第5章 分式与分式方程 北师大版数学八年级下册素养综合检测(含解析)

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第五章　素养综合检测 (满分100分,限时60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.(2023福建泉州一中期中)下列各式中,属于分式的是(　　) A.2a　　　　B.x-2y3　　　　C.1π　　　　D.12(a+b) 2.分式16x2与-13xy的最简公分母是(　　) A.6x3y　　　　B.6x2y　　　　C.18x2y　　　　D.18x3y 3.(2023天津西青二模)计算ab+1+2ab+1-3ab+1的结果是(　　) A.ab+1　　　　B.1b+1　　　　C.1　　　　D.0 4.(2023安徽阜阳阶段练)计算aa2-1÷1a-1的结果是(　　) A.aa+1　　　　B.aa-1 C.1a+1　　　　D.1a-1 5.在下列方程中,分式方程的个数为(　　) ①12x2-23x+4=0;②xa=4(a为常数);③ax=4(a为常数);④x2-9x+3=1;⑤1x+2=6;⑥x-1a+x-1a=2(a为常数). A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 6.(2023吉林长春东北师大附中月考)若把分式2xx+y(x,y均为正数)中的x、y都扩大到原来的2倍,则分式的值(　　) A.扩大为原来的2倍　　　　B.不变 C.缩小为原来的12　　　 　D.缩小为原来的14 7.(2023山西省实验中学月考)下列各式中,正确的是(　　) A.2a+12a+3=13　　　　 B.a+3a2-9=1a+3 C.(b-a)2a2-b2=a-ba+b　　　　 D.aa+b=1+ab 8.(2023山西阳泉一模)下面是徐同学的答卷,他的得分是(　　) A.25分　　　　B.50分 C.75分　　　　D.100分 9.【数学文化】(2022湖北襄阳中考)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(　　) A.900x+3=2×900x-1　　　　B.900x-3=2×900x+1 C.900x-1=2×900x+3　　　　D.900x+1=2×900x-3 10.【新考法】(2021河北邯郸丛台期末)规定一种新的运算“JQx→+∞AB”,其中A和B是关于x的多项式.当A的次数小于B的次数时,JQx→+∞AB=0;当A的次数等于B的次数时,JQx→+∞AB的值为A、B的最高次项的系数的商;当A的次数大于B的次数时,JQx→+∞AB不存在.例:JQx→+∞2x-1=0,JQx→+∞x2+22x2+3x-1=12. 若AB=2-3x-1÷6x2-15xx2-1,则JQx→+∞AB的值为(　　) A.0　　　　B.12 C.13　　　　D.不存在 二、填空题(每小题4分,共28分) 11.(2022湖北黄冈中考)若分式2x-1有意义,则x的取值范围是　　　　.  12.(2023广东茂名三模)化简x2+1x-1+2x1-x的结果为　　　　.  13.【新独家原创】小明和爸爸晨练,小明45分钟跑s米,爸爸30分钟跑2s米,则爸爸的速度是小明的　　　　倍.  14.(2023湖北襄阳期末)若1x-1y=-2,则2x+3xy-2yx-xy-y=　　　　.  15.(2023江苏丹阳八中月考)若关于x的方程x-1x-3=mx-3有增根,则m的值为　　　　.  16.若关于x的分式方程x-1x-2-x-2x+1=2x+a(x-2)(x+1)的解是正数,则a的取值范围是　　　　.  17.【新考向·规律探究题】(2023广东清远期中)已知a1=1-122,a2=1-132,a3=1-142,……,an=1-1(n+1)2,且Sn=a1·a2·…·an,则S10=　　　　.  三、解答题(共42分) 18.(6分)解下列分式方程: (1)2x+1=1x-1;　　(2)2+x2-x+16x2-4=-1. 19.(2023湖北荆州中考)(8分)先化简,再求值:2x-yx+y-x2-2xy+y2x2-y2÷x-yx+y,其中x=12-1,y=(-2 023)0. 20.