数学八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试精品练习

这是一份数学八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试精品练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列式子是分式的是 （B）
A． eq \f(x,2 021) B． eq \f(2 021,x) C． eq \f(x,2 021π) D． eq \f(x＋y,2 021)
2．当x为任意实数时，下列分式中一定有意义的是 （C）
A． eq \f(x＋1,|x|) B． eq \f(x－1,x2) C. eq \f(x＋1,x2＋1) D． eq \f(x＋1,x2－4)
3．如果把分式－ eq \f(3xy,x＋y) 中的x和y都扩大3倍，则分式的值有 （A）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．不变 D．缩小9倍
4．计算(x－4)· eq \f(16－x2,x2－8x＋16) 的结果是 （B）
A．x＋4 B．－x－4 C．x－4 D．4－x
5．张老师和李老师同时从学校出发，去15千米外的县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（C）
A． eq \f(15,x＋1) － eq \f(15,x) ＝ eq \f(1,2) B． eq \f(15,x－1) － eq \f(15,x) ＝ eq \f(1,2)
C． eq \f(15,x) － eq \f(15,x＋1) ＝ eq \f(1,2) D． eq \f(15,x) － eq \f(15,x－1) ＝ eq \f(1,2)
6．★使得关于x的不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,5a－2x≥4a)) 有解，且关于x的方程 eq \f(（1－a）x,2－x) ＝ eq \f(4,x－2) 的解为整数的所有整数a的和为 （C）
A．5 B．6 C．7 D．10
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．计算 eq \f(x＋1,x) － eq \f(1,x) 的结果是1．
8．分式 eq \f(3,m2－4) ， eq \f(5,2－m) 的最简公分母是(m＋2)·(m－2)．
9．当x＝6时，分式 eq \f(5,x－1) 与 eq \f(4,x－2) 的值相等．
10．若 eq \f(（x＋2）－（x＋1）,（x＋1）（x＋2）) ＝ eq \f(m,x＋1) － eq \f(n,x＋2) ，其中m，n为常数，则mn＝1．
11．某地曾发生百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3 600米，为了使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．则原计划每天修水渠80米．
12．★若关于x的方程 eq \f(1,x－4) ＋ eq \f(m,x＋4) ＝ eq \f(m＋3,x2－16) 无解，则m的值为－1或－ eq \f(1,3) 或5．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)计算： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2a－1,a))) ÷ eq \f(1－a2,a2＋a) ；
解：原式＝ eq \f(a2－2a＋1,a) × eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(a（a＋1）,（a－1）（a＋1）)))
＝－ eq \f(（a－1）2,a) × eq \f(a（a＋1）,（a－1）（a＋1）)
＝1－a.
(2)解方程： eq \f(x,x＋2) ＝ eq \f(2,x－1) ＋1.
解：方程两边都乘(x＋2)(x－1)，得
x(x－1)＝2(x＋2)＋(x＋2)(x－1).
解这个方程，得x＝－ eq \f(1,2) .
经检验，x＝－ eq \f(1,2) 是原方程的根．
14．如图，若x为正整数，则表示 eq \f(（x＋2）2,x2＋4x＋4) － eq \f(1,x＋1) 的值的点落在哪一段？
解：∵ eq \f(（x＋2）2,x2＋4x＋4) － eq \f(1,x＋1)
＝ eq \f(（x＋2）2,（x＋2）2) － eq \f(1,x＋1)
＝1－ eq \f(1,x＋1)
＝ eq \f(x,x＋1) ，
又∵x为正整数，即x＝1，2，3，…，
∴ eq \f(1,2) ≤ eq \f(x,x＋1) <1.
即表示 eq \f(（x＋2）2,x2＋4x＋4) － eq \f(1,x＋1) 的值的点落在②段．
15．先化简，再求值： eq \f(a＋3,a) · eq \f(6,a2＋6a＋9) ＋ eq \f(2a－6,a2－9) ，其中a＝ eq \r(3) －1.
解：原式＝ eq \f(a＋3,a) · eq \f(6,（a＋3）2) ＋ eq \f(2（a－3）,（a＋3）（a－3）)
＝ eq \f(6,a（a＋3）) ＋ eq \f(2a,a（a＋3）)
＝ eq \f(2（a＋3）,a（a＋3）)
＝ eq \f(2,a) ，
当a＝ eq \r(3) －1时，原式＝ eq \f(2,\r(3)－1)
＝ eq \r(3) ＋1.
16．分式方程 eq \f(x,x－1) －1＝ eq \f(m,（x－1）（x＋2）) 有增根，求m的值．
解：去分母得x＝m－2.
∵分式方程有增根．
∴增根为x＝1或x＝－2，
∴对应的m＝3或m＝0，
当m＝0时，分式方程变成 eq \f(x,x－1) －1＝0，
此时分式方程无解，与前面x＝－2前后矛盾．
∴m＝3.
17．已知分式 eq \f(6（x＋3）,9－x2) 的值为正整数，求整数x的值．
解： eq \f(6（x＋3）,9－x2) ＝ eq \f(6（x＋3）,（3＋x）（3－x）) ＝ eq \f(6,3－x) .
