数学必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀单元测试课时训练

这是一份数学必修 第一册第5章 函数概念与性质本章综合与测试优秀单元测试课时训练，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

基础过关卷


班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________


（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）


一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）


1.函数的定义域为（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】由题意得：


，解得：x≥1且x≠2，


故函数的定义域是[1，2）∪（2，+∞），


故选：A．


2．下列函数中既是奇函数又是减函数的是( )


A．f(x)＝x2 B．f(x)＝－x3


C．f(x)＝eq \f(1,x) D．f(x)＝－x＋1


【答案】 B


【解析】f(x)＝x2是偶函数；


f(x)＝－x3是奇函数且是减函数；


f(x)＝－x＋1是非奇非偶函数．


f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数，但在定义域内不单调，故选B．


3.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( )


A.(-∞,1)B.(1,+∞)


C.(-∞,2)D.(2,+∞)


【答案】B


【解析】易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞).


4．函数，满足（ ）


A．是奇函数又是减函数B．是偶函数又是增函数


C．是奇函数又是增函数D．是偶函数又是减函数


【答案】C


【解析】奇函数；在上是增函数；在上是增函数；所以是增函数．故选C


5．函数的图象大致为（ ）


A B.


C. D.


【答案】A


【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；


当时，，选项B错误.故选：A.


6．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式是f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )


A．最大值－eq \f(1,4) B．最大值eq \f(1,4)


C．最小值－eq \f(1,4) D．最小值eq \f(1,4)


【答案】[来B


【解析】由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


若x＞0，则－x＜0，f(－x)＝－x(1－x)，


∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，


∴f(x)在(0，＋∞)上有最大值eq \f(1,4)，故选B．


7．函数（x＞2）的最小值是（ ）


A．3B．4C．5D．6


【答案】D


【解析】


∵x＞2，∴x﹣2＞0，


∴f（x）＝（x﹣2）+当且仅当x﹣2＝，


即x＝4时，等号成立，


∴函数f（x）的最小值为6，故选D


8．定义在R上函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．则使得在[m，+∞）上恒成立的m的最小值是（ ）


A．B．C．D．





【答案】D


【解析】∵x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|∈[0，1]；


∴x+1∈[1，2）时，x∈[0，1），f（x+1）＝f（x）＝﹣|x﹣|∈[0，]，


x+2∈[2，3）时，x+1∈[1，2），f（x+2）＝f（x+1）＝﹣|x﹣|∈[0，]，


x+3∈[3，4）时，x+2∈[2，3），f（x+3）＝f（x+2）＝﹣|x﹣|∈[0，]，


令f（x+3）＝﹣|x﹣|＝⇒x＝或者x＝；


故x+3＝或x+3＝，


所以m的最小值为m＝，故选D．





二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）


9． 下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是( )


A．y是x的函数 B．x是y的函数


C．对于不同的x，y也不同 D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数


【答案】 AD


【解析】由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．


10.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）


A.，； B.；


C.； D..


【答案】AC


【解析】表示同一函数的是A、C,其中B的定义域不同，D的对应法则不同.


11．下列函数中,在R上是增函数的是( )


A.y=|x|B.y=x


C.y=x2D.y=x,x≥-1,-x2,x<-1


【答案】BD


【解析】选项A,y=|x|,当x<0时单调递减,不符合题意;


选项B,显然在R上是增函数,符合题意;


选项C,y=x2,当x<0时单调递减,不符合题意;


选项D,作出草图如下,实线部分,观察图象可得函数在R上为增函数,符合题意.





12．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确正确的有( )


A. B的一个周期为8


C.图象的一个对称中心为 D.图象的一条对称轴为


【答案】ABC


【解析】因为是的对称轴，是的对称中心，


所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故B正确；


，故A正确；


因为每隔半个周期出现一个对称中心，


所以是函数的对称中心，故C正确；


，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.故选：ABC.


三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）


13.函数f(x)=1lg2(x-2)-1的定义域为 .


【答案】 (4,+∞)


【解析】 由题可得lg2(x-2)>1=lg22即x-2>2,所以定义域为(4,+∞).








14. 函数，则的值是___．


【答案】0


【解析】


∵函数f（x），


∴f（1）＝1﹣1＝0，


f（f（1））＝f（0）＝0．


故答案为：0．


15. 已知函数h(x)(x≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=-x24,04,若h(t)>h(2),则实数t的取值范围为 .


