高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.1 指数优秀学案，共9页。




4.1 指数








我们已经知道，eq \f(1,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(3)，…是正整数指数幂，它们的值分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…．那么，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(6 000,5 730))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(10 000,5 730))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(100 000,5 730))的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识．下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数．为此，我们需要先学习根式的知识．





1．平方根与立方根的概念


如果x2＝a，那么x称为a的平方根；如果x3＝a，那么x称为a的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有2个，它们互为相反数，一个数的立方根只有一个．


2．a的n次方根


(1)定义：一般地，xn＝a(n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次方根，式子eq \r(n,a)叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．


(2)几个规定：


①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根只有一个，记作x＝eq \r(n,a)；


②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号eq \r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq \r(n,a)表示，它们可以合并写成±eq \r(n,a)(a>0)的形式；


③0的n次方根等于0(无论n为奇数，还是为偶数)．


3．根式的性质


(1)eq \r(n,0)＝0(n∈N*，且n>1)；


(2)(eq \r(n,an))＝a(n为大于1的奇数)；


(3)(eq \r(n,an))＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0，,－aa<0))(n为大于1的偶数)．


(4)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1，a使得eq \r(n,a)有意义)．


4．分数指数幂的意义


一般地，我们规定：





(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义．0的0次幂没有意义．


5．有理数指数幂的运算性质


(1)asat＝as＋t；


(2)(as)t＝ast；


(3)(ab)t＝atbt，


(其中s，t∈Q，a>0，b>0)．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)16的四次方根为2．( )


(2)eq \r(π－42)＝π－4．( )


(3)eq \r(4,－16)＝－2．( )


[提示] (1)16的四次方根有两个，是±2；(2)eq \r(π－42)＝|π－4|＝4－π；(3)eq \r(4,－16)没意义．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．若n是偶数，eq \r(n,x－1n)＝x－1，则x的取值范围为 ．


[1，＋∞) [由题意知x－1≥0，∴x≥1．]


3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ．(填序号)


(1)eq \r(3,54)＝5eq \s\up12(eq \f(4,3))；(2)2eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,2))；(3)eq \r(－22)＝(－2)eq \s\up12(eq \f(2,2))；(4)3eq \s\up12(eq \f(5,3))＝eq \r(5,33)．


(1)(2) [根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]


4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝ ．


8 [52x－y＝eq \f(52x,5y)＝eq \f(5x2,5y)＝eq \f(42,2)＝8．]





【例1】 求下列各式的值．


(1)eq \r(3,－23)；(2)eq \r(4,－32)；(3)eq \r(8,3－π8)；(4)eq \r(a6)；


(5)eq \r(x2－2x＋1)－eq \r(x2＋6x＋9)，x∈(－3,3)．


[思路点拨] 利用根式的性质进行求解．


[解] (1)eq \r(3,－23)＝－2．


(2)eq \r(4,－32)＝eq \r(4,32)＝eq \r(3)．


(3)eq \r(8,3－π8)＝|3－π|＝π－3．


(4)eq \r(a6)＝eq \r(a32)＝|a3|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a3，a≥0，,－a3，a<0.))


(5)原式＝eq \r(x－12)－eq \r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，


当－3

当1

因此，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－2，－3




1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．


2．注意eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的区别


(eq \r(n,a))n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；


eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa≥0，,－aa<0))n为偶数.))





eq \([跟进训练])


1．(1)化简：(eq \r(a－1))2＋eq \r(1－a2)＋eq \r(3,1－a3)＝ ．


(2)若eq \r(x2－2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则yx＝ ．


(1)a－1 (2)－3 [(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1．


(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝0，,y＋3＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－3，))


∴yx＝(－3)1＝－3．]





【例2】 将下列根式化成分数指数幂的形式．





[思路点拨] 利用分数指数幂的意义以及有理数指数幂的运算性质进行转化．








1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用aeq \s\up12(eq \f(m,n))＝eq \r(n,am)和aeq \s\up12(－eq \f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．


2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．





eq \([跟进训练])


2．将下列根式化成分数指数幂的形式．








【例3】 (1)计算：0．064eq \s\up12(－eq \f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))eq \s\up12(0)＋[(－2)3] eq \s\up12(－eq \f(4,3))＋16－0．75＋|－0．01|eq \s\up12(eq \f(1,2))；





[思路点拨] 将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．











指数幂与根式运算的技巧


1有理数指数幂的运算技巧


①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.


②指数的处理：负指数先化为正指数.底数互为倒数


③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.


2根式运算技巧


①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算.


②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.





eq \([跟进训练])








[探究问题]


1．xeq \s\up12(eq \f(1,2))＋xeq \s\up12(－eq \f(1,2))与x＋x－1有什么关系？x＋x－1与x2＋x－2有什么关系？


[提示] x＋x－1＝


x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2．


2．立方和(差)公式是什么？


[提示] a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，


a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．


【例4】 已知aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \r(5)，求下列各式的值：


(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．


[思路点拨] 考虑到如何由aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))得到a＋a－1．


[解] (1)将aeq \s\up12(eq \f(1,2))＋aeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \r(5)两边平方，


得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3．


(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，


∴a2＋a－2＝7．





1．(变结论)在本例条件下，a2－a－2＝ ．


±3eq \r(5) [令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3eq \r(5)，即a2－a－2＝±3eq \r(5)．]


2．(变条件)若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a







条件求值问题的常用方法


1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.


2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.











1．掌握两个公式：(1)(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*)；


(2)n为奇数且n∈N*，eq \r(n,an)＝a；


n为偶数且n∈N*，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a a≥0，,－aa<0.))


2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．





1．以下说法正确的是 ．(填序号)


①正数的n次方根是正数；


②负数的n次方根是负数；


③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；


④a的n次方根是eq \r(n,a)．


③ [由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时eq \r(n,a)才有意义，故④错．]


2．计算：(1)eq \r(x2－2x＋1)＝ ．(x<1)


(2)[(－eq \r(2))2]eq \s\up12(－eq \f(1,2))的结果是 ．


(1)1－x (2)eq \f(\r(2),2) [(1)原式＝eq \r(x－12)＝|x－1|＝1－x．


(2)[(－eq \r(2))2]eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝2eq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(\r(2),2)．]


3．计算： (－0．9)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(eq \f(2,3))＋eq \r(1－\r(2)2)．


[解] 由题意，原式＝1＋eq \f(4,9)×eq \f(9,4)＋(eq \r(2)－1)＝eq \r(2)＋1．


4．若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，化简：


eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)．


[解] 由eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1≥0，,2－x≥0，))即eq \f(1,2)≤x≤2．


故eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,x－24)


＝eq \r(2x－12)＋2eq \r(4,x－24)


＝|2x－1|＋2|x－2|


＝2x－1＋2(2－x)＝3．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)


2．掌握有理数指数幂的运算法则．(重点)


3．了解实数指数幂的意义．
通过学习本节内容，提升学生的数学运算核心素养．
根式的性质
根式与分数指数幂的互化
分数指数幂的运算
条件求值问题