人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题，共6页。试卷主要包含了已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,9)＝1中，以点M(－1，2)为中点的弦所在的直线斜率为( )
A． eq \f(9,16) B． eq \f(9,32) C． eq \f(9,64) D．－ eq \f(9,32)
【答案】B 【解析】设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，设直线为y＝k(x＋1)＋2，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋2，,\f(x2,16)＋\f(y2,9)＝1，))得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋16(k＋2)2－144＝0.所以x1＋x2＝ eq \f(－32k(k＋2),9＋16k2)，所以 eq \f(－32k(k＋2),9＋16k2)＝－2，解得k＝ eq \f(9,32).
2．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋ eq \r(3)y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 eq \r(2) B．2 eq \r(6) C．2 eq \r(7) D．4 eq \r(2)
【答案】C 【解析】设椭圆方程为 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＋\r(3)y＋4＝0，))得(a2＋3b2)y2＋8 eq \r(3)b2y＋16b2－a2b2＝0，由Δ＝0，得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4，代入得a2＋3(a2－4)－16＝0，解得a2＝7，所以a＝ eq \r(7).所以长轴长为2 eq \r(7).
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则 eq \f(y,x－2)的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ eq \f(2,3) eq \r(3) D．以上都不对
【答案】C 【解析】 eq \f(y,x－2)表示椭圆上的点(x，y)与定点(2，0)连线的斜率．不妨设 eq \f(y,x－2)＝k，则过定点(2，0)的直线方程为y＝k(x－2).由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－2)，,4x2＋y2＝4，))得(k2＋4)x2－4k2x＋4k2－4＝0.令Δ＝(－4k2)2－4(k2＋4)·(4k2－4)＝0，得k＝± eq \f(2,3) eq \r(3)，所以kmin＝－ eq \f(2,3) eq \r(3)，即 eq \f(y,x－2)的最小值为－ eq \f(2,3) eq \r(3).
4．若直线kx－y＋3＝0与椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．(－ eq \f(\r(5),4)， eq \f(\r(5),4)) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),4)，\f(\r(5),4)))
C．(－∞，－ eq \f(\r(5),4))∪( eq \f(\r(5),4)，＋∞) D．(－∞，－ eq \f(\r(5),4))∪(－ eq \f(\r(5),4)， eq \f(\r(5),4))
【答案】C 【解析】由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋3，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))得(1＋4k2)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞ eq \f(\r(5),4)或k＜－ eq \f(\r(5),4)时，直线与椭圆有两个公共点．
5．若过椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是( )
A．x－2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－4＝0
【答案】B 【解析】设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \f(x12,16)＋ eq \f(y12,4)＝1， eq \f(x22,16)＋ eq \f(y22,4)＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(1,2)，所以所求直线的方程为y－1＝－ eq \f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.
6．已知椭圆E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A． eq \f(x2,45)＋ eq \f(y2,36)＝1 B． eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,27)＝1
C． eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,18)＝1 D． eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1
【答案】D 【解析】由椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1，得b2x2＋a2y2＝a2b2，因为过点F的直线与椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 eq \f(x1＋x2,2)＝1， eq \f(y1＋y2,2)＝－1，则b2x12＋a2y12＝a2b2①，b2x22＋a2y22＝a2b2②，由①－②，得b2(x12－x22)＋a2(y12－y22)＝0，化简得b2(x1－x2)(x1＋x2)＋a2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以2b2(x1－x2)－2a2(y1－y2)＝0， eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(b2,a2)，又直线的斜率为k＝ eq \f(0－(－1),3－1)＝ eq \f(1,2)，即 eq \f(b2,a2)＝ eq \f(1,2).因为b2＝a2－c2＝a2－9，所以 eq \f(a2－9,a2)＝ eq \f(1,2)，解得a2＝18，b2＝9.故椭圆方程为 eq \f(x2,18)＋ eq \f(y2,9)＝1.
7．(多选)点A(a，1)在椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,2)＝1的内部，则a的值可以是( )
A．－ eq \r(2) B．－1 C．1 D． eq \r(2)
【答案】BC 【解析】由题意知 eq \f(a2,4)＋ eq \f(1,2)<1，解得－ eq \r(2)8．已知斜率为1的直线过椭圆 eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为__________．
【答案】 eq \f(8,5) 【解析】由a2＝4，b2＝1，得c＝ eq \r(3)，所以右焦点F( eq \r(3)，0).所以直线的方程为y＝x－ eq \r(3)，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得5x2－8 eq \r(3)x＋8＜0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8\r(3),5)，x1x2＝ eq \f(8,5).所以|AB|＝ eq \r((1＋k2)[(x1＋x2)2＋4x1x2])＝ eq \f(8,5).
9．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝ eq \f(1,2)x＋1截得的弦长为________．
【答案】 eq \r(35) 【解析】由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1))消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6，所以弦长|MN|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(\f(5,4)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝ eq \r(\f(5,4)×(4＋24))＝ eq \r(35).
