4)上为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-.

任取x1,x2∈(0,4),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=,

∵x1,x2∈(0,4),且x1<x2,∴-x1+4>0,-x2+4>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)=在(0,4)上单调递增.

7.解析　(1)依题意,知B,

A(t>0),设C(x0,y0).

∵M是BC的中点,∴=m.

∴x0=2-t,y0=2m-t,

∴在△ABC中,|AB|=2t,AB边上的高h=y0-t=2m-3t.

∴S=|AB|·h=×2t×(2m-3t)=-3t2+2mt,

即f(t)=-3t2+2mt,t∈(0,1].

(2)由(1)知f(t)=-3t2+2mt=-3,t∈(0,1].

①若即<m≤3,则t=时,

f(t)max=,相应的C点坐标是;

②若>1,即m>3,则f(t)在区间(0,1]上是增函数,∴f(t)max=f(1)=2m-3,相应的C点坐标是.