17.1勾股定理

17.1勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法正确的有（　　）个．①若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；②若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；③若∠A＝90°，则b2+c2＝a2；④总有a2+b2＝c2．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（　　）A．19 B．15 C．12 D．63．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点D在边AB上，点E在边BC上，若AD：BD＝2：3，且DE平分△ABC的周长，则DE的长是（　　）A． B． C． D．4．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　）A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm25．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　）A．13 B．169 C．119 D．6．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（　　）A．a+b＞c B．a+b＜2c C． D．a2+b2＝c27．已知AD是△ABC的边BC上的高，若AD＝2，AB＝，AC＝4，则BC的长为 （　　）A． B． C． D．8．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　）A．40 B．38 C．36 D．329．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　）A．4 B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　）A．1 B．2 C． D．二．填空题（共8小题）11．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么边BC上的中线AD＝　 　．12．如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 　 　米．13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝12，BC＝4，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为 　 　．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 　 　．15．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 　 　．16．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　 　．17．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，∠ADC＝30°，BD＝1，，则AD＝　 　．18．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　．（填序号）三．解答题（共6小题）19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，AC＝6，BC＝8，求S△ABD．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，点O是AC的中点．（1）求证：AF＝BC；（2）求CD的长．21．如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面上向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少？22．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，，求AB的长．23．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，又CD＝3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？17.1勾股定理参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法正确的有（　　）个．①若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；②若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；③若∠A＝90°，则b2+c2＝a2；④总有a2+b2＝c2．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解．【解答】解：∵a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，∴若∠C＝90°，则a2+b2＝c2；若∠B＝90°，则a2+c2＝b2；若∠A＝90°，则b2+c2＝a2；故①②③正确；只有当∠C＝90°时才有a2+b2＝c2，故④错误，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是（　　）A．19 B．15 C．12 D．6【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝5，∴正方形的面积是5×5＝25，∵△AEB的面积是AE×BE＝×3×4＝6，∴阴影部分的面积是25﹣6＝19，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点D在边AB上，点E在边BC上，若AD：BD＝2：3，且DE平分△ABC的周长，则DE的长是（　　）A． B． C． D．【分析】过点D作DM⊥BC于点M，先证△BDM∽△BAC，求得DM＝3.6，BM＝4.8，从而求得EM＝6﹣4.8＝1.2，再利用勾股定理即可得解．【解答】解：过点D作DM⊥BC于点M，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴，∵DE平分△ABC的周长，∴，∵AD：BD＝2：3，AB＝10，∴，BD＝6，∴BE＝12﹣6＝6，∵DM⊥BC，∠C＝90°，∴∠BMD＝∠C＝90°，∴DM∥AC，∴△BDM∽△BAC，∴即，∴DM＝3.6，BM＝4.8，∴EM＝6﹣4.8＝1.2，∴，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键．4．如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形①的面积是（　　）A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．【解答】解：∵两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方，∴直角三角形①中较短的直角边长5cm，∵直角三角形①中较长的直角边长12cm，∴直角三角形 ①的面积＝（cm2），故选：C．【点评】考查了正方形的面积以及勾股定理的应用．推知“正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方”是解题的难点．5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25，和144，则AB的长度为（　　）A．13 B．169 C．119 D．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：根据正方形的面积得AC2＝25，BC2＝144，在Rt△ACB中，AB＝＝＝13，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．6．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（　　）A．a+b＞c B．a+b＜2c C． D．a2+b2＝c2【分析】由三角形的三边关系定理得到a+b＞c，由不等式的性质得到a+b＜2c，由a+b＞c；a，b，c是正数，得到+＞，因此＞，得到+＞，由勾股定理得：a2+b2＝c2．【解答】解：A、a+b＞c，正确，故A不符合题意；B、由a＜c，b＜c，得到a+b＜2c，故B不符合题意；C、由a+b＞c；a，b，c是正数，得到+＞，因此++2＞，所以＞，得到+＞，故C符合题意；D、由勾股定理得：a2+b2＝c2，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理，三角形的三边关系，完全平方公式，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．