2019届二轮复习 数列的综合问题作业（全国通用）
展开第4节 数列的综合问题
一、选择题
1.设{an},{bn}分别是等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( A )
(A)a2>b2 (B)a3<b3
(C)a5>b5 (D)a6>b6
解析:因为a1=4,a4=a1+3d=4+3d=1,
所以d=-1,所以an=4-(n-1)=5-n,
b1=4,b4=b1q3=4q3=1,
所以q=(),
所以bn=4×()=,
所以a2=3,b2==<=a2,a3=2,b3==<=a3,
a5=0,b5=>0=a5,a6=-1<0,b6=>0>a6,故选A.
2.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3),(n∈N+),则an等于( D )
(A)2n-1 (B)n
(C)2n+1 (D)()n-1
解析:因为f(x·y)=f(x)+f(y),
f(Sn+2)-f(an)=f(3),
所以f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an),
Sn+2=3an,
当n≥2时,Sn-1+2=3an-1,
所以an=3an-3an-1,
即=,
又因为S1+2=3a1,所以a1=1,
所以an=a1qn-1=1×()n-1=()n-1.
故选D.
3.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用.第n天的维修保养费为(n∈N+)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了( B )
(A)600天 (B)800天
(C)1 000天 (D)1 200天
解析:第n天的维修保养费为an=,前n天的维修保养费合计为Sn,
则Sn=++…+==
平均每天耗资为=++≥2+=,
当且仅当=,
即n=800时,平均每天耗资最少.故选B.
4.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大值为( B )
(A)第7项 (B)第8项
(C)第7项或第8项 (D)不存在
解析:因为an==≤,当且仅当n=,即n=时,{an}最大.
但n=不是整数,且7<<8,
当n=7时,a7==,
a8==>,故选B.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中b5=a5,b7=a7,则b6的值为( A )
(A)±4 (B)-4
(C)4 (D)无法确定
解析:因为S9=9a1+36d=-36,
所以a1+4d=-4,即a5=-4,
S13=13a1+78d=-104,所以a1+6d=-8,即a7=-8,
又因为b5=a5,b7=a7,所以b5=-4,b7=-8,
所以=b5·b7=(-4)×(-8)=32,
所以b6=±4,故选A.
6.定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足an=(n∈N+),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N+)成立,则ak的值为( A )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:根据题意有an==,
当n=1时,a1==2;当n=2时,a2==1;
当n=3时,a3==;当n=4时,a4==1;
当n≥5时,2n>n2,所以an>1,
故选A.
二、填空题
7.在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为 .
解析:因为在等差数列{an}中,a1=2,a3=6,所以a3=a1+2d=2+2d=6,
所以d=2,an=a1+2(n-1)=2n,
设加上的这个数是A,则a1+A=2+A,a4+A=8+A,a5+A=10+A,
根据题意有(8+A)2=(2+A)(10+A),所以A=-11.
答案:-11
8.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是 .
解析:因为Sn是等差数列{an}的前n项和,
所以S5S6+15=(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
即2+9a1d+10d2+1=0,
所以Δ=(9d)2-4×2×(10d2-1)=d2-8≥0,
所以d≥2或d≤-2.
答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)
9.某人从2013年9月1日起,每年这一天到银行存款一年定期1万元,且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期,若一年定期存款利率2.50%保持不变,到2018年9月1日将所有的存款和利息全部取出,他可取回的钱数约为 万元.
解析:设存入1万元一年定期,n年后的本息为{an},
所以an=(1+2.50%)n,
根据题意n≤5且n∈N,所以{an}成等比数列,
Sn=a1+a2+…+a5
=(1+2.50%)1+(1+2.50%)2+…+(1+2.50%)5
=
≈5.387 737,
所以2018年9月1日他可取回的钱数约为5.387 737万元.
答案:5.387 737
10.夏季山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,则此山相对于山脚处的高度是 米.
解析:设山脚温度为a1=26,山顶温度an=14.8,由于每升高100米,降低0.7 ℃,所以温度的变化成等差数列,所以an=26-0.7(n-1)=14.8,所以n=17,所以此山相对于山脚处的高度是1 600米.
答案:1 600
11.如图的倒三角形数阵满足:(1)第1行的n个数分别是1,3,5,…,2n-1;(2)从第二行起,各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和;(3)数阵共有n行.问:当n=2 012时,第32行的第17个数是 .
1 3 5 7 9 11…
4 8 12 16 20…
12 20 28 36…
…
解析:设第n行的第一个数为an,
则a1=1,a2=4=2a1+2,a3=12=2a2+22,a4=32=2a3+23,…,
由以上归纳,得ak=2ak-1+2k-1(k≥2,且k∈N+),
所以=+,
所以数列{}是以为首项,以为公差的等差数列,
所以=+(n-1)=,所以an=n×2n-1(n∈N+)
由数阵的排布规律可知,每行的数(倒数两行另行考虑)都成等差数列,且公差依次为
2,22,…,2k,…
第n行的首项为an=n×2n-1,公差为2n,
所以,第32行的首项为a32=32×231=236,公差为232,
所以,第32行的第17个数是236+16×232=237.
答案:237
三、解答题
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2,数列{bn}为等比数列,且首项b1=1,b4=8.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{cn}满足cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)因为Sn=n2,
所以Sn-1=(n-1)2(n≥2),
所以an=n2-(n-1)2=2n-1,
又因为{bn}为等比数列,且首项b1=1,b4=8,所以b4=q3=8,所以q=2,所以bn=2n-1,
所以an=2n-1,bn=2n-1.
(2)由(1)有cn===2·2n-1-1=2n-1,
所以Tn=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)
=(2+22+…+2n)-n
=-n
=2n+1-2-n.
13.某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.
(1)求该企业2014年年底分红后的资金;
(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
解:设{an}为(2010+n)年年底分红后的资金,其中n∈N+,则
a1=2×1 000-500=1 500,a2=2×1 500-500=2 500,…,an=2×an-1-500(n≥2),
所以an-500=2(an-1-500)(n≥2),
即数列{an-500}是首项为a1-500=1 000,公比为2的等比数列,
所以an-500=1 000×2n-1,即an=1 000×2n-1+500.
(1)a4=1 000×24-1+500=8 500,
所以该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.
(2)an>32 500,即2n-1>32,得n>6,
所以该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
14.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a10=15,且a3,a4,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-≤Tn<-1(n∈N+).
(1)解:设数列{an}的公差为d(d≠0),
由已知得
即
解得
所以an=2n-5(n∈N+).
(2)证明:因为bn==,n∈N+,
所以Tn=+++…+,①
Tn=+++…++,②
①-②得Tn=+2(++…+)-=-+,
所以Tn=-1-(n∈N+),
因为>0(n∈N+),所以Tn<-1,
因为Tn+1-Tn=(-1-)-(-1-)
=,
所以Tn<Tn+1(n≥2)
又T1=-1-=-,T2=-1-=-,
因为T1>T2,所以T2最小.
即Tn≥T2=-.
综上所述,-≤Tn<-1(n∈N+).
