2019届二轮复习　数列求和与综合问题作业（全国通用）

专题限时集训(四)　数列求和与综合问题

(建议用时：60分钟)

(对应学生用书第92页)

一、选择题

1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　 )

A．3×44 B．3×44＋1

C．44 D．44＋1

A　[因为an＋1＝3Sn，所以an＝3Sn－1(n≥2)，

两式相减得，an＋1－an＝3an，即＝4(n≥2)，

所以数列a2，a3，a4，…构成以a2＝3S1＝3a1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a6＝a2·44＝3×44.]

2．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＋＋＝，则a2等于(　　 )

A．2 B． 

C．3 D．

C　[∵在等差数列中，S2n－1＝(2n－1)an，∴S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝＋＋，

∵a1a2a3＝15，∴＝＋＋＝，即a2＝3.]

3．已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，则该数列的前23项的和为(　　 )

A．4 194 B．4 195 

C．2 046 D．2 047

A　[当n为偶数时，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶数项成等差数列，所以

b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99.

当n为奇数时，bn＋2＝2bn，即奇数项成等比数列，所以

b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4 095.

所以该数列的前23项的和为99＋4 095＝4 194，故选A．]

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，则＝(　　)

A．1 010 B．1 009 

C．2 020 D．2 019

A　[S2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)，

＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 018＋1)，

＝＝2 019×1 010，∴＝1 010，故选A．]

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝2＋λan，且a1＝1，则S5＝(　　)

A．27 B． 

C． D．31

C　[∵Sn＝2＋λan，且a1＝1，∴S1＝2＋λa1，

即λ＝－1，∴Sn＝2－an，

当n≥2时，Sn＝2－(Sn－Sn－1)，∴2Sn＝2＋Sn－1，即Sn＝Sn－1＋1，

∴Sn－2＝(Sn－1－2)，∴Sn－2＝(－1)×.

当n＝1时也满足．

∴S5＝2－＝.故选C．]

6．设曲线y＝2 018xn＋1(n∈N*)在点(1,2 018)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝log2 018xn，则a1＋a2＋…＋a2 017的值为(　　 )

A．2 018 B．2 017 

C．1 D．－1

D　[因为y′＝2 018(n＋1)xn，所以切线方程是y－2 018＝2 018(n＋1)(x－1)，所以xn＝，

所以a1＋a2＋…＋a2 017＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018＝log2 018＝－1.]

7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87等于(　　)

A． B．60 

C．80 D．160

C　[法一：a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q2×＝×＝×140＝80.故选C．

法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，

b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，

因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，

所以b1(1＋q＋q2)＝140，

而1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.故选C．]

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5，则数列前n项和的最大值为(　　)

A． B．1 

C． D．

A　[a1＝9，a2为整数，可知：等差数列{an}的公差d为整数，由Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，则9＋4d≥0,9＋5d≤0，解得－≤d≤－，d为整数，d＝－2.

∴an＝9－2(n－1)＝11－2n.

＝＝，

数列前n项和为

＝，

令bn＝，由于函数f(x)＝的图象关于点对称及其单调性，可知：0＜b1＜b2＜b3＜b4，b5＜b6＜b7＜…＜0，∴bn≤b4＝1.∴最大值为.故选A．]

二、填空题

9．已知an＝2n，bn＝3n－1，cn＝，则数列{cn}的前n项和Sn为________．

5－　[由题设知，cn＝，

所以Sn＝＋＋＋…＋， ①

2Sn＝2＋＋＋…＋， ②

由②－①得，Sn＝2＋＋＋…＋－.

故所求Sn＝2＋－＝5－.]

10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，＝，＝sin2－cos2，n∈N*，则数列{bn}的前47项和等于________．

1 120　[依题意得＝，故数列是常数列，于是有＝1，an＝n2，bn＝－n2cos ，b3k－2＋b3k－1＋b3k＝－(3k)2＝－9k＋(k∈N*)，因此数列{bn}的前47项和为S47＝S48－b48＝－9×＋×16＋482＝1 120.]

11．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________.

2　[由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，

∵对任意正整数n，上式恒成立，

∴得∴数列{an}的公差为2.]

12．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4－2S2＝3，则S6－S4的最小值为________．

12　[由题可知数列{an}的公比q＞0，an＞0，则3＝(a4－a2)＋(a3－a1)＝a1(q＋1)·(q2－1)，则有q＞1，所以＝＝＝＝－＝－≤(当且仅当q＝时，取等号)，所以S6－S4≥12，即S6－S4的最小值为12.]

三、解答题

13．(2018·黔东南州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝(an－1)，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝log2an，记数列的前n项和为Tn，证明：Tn＜.

[解]　(1)当n＝1时，有a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝4.

当n≥2时，有Sn－1＝(an－1－1)，则

an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，

整理得：＝4，∴数列{an}是以q＝4为公比，以a1＝4为首项的等比数列．

∴an＝4×4n－1＝4n(n∈N*)

即数列{an}的通项公式为：an＝4n(n∈N*)．

(2)由(1)有bn＝log2an＝log2 4n＝2n，则

＝

＝.

∴Tn＝＋＋＋…＋

＝.

易知数列{Tn}为递增数列，

∴T1≤Tn＜，即≤Tn＜.

14．(2018·邯郸市一模)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2.

(1)求Tn－Sn；

(2)求数列的前n项和Rn.

[解]　(1)依题意可得b1－a1＝3，b2－a2＝5，…，bn－an＝2n＋1，

∴Tn－Sn＝(b1＋b2＋…＋bn)－(a1＋a2＋…＋an)

＝n＋(2＋22＋…＋2n)＝2n＋1＋n－2.

(2)∵2Sn＝Sn＋Tn－(Tn－Sn)＝n2－n，

∴Sn＝，

∴an＝n－1.

又bn－an＝2n＋1，

∴bn＝2n＋n.

∴＝1＋，

∴Rn＝n＋，则

Rn＝n＋，

∴Rn＝n＋－，

故Rn＝n＋2×－＝n＋2－ .