7．已知AD是△ABC的边BC上的高，若AD＝2，AB＝，AC＝4，则BC的长为 （　　）A． B． C． D．【分析】分两种情况，由勾股定理求出DB，CD的长即可解决问题．【解答】解：当AD在△ABC内部时，如图①，∵AD⊥BC，AD＝2，AB＝，AC＝4，∴BD＝＝，CD＝＝2，∴BC＝DB+CD＝3，当AD在△ABC外部时，如图②，∵AD⊥BC，AD＝2，AB＝，AC＝4，∴BD＝＝，CD＝＝2，∴BC＝CD﹣BD＝，∴BC的长是3或．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，关键是要分两种情况讨论．8．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　）A．40 B．38 C．36 D．32【分析】由勾股定理得AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝4，BC2＝OC2+OB2＝36，即可解决问题．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40，故选：A．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　）A．4 B． C． D．【分析】依据题意，根据正方形的性质、全等三角形的性质可得∠ADG＝∠GPC，又P为BC的中点，从而PB＝PG＝PC，故∠GDH＝∠GBP，由△GDH∽△CBG，进而＝，最后计算可以得解．【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP，∴∠ADG＝∠GPC．∵点P为BC的中点，∴PB＝PG＝PC．∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP．∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP．∴△GDH∽△CBG．∴＝，即＝．设AE＝BF＝HD＝x，∴＝．∴x＝1+或x＝1﹣（舍去）．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　）A．1 B．2 C． D．【分析】过点E作EG⊥AD于G，连接CF，先求出∠EFA＝45°，进而利用勾股定理即可得出FG＝EG＝1，进而求出AE，最后判断出△AEF∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求出AC的长．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF，∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∠CBE＝∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴2（∠BAD+∠ABE）＝90°，∴∠BAD+∠ABE＝45°，∴∠EFG＝∠BAD+∠ABE＝45°，在Rt△EFG中，EF＝，∴FG＝EG＝1，∵AF＝4，∴AG＝AF﹣FG＝3，根据勾股定理，得AE＝＝，∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴CF是∠ACB的平分线，∴∠ACF＝45°＝∠AFE，∵∠CAF＝∠FAE，∴△AEF∽△AFC，∴＝，∴AC＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查角平分线定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出AE，证明出△AEF∽△AFC是解本题的关键．二．填空题（共8小题）11．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，那么边BC上的中线AD＝　12　．【分析】根据勾股定理的逆定理可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AD的长．【解答】解：∵AD是BC上的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，∴BD＝CD＝BC＝5，∵52+122＝132，故是直角三角形．∴AD＝＝12，故答案为12．【点评】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．12．如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯 　7　米．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AC＝5m∴AB＝＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝7米．故答案为：7．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．13．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝12，BC＝4，求AC的长．如果设AC＝x，则可列方程为 　x2+42＝（12﹣x）2　．【分析】设AC＝x，可知AB＝12﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝12，∴AB＝12﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+42＝（12﹣x）2．故答案为：x2+42＝（12﹣x）2．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是 　+1　．【分析】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可解决问题．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．【点评】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 　4　．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：＝，故阴影部分的面积是：＝4，故答案为：4．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　4dm　．【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝8，∴AC＝2dm．∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．故答案为：4dm【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．17．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，∠ADC＝30°，BD＝1，，则AD＝　　．【分析】过C点作CK⊥CD交AD于点K，由∠ADC＝30°得∠DKC＝60°，DK＝2CK，则∠AKC＝120°，∠ACK＝60°﹣∠CAK，由BD＝1，BC＝，得CD＝﹣1，可求得CK＝，DK＝，作BH⊥BC交AD延长线于点H，在HD上截取HG＝HB，连接BG，则△BHG是等边三角形，所以BG＝BH，∠GBH＝∠BGH＝60°，则∠GBD＝∠BDH＝30°，∠BGA＝120°，可求得DG＝BG＝BH＝，则KG＝，由∠BAC＝60°，得∠BAG＝60°﹣∠CAK，则∠ACK＝∠BAG，可证明△AKC∽△BGA，得＝，求得AK＝，则AD＝AK+DK＝，于是得到问题的答案．【解答】解：过C点作CK⊥CD交AD于点K，则∠KCD＝90°，∵∠ADC＝30°∴∠DKC＝60°，DK＝2CK，∴∠AKC＝120°，∠ACK＝60°﹣∠CAK，∵BD＝1，BC＝，∴CD＝﹣1，∴CD＝＝＝CK＝，∴CK＝，DK＝，作BH⊥BC交AD延长线于点H，在HD上截取HG＝HB，连接BG，∵∠HBD＝90°，∠BDH＝∠ADC＝30°，∴∠H＝60°，∴△BHG是等边三角形，∴BG＝BH，∠GBH＝∠BGH＝60°，∴∠GBD＝∠BDH＝30°，∠BGA＝120°，∴DG＝BG＝BH，∵DH＝2BH，∴BD＝＝＝BH＝1，∴DG＝BG＝BH＝，∴KG＝DK+DG＝+＝，∵∠BAC＝60°，∴∠BAG＝60°﹣∠CAK，∴∠ACK＝∠BAG，∵∠AKC＝∠BGA＝120°，∴△AKC∽△BGA，∴，∴＝，整理得3AK2+（2﹣）AK+1﹣＝0，解得AK＝或AK＝（不符合题意，舍去），∴AD＝AK+DK＝+＝，故答案为：．【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　①②④　．（填序号）【分析】①根据正方形的性质得到BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；②过D作DM⊥AC于M，根据三角形的内角和得到∠AED＝60°，解直角三角形即可得到AE＝+1，故②正确；③根据勾股定理求出AC＝2，根据三角形的内角公式得到S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，推出△CEG是等边三角形．