10．已知椭圆C的焦点F1(－2 eq \r(2)，0)，F2(2 eq \r(2)，0)，且长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上，
其中c＝2 eq \r(2)，a＝3，从而b＝1，其标准方程为 eq \f(x2,9)＋y2＝1，
联立方程 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,9)＋y2＝1，,y＝x＋2，))消去y得10x2＋36x＋27＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－ eq \f(18,5)，
中点坐标为(x0，y0)，x0＝ eq \f(x1＋x2,2)＝－ eq \f(9,5)，
所以y0＝x0＋2＝ eq \f(1,5).
所以线段AB的中点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(1,5))).
B级——能力提升练
11．(2023年秦皇岛检测)已知椭圆C：x2＋ eq \f(y2,2)＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),4)，\f(\r(3),4)))
【答案】C 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上关于直线l对称的两点，AB的中点为M(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，kAB＝－1.又因为A，B在椭圆C上，所以x12＋ eq \f(y12,2)＝1，x22＋ eq \f(y22,2)＝1，两式相减可得 eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝－2，即y0＝2x0.又因为点M在直线l上，故y0＝x0＋m，解得x0＝m，y0＝2m.因为点M在椭圆C内部，所以m2＋2m2<1，解得m∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).故选C.
12．(多选)(2023年济南检测)已知A(2，0)，B(0，1)是椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若 eq \(ED,\s\up6(→))＝6 eq \(DF,\s\up6(→))，则斜率k可以取的值为( )
A． eq \f(3,4) B． eq \f(3,8) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3)
【答案】BD 【解析】由题可知该椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx，设D(x0，y0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x113．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) 【解析】因为 eq \(MF1,\s\up6(→))· eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，所以 eq \(MF1,\s\up6(→))⊥ eq \(MF2,\s\up6(→))，所以点M在以F1F2为直径的圆上，又因为点M在椭圆内部，所以c＜b，所以c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，所以 eq \f(c2,a2)＜ eq \f(1,2)，即 eq \f(c,a)＜ eq \f(\r(2),2).又因为e＞0，所以0＜e＜ eq \f(\r(2),2).
14．已知椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝ eq \f(\r(5),5)，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l的方程为________．
【答案】 eq \f(x2,20)＋ eq \f(y2,16)＝1 6x－5y－28＝0 【解析】由题意得b＝4，又因为e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(a2－b2,a2)＝1－ eq \f(16,a2)＝ eq \f(1,5)，解得a2＝20，所以椭圆的方程为 eq \f(x2,20)＋ eq \f(y2,16)＝1.所以椭圆右焦点F的坐标为(2，0).如图，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知 eq \(BF,\s\up6(→))＝2 eq \(FQ,\s\up6(→))，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且 eq \f(x12,20)＋ eq \f(y12,16)＝1， eq \f(x22,20)＋ eq \f(y22,16)＝1，以上两式相减得 eq \f((x1＋x2)(x1－x2),20)＋ eq \f((y1＋y2)(y1－y2),16)＝0，所以kMN＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－ eq \f(4,5)· eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－ eq \f(4,5)× eq \f(6,－4)＝ eq \f(6,5)，故直线l的方程为y＋2＝ eq \f(6,5)(x－3)，即6x－5y－28＝0.
15．已知F为椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，且 eq \(MF,\s\up6(→))· eq \(NF,\s\up6(→))＝0，△MNF的面积为 eq \f(1,2)ab.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若F( eq \r(3)，0)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，另一个焦点为F1.
因为 eq \(MF,\s\up6(→))· eq \(NF,\s\up6(→))＝0，所以MF⊥NF，
由椭圆的对称性可知四边形F1MFN为矩形，|MF1|＝|NF|，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|MF1|＋|MF|＝2a，,|MF1|2＋|MF|2＝4c2，,|MF1|×|MF|＝ab，))得4a2＝4c2＋2ab，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝ eq \f(1,2)a，所以 eq \f(3,4)a2＝c2，即 eq \f(c2,a2)＝ eq \f(3,4).
所以椭圆的离心率e＝ eq \f(\r(3),2).
(2)因为F的坐标为( eq \r(3)，0)，e＝ eq \f(\r(3),2)，
所以c＝ eq \r(3)，a＝2，b2＝a2－c2＝4－3＝1，
故椭圆的方程为 eq \f(x2,4)＋y2＝1.
因为直线AB不与坐标轴垂直，故设直线AB的斜率为k，
且k≠0，则直线AB的方程为y＝k(x－ eq \r(3))，
将直线AB方程与椭圆方程联立得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k(x－\r(3))，,x2＋4y2＝4，))
消去y得(1＋4k2)x2－8 eq \r(3)k2x＋12k2－4＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝ eq \f(8\r(3)k2,1＋4k2)，
设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，
则x0＝ eq \f(x1＋x2,2)＝ eq \f(4\r(3)k2,1＋4k2)，
y0＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3)k2,1＋4k2)－\r(3)))＝ eq \f(－\r(3)k,1＋4k2).
则AB垂直平分线的方程为y－y0＝－ eq \f(1,k)(x－x0).
令y＝0，G点横坐标为xG＝x0＋ky0＝ eq \f(4\r(3)k2,1＋4k2)－ eq \f(\r(3)k2,1＋4k2)＝ eq \f(3\r(3)k2,1＋4k2)＝ eq \f(3\r(3),4)－ eq \f(\f(3\r(3),4),1＋4k2)，
因为k≠0，所以1＋4k2>1.
故点G横坐标的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3\r(3),4))).