高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件优秀课件ppt
展开同学们,当某一天你和你的妈妈在路上遇到老师的时候,你向老师介绍你的妈妈说:“这是我的妈妈!”那么,大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说你是她的孩子呢?不会了!为什么呢?因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以说明你是她的孩子.那么,这在数学中是一层什么样的关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件.
问题1 x>3是x>2的_________条件.
总结:一般地,如果p⇒q且q⇏p,则称p是q的充分不必要条件,相应地,我们称q是p的必要不充分条件.
【练一练】(1)设a∈R,则“a>2”是“a2>4”的_________条件.
(2)“a+b<0”是“a<0,b<0”的_________条件.
(2)当a与b异号且负数绝对值大时,也有a+b<0,所以“a+b<0”推不出“a<0,b<0”,显然“a<0,b<0”能推出“a+b<0”,所以“a+b<0” 是“a<0,b<0”的必要不充分条件.
问题2 如果p⇒q且q⇏p,则p是q的充分不必要条件;如果p⇏q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件.类似地,p、q之间的推出关系还会有哪几种情形?
此时,也读作“p与q等价”“p当且仅当q”.
当然,p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
(2)如果p⇏q且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【练一练】判断下列各题中,p是否是q的充分条件,p是否是q的必要条件:
(1)p:x>1,q:x>0;
(2)p:|x|=1,q:x=1;
(3)p:|x|=1,q:x2=1;
(4)p:x>1,q:x<2;
(5)p:x≥0,q: 有意义.
p是q的充分不必要条件;
p是q的必要不充分条件;
p是q的既不充分也不必要条件;
问题3 我们知道数学上的判定定理、性质定理与充分条件、必要条件有关,那么数学定义与充分条件、必要条件有关吗?试以某一定义为例说明!
问题4 结合实例,说明为什么有些数学对象有多种定义.
例1 在△ABC中,判断∠B=∠C是否是AC=AB的充要条件.
所以∠B=∠C⇒AC=AB;
又因为“在三角形中,等边对等角”,
所以AC=AB⇒∠B=∠C.
从而∠B=∠C⇔AC=AB,
因此△ABC中,∠B=∠C是AC=AB的充要条件.
例2 (1)“x≤0”是“|x|=-x”的_________条件.
(2)因为A={x|x≤0},B={x||x|=-x},不难看出A=B,因此x≤0⇒|x|=-x,也就是说x≤0是|x|=-x的充要条件,x≤0与|x|=-x等价,x≤0当且仅当|x|=-x.
例2 已知关于x的方程ax2+bx+c=0(*),试证明a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充要条件.
因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,
得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.
所以方程(*)有一个根为1,
所以a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充分条件;
因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0.
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
所以a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的必要条件.
因此a+b+c=0是方程(*)有一个根为1的充要条件.
回顾本节课,你有什么收获?
p是q的充分不必要条件
p是q的既不充分 也不必要条件
作业:教材P35练习B3,习题1-2A3
设x∈R,a<b,若“a≤x≤b”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件,则b-a的取值范围为( )
因为“a≤x≤b”是“x2+x-2≤0”的充分不必要条件,且a<b
A.(0,2) B.(0,2] C.(0,3) D.(0,3]
所以0<b-a<3,故选C.
设全集为U,对于集合A,B,则“A∩B=∅”是“存在集合C,使得A⊆C且B⊆∁UC”的( )
A∩B=∅”能推出“存在集合C,使得A⊆C且B⊆∁UC.故选C.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
求证:a=b是a2+b2=2ab的充要条件.
因为a=b,所以a2+b2=a2+a2=2a2,
又因为2ab=2a2,所以a2+b2=2
因为a2+b2=2ab,所以a2+b2-2ab=0,
即(a-b)2=0,所以a=b.
综上可知,a=b是a2+b2=2ab的充要条件.
在下列电路图中,分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件:
如题图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件.
如题图(4)所示,开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件.
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