(2023湖南常德中考)(8分)“六一”儿童节将至,张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售,若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个,且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍. (1)求一个A型玩具和一个B型玩具的进价分别是多少; (2)若A型玩具的售价为12元/个,B型玩具的售价为20元/个,张老板购进A、B型玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A型玩具最多购进多少个? 21.(2023山东青岛胶州期末)(10分)定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”. 如:x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1,则x+1x-1是“和谐分式”. (1)下列分式中,属于“和谐分式”的是　　　　(只填序号).  ①x3+5x3;②3x+2x2;③xx+1;④4x2-12x-1. (2)将“和谐分式”x2-2x+2x-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式:x2-2x+2x-1=　　　　.  (3)判断5xx+1-x-1x÷x2-1x2-7x的结果是不是“和谐分式”,并说明理由. 22.(2021广东深圳模拟)(10分)某市计划对道路进行维护.已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%,甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天. (1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度分别是多少千米; (2)若该市计划对200千米的道路进行维护,每天需付给甲工程队的费用为25万元,每天需付给乙工程队的费用为15万元,考虑到要不超过26天完成整个工程,因工程的需要,两队均需参与,该市安排乙工程队先单独完成一部分,剩下的部分两个工程队再合作完成,则乙工程队先单独做多少天,该市需付的整个工程费用最低?整个工程费用最低是多少万元?  答案全解全析 1.A　根据分式的定义可知,只有A选项中的式子属于分式,故选A. 2.B　分式16x2与-13xy的最简公分母是6x2y.故选B. 3.D　ab+1+2ab+1-3ab+1=a+2a-3ab+1=0b+1=0.故选D. 4.A　aa2-1÷1a-1=a(a+1)(a-1)×(a-1)=aa+1.故选A. 5.B　由分式方程的定义可知,③④⑤是分式方程.故选B. 6.B　分别用2x和2y去代换原分式中的x和y,得4x2x+2y=4x2(x+y)=2xx+y,即分式的值不变.故选B. 7.C　A.2a+12a+3是最简分式,不能再约分,故A选项不符合题意;B.a+3a2-9=a+3(a+3)(a-3)=1a-3,故B选项不符合题意;C.(b-a)2a2-b2=(a-b)2(a+b)(a-b)=a-ba+b,故C选项符合题意;D.aa+b≠1+ab,故D选项不符合题意.故选C. 8.C　若1x-1有意义,则x-1≠0,即x≠1,故(1)正确,徐同学回答正确;若x+1x-2的值为0,则x+1=0,x-2≠0,∴x=-1,故(2)错误,徐同学回答错误;n2mn=n·nm·n=nm,故(3)正确,徐同学回答正确;3xy2÷6y2x=3xy2·x6y2=12x2,故(4)正确,徐同学回答正确.∴徐同学的得分为25×3=75(分),故选C. 9.B　∵规定时间为x天,∴慢马所需时间为(x+1)天,快马所需时间为(x-3)天,根据题意,得900x-3=2×900x+1,故选B. 10.C　AB=2-3x-1÷6x2-15xx2-1=2(x-1)-3x-1÷3x(2x-5)(x+1)(x-1)=2x-5x-1·(x+1)(x-1)3x(2x-5)=x+13x,∴A的次数等于B的次数,∴JQx→+∞AB=13,故选C. 11.x≠1 解析　∵分式2x-1有意义,∴x-1≠0,解得x≠1.故答案为x≠1. 12.x-1 解析　原式=x2+1x-1-2xx-1=x2+1-2xx-1=(x-1)2x-1=x-1.故答案为x-1. 