根据全等三角形的性质得到DE＝GF．于是得到EF＝CE+ED，故④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；②过D作DM⊥AC于M，∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝75°，∵∠DAE＝45°，∴∠AED＝60°，∵AD＝AB＝，∴AM＝DM＝×＝，∴ME＝DM＝×＝1，∴AE＝+1，故②正确；③根据勾股定理求出AC＝2，∵DM＝，EM＝1，∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，∴CM＝，∴CE＝CM﹣EM＝﹣1，∴S△DEC＝×（﹣1）×＝，故③错误；④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°．∴∠CEG＝60°．∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，∴∠GCF＝45°，∴∠ECD＝GCF．在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE＝GF．∵EF＝EG+GF，∴EF＝CE+ED，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．三．解答题（共6小题）19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，AC＝6，BC＝8，求S△ABD．【分析】作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．由角平分线的性质证得DE＝DC．在△ABC中，由勾股定理求得AB＝10，设CD＝x，则DE＝CD＝x，BD＝8﹣x．AE＝AC＝6，则BE＝4，在Rt△BED中由勾股定理列出x2+42＝（8﹣x）2，求得x的值，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．又∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝DC，在△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10，设CD＝x，则DE＝CD＝x，BD＝8﹣x．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝6，∴BE＝4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴S△ABD．＝AB•DE＝＝15．【点评】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．由已知能够注意到D到AB的距离即为DE长是解决的关键．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，点O是AC的中点．（1）求证：AF＝BC；（2）求CD的长．【分析】（1）证明△FOA≌△BOC即可得出结论；（2）连接FC，易得AF＝CF，在△FDC根据勾股定理易得CD的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO，∵∠AOF＝∠COB，OA＝OC，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC；（2）解：连接FC，根据题意得EB 垂直平分AC，∴AF＝CF，由（1）知 AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，在△FDC中，∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．21．如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面上向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少？【分析】先画出长方体的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图1所示，AB＝＝10cm；如图2所示，AB＝＝cm．∵10＜，∴它从A处爬到B处的最短路线长为10cm．答：它从A处爬到B处的最短路线长为10cm．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，在解答此题时要进行分类讨论．22．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，，求AB的长．【分析】延长BE交AD于点F，根据垂直定义可得∠CBA＝∠A＝90°，从而可得CB∥AD，然后利用平行线的性质可得∠D＝∠C，从而根据ASA证明△CEB≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得DF＝BC＝5，BE＝EF＝，从而可得AF＝5，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：延长BE交AD于点F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴∠CBA＝∠A＝90°，∴CB∥AD，∴∠D＝∠C，∵点E是CD中点，∴CE＝DE，在△CEB和△DEF中，，∴△CEB≌△DEF（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF＝，∵AD＝10，∴AF＝AD﹣DF＝5，在Rt△ABF中，BF＝BE+EF＝13，∴AB＝＝＝12，∴AB的长为12．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．如图所示，A、B两村在河岸CD的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，又CD＝3km，现要在河岸CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用．【分析】作出点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点O，连接BO，根据对称性可知，在点O处建水厂，铺设水管最短，所需费用最低．【解答】解：如图所示，点O就是建水厂的位置，∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，∴AE＝AC+CE＝AC+DB′＝AC+BD＝1+3＝4km，B′E＝CD＝3km，AB′＝＝＝5km，铺设水管长度为：AO+OB＝AO+OB′＝AB′＝5km，∵铺设水管的工程费用为每千米20 000元，∴铺设水管的总费用为：5×20 000＝100 000元．故答案为：100 000元．【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用轴对称的性质，找出点B关于CD的对称点是确定建水厂位置O的关键．24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？【分析】（1）利用勾股定理得出AC＝8cm，进而表示出AP的长，由勾股定理求出PB，进而得出答案；（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD＝BC＝6cm，因此BD＝10﹣6＝4cm，设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．∵∠C＝90°，∴由勾股定理得PB＝2cm∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC，∴PD＝PC．在Rt△BPD与Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD＝BC＝6 cm，∴AD＝10﹣6＝4 cm．设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴当t＝3秒时，BP平分∠CAB；（3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形；②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP＝7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC∴PA＝PB＝5cm∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 10:52:05；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.com；学号：30082752