【答案】(-2,0)∪(0,2)


【解析】 因为x>0时,h(x)=-x24,04.易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,


因为函数h(x)(x≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),[来源:学§科§网]


所以h(|t|)>h(2),


所以0<|t|<2,


所以t≠0,|t|<2,即t≠0,-2

综上所述,所求实数t的取值范围为(-2,0)∪(0,2).


16. 已知函数是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=516x2(0≤x≤2),12x+1(x>2).若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R,有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是 .


【答案】 -52,-94∪-94,-1


【解析】 设t=f(x),问题等价于g(t)=t2+at+b=0有两个实根t1,t2,0

所以g(0)>0,g(1)≤0,g54>0⇒-940,g54=0⇒-52

综上,-52













四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）


17. 已知函数


（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞）上为增函数


（2）解不等式：f（x2﹣2x+4）≤f（7）


【解析】（1）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，


则f（x1）﹣f（x2）＝（x1+）﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝，


因为2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，


所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），


所以f（x）＝x+在[2，+∞）上为增函数．


（2）∵x2﹣2x+4≥2，


结合（1）得f（x）在[2，+∞）递增，


所以x2﹣2x+4≤7，


解得：﹣1≤x≤3，


故不等式的解集是[﹣1，3]．


18. f(x)是定义在R上的函数,对x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,且f(-1)=1.[来源:学+科+网Z+X+X+K]


(1)求f(0),f(-2)的值;


(2)求证:f(x)为奇函数;


(3)求f(x)在[-2,4]上的最值.


【解析】(1)f(x)的定义域为R，


令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，


∵f(－1)＝1，∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，


(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，


∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．


(3)设x2>x1，


f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)


∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)<0，


即f(x2)

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，


∵f(x)在[－2,4]上为减函数，∴f(x)max＝f(－2)＝2，所以：f(x)min＝f(4)＝－4.


19. 已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是增函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).


(1)求函数f(x)的解析式；


(2)解不等式f(t－1)＋f(2t)＜0.


【解析】(1)因f(x)＝eq \f(ax＋b,x2＋1)是定义在(－1,1)上的奇函数，则f(0)＝0，得b＝0.


又因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，


则eq \f(\f(1,2)a,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1)＝eq \f(2,5)，∴a＝1，


所以f(x)＝eq \f(x,x2＋1).


(2)因定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是增函数，


由f(t－1)＋f(2t)＜0，


得f(t－1)＜－f(2t)＝f(－2t)．


所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜t－1＜1，,－1＜2t＜1，,t－1＜－2t，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜t＜2，,－\f(1,2)＜t＜\f(1,2)，,t＜\f(1,3)，))


解得0＜t＜eq \f(1,3).


20.某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园．建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元．从第一年起，每年收入都为36万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）＝前n年的总收入﹣前n年的总支出费用﹣投资额）


（1）求f（n）的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；


（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值．


【解析】（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，


故前n年的总支出费用为，


∴f（n）＝36n﹣（n2+10n）﹣64＝﹣n2+26n﹣64，n∈N*．


又f（n）＝﹣（n﹣13）2+105，


∴n＝13时，f（n）取得最大值105，


即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元．


（2）由（1）知，前n年的年平均纯利润为，


∵，当且仅当，即n＝8时等号成立，


∴，


即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元．


21. 已知二次函数的最小值为1，.


（1）求的解析式；


（2）若在区间上不单调，求的取值范围；


（3）若，试求的最小值.





【解析】（1）由已知∵是二次函数，且，


∴对称轴为.又最小值为1，设，


又，∴.∴.


（2）要使在区间上不单调，则，∴.


（3）由（1）知，的对称轴为，


若，则在上是增函数，.


若，即，则在上是减函数，.


若，即，则.


综之，当时，；


当时，；当时，.


22.设函数f（x）＝|x﹣1|，x∈R．


（1）求不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集；


（2）已知关于x的不等式f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|的解集为M，若，求实数a的取值范围


【解析】（1）因为f（x）≤3﹣f（x﹣1），


所以|x﹣1|≤3﹣|x﹣2|，⇔|x﹣1|+|x﹣2|≤3，


或或


解得0≤x＜1或1≤x≤2或2＜x≤3，


所以0≤x≤3，


故不等式f（x）≤3﹣f（x﹣1）的解集为[0，3]．


（2）因为，


所以当时，f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|恒成立，


而f（x）≤f（x+1）﹣|x﹣a|⇔|x﹣1|﹣|x|+|x﹣a|≤0⇔|x﹣a|≤|x|﹣|x﹣1|，


因为，所以|x﹣a|≤1，即x﹣1≤a≤x+1，


由题意，知x﹣1≤a≤x+1对于恒成立，


所以，故实数a的取值范围．