∵其值为正整数且x为整数，
∴3－x＝1，2，3，6，
由3－x＝1，得x＝2；
由3－x＝2，得x＝1；
由3－x＝3，得x＝0；
由3－x＝6，得x＝－3.
故整数x的值为2，1，0，－3.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是 eq \f(2,x－2) 和 eq \f(1－x,2－x) .
(1)当x＝1.5时，求AB的长；
(2)当点A到原点的距离比点B到原点的距离多3时，求x的值．
解：(1)当x＝1.5时，
eq \f(2,x－2) ＝ eq \f(2,1.5－2) ＝ eq \f(2,－0.5) ＝－4，
eq \f(1－x,2－x) ＝ eq \f(1－1.5,2－1.5) ＝ eq \f(－0.5,0.5) ＝－1，
∴AB＝－1－(－4)＝－1＋4＝3，
即AB的长为3.
(2)由题意可得 eq \f(1－x,2－x) － eq \f(2,x－2) ＝3，
解得x＝1.5，经检验，x＝1.5是分式方程的解，
即x的值是1.5.
19．我市某学校开展“运足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍．服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
解：设学生步行的平均速度为x千米/小时，则 eq \f(24,x) － eq \f(24,2.5x) ＝3.6，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根且符合题意．
答：学生步行的平均速度是4千米/小时．
20．(安徽中考)观察以下等式：
第1个等式： eq \f(2,1) ＝ eq \f(1,1) ＋ eq \f(1,1) ，
第2个等式： eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,6) ，
第3个等式： eq \f(2,5) ＝ eq \f(1,3) ＋ eq \f(1,15) ，
第4个等式： eq \f(2,7) ＝ eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,28) ，
第5个等式： eq \f(2,9) ＝ eq \f(1,5) ＋ eq \f(1,45) ，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明．
解：(1)第6个等式： eq \f(2,11) ＝ eq \f(1,6) ＋ eq \f(1,66) .
(2) eq \f(2,2n－1) ＝ eq \f(1,n) ＋ eq \f(1,n（2n－1）) .
证明：∵右边＝ eq \f(1,n) ＋ eq \f(1,n（2n－1）) ＝ eq \f(2n－1＋1,n（2n－1）)
＝ eq \f(2,2n－1)
＝左边．
∴等式成立．
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．先化简，再求值： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,x2＋x)－1)) ÷ eq \f(x2－1,x2＋2x＋1) ，其中x的值从不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x≤1，,2x－1<4)) 的整数解中选取．
解：原式＝ eq \f(x－x2－x,x（x＋1）) · eq \f(x＋1,x－1)
＝－ eq \f(x,x＋1) · eq \f(x＋1,x－1)
＝ eq \f(x,1－x) .
解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x≤1，,2x－1<4，)) 得－1≤x< eq \f(5,2) .
∴不等式组的整数解为－1，0，1，2.
∵当x＝0，－1或1时，原式无意义，
∴x只能取2.
当x＝2时，原式＝－2.
22．自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润w与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x＋10)元．由题意，得
eq \f(16 000,x＋10) ＝ eq \f(7 500,x) × 2，解得x＝150，
经检验，x＝150是分式方程的解，
∴一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．
(2)∵客商购进A型商品m件，
∴客商购进B型商品(250－m)件．由题意得
w＝80 m＋70(250－m) ＝10m＋17 500，
∵80≤m≤250－m，
∴80≤m≤125.
(3)设利润为W元，则
W＝(80－a)m＋70(250－m)
＝(10－a)m＋17 500，
①当10－a>0时，W随m的增大而增大，
∴m＝125时，
最大利润为(18 750－125a)元．
②当10－a＝0时，最大利润为17 500元．
③当10－a<0时，W随m的增大而减小，
∴m＝80时，
最大利润为(18 300－80a)元．
六、(本大题共12分)
23．【阅读】
我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，可以先作出它们的差M－N，若M－N>0，则M>N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N<0，则M【运用】
利用“作差法”解决下列问题：
(1)小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了m千克该商品，小颖两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克(a，b是整数，且a≠b)，试比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低；
(2)奶奶提一篮子玉米到集贸市场去兑换大米，每2 kg玉米兑换1 kg大米，商贩用秤称得连篮子带玉米恰好20 kg，于是商贩连篮子带大米给奶奶共10 kg，在这个过程中谁吃了亏？请说明理由．
解：(1)∵ eq \f(am＋bm,2m) ＝ eq \f(a＋b,2) ， eq \f(2n,\f(n,a)＋\f(n,b)) ＝ eq \f(2ab,a＋b) ，
∴ eq \f(a＋b,2) － eq \f(2ab,a＋b) ＝ eq \f(（a＋b）2－4ab,2（a＋b）) ＝ eq \f(（a－b）2,2（a＋b）) >0.
∴ eq \f(a＋b,2) > eq \f(2ab,a＋b) .
∴小丽两次所购买商品的平均价格高．
(2)奶奶吃亏．
理由：设篮子重x kg，则玉米重(20－x)kg，应换取 eq \f(20－x,2) kg大米，商贩给奶奶的大米重(10－x)kg.则
eq \f(20－x,2) －(10－x)＝ eq \f(x,2) >0，
∴ eq \f(20－x,2) >10－x.
∴在此过程中奶奶吃亏．