13.3 解析　小明的速度为s45米/分钟,爸爸的速度为2s30=s15米/分钟,所以爸爸的速度是小明的s15s45=s15×45s=3倍.故答案为3. 14.7 解析　∵1x-1y=-2, ∴y-xxy=-2,即x-y=2xy, ∴2x+3xy-2yx-xy-y=2(x-y)+3xy(x-y)-xy=4xy+3xy2xy-xy=7. 故答案为7. 15.2 解析　去分母得x-1=m,移项得x=m+1, ∵关于x的方程x-1x-3=mx-3有增根, ∴m+1=3,∴m=2.故答案为2. 16.a>-5且a≠-1 解析　x-1x-2-x-2x+1=2x+a(x-2)(x+1), 去分母,得(x-1)(x+1)-(x-2)2=2x+a, 整理得4x-5=2x+a, ∴2x=a+5, ∴x=a+52, ∵方程的解为正数,∴a+5>0,∴a>-5,∵x≠2,-1,∴a≠-1,-7,∴a>-5且a≠-1, 故答案为a>-5且a≠-1. 17.611 解析　an=1-1n+11+1n+1=nn+1·n+2n+1, ∴S10=a1·a2·…·a9·a10 =12×32×23×43×…×910×1110×1011×1211 =12×1211=611. 故答案为611. 18.解析　(1)去分母得2(x-1)=x+1,解得x=3, 经检验,x=3是原方程的根. ∴原方程的解为x=3. (2)去分母得(2+x)2-16=-(4-x2),解得x=2, 经检验,x=2是分式方程的增根, ∴原方程无解. 19.解析　2x-yx+y-x2-2xy+y2x2-y2÷x-yx+y =2x-yx+y-(x-y)2(x+y)(x-y)·x+yx-y =2x-yx+y-x-yx+y·x+yx-y =xx+y·x+yx-y=xx-y. ∵x=12-1=2,y=(-2 023)0=1, ∴原式=xx-y=22-1=2. 20.解析　(1)设一个A型玩具的进价为x元,则一个B型玩具的进价为1.5x元. 由题意得1 200x-1 5001.5x=20, 解得x=10, 经检验,x=10是原方程的解,且符合题意, 则一个B型玩具的进价为10×1.5=15元. 答:一个A型玩具的进价为10元,一个B型玩具的进价为15元. (2)设购进A型玩具m个,则购进B型玩具(75-m)个. 根据题意得(12-10)m+(20-15)(75-m)≥300, 解得m≤25, ∴最多可购进A型玩具25个. 21.解析　(1)∵x3+5x3=1+5x3,∴①是“和谐分式”; ∵分式3x+2x2中分子的次数低于分母的次数, ∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式, ∴②不是“和谐分式”; ∵xx+1=x+1-1x+1=1-1x+1,∴③是“和谐分式”; ∵4x2-12x-1=(2x+1)(2x-1)2x-1=2x+1, ∴④不是“和谐分式”. 故答案为①③. (2)x2-2x+2x-1=x2-2x+1+1x-1 =(x-1)2+1x-1=x-1+1x-1. 故答案为x-1+1x-1. (3)5xx+1-x-1x÷x2-1x2-7x的结果是“和谐分式”. 理由:5xx+1-x-1x÷x2-1x2-7x =5xx+1-x-1x·x(x-7)(x-1)(x+1) =5xx+1-x-7x+1 =4x+7x+1 =4(x+1)+3x+1 =4+3x+1. ∴5xx+1-x-1x÷x2-1x2-7x的结果是“和谐分式”. 22.解析　(1)设乙工程队每天维护道路的长度是x千米,则甲工程队每天维护道路的长度是(1+50%)x千米, 依题意得24x-30(1+50%)x=1,解得x=4, 经检验,x=4是原方程的解,且符合题意, ∴(1+50%)x=6. 答:甲工程队每天维护道路的长度是6千米,乙工程队每天维护道路的长度是4千米. (2)设乙工程队先单独做m天, 依题意得m+200-4m4+6≤26, 解得m≤10. 设所需工程费用为w万元,则w=15m+(25+15)×200-4m4+6=-m+800, ∵-1<0,∴w随m的增大而减小, ∴当m=10时,w取得最小值,最小值为-10+800=790, ∴乙工程队先单独做10天,该市需付的整个工程费用最低,整个工程费用最低是790万元. 判断题(每小题25分,共100分) (1)当x≠1时,分式1x-1有意义.(√) (2)当x=2时,分式x+1x-2的值为0.(√) (3)n2mn=nm.(√) (4)3xy2÷6y2x=12x2.(√)