人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件导学案及答案

充分条件、必要条件

新知初探·自主学习——突出基础性

知识点一　充分条件与必要条件

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficientcondition)，q是p的必要条件(necessarycondition)．

状元随笔　如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p ⇒/   q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

知识点二　充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficientandnecessarycondition)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

状元随笔　p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．

基础自测

1.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的(　　)

A．充分条件　　B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

3．设A、B是两个集合，则“A＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．用符号“⇒”与“⇒/”填空：

(1)x2＞1________x＞1；

(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　充分条件、必要条件、充要条件的判断

[教材P31例1]

例1　判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件：

(1)p：x∈Z，q：x∈R；

(2)p：x是长方形；q：x是正方形．

p⇒q由充分条件的定义来判断．

p⇒q由必要条件的定义来判断．

教材反思

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1．定义法

(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．

(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．

(3)根据推式及条件得出结论．

2．等价转化法

(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．

(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

若¬p⇒¬q，且¬q¬p，则p是q的必要不充分条件；

若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件；

若¬p¬q，且¬q¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．

3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．

4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．

5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．

跟踪训练1　指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；

(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c.

题型2　求条件(充分条件、必要条件和充要条件)

[经典例题]

例2　使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．x≥0

B．x＜0或x＞2

C.x∈{－1，3，5}

D．x≤－或x≥3

方法归纳

本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－}{x|x＞2或x＜0}，误选B.事实上，“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q，我们只需找到条件p使p⇒q且qp即可．使2x2－5x－3＜0成立的x为－＜x＜3，再求必要不充分条件．

跟踪训练2　2x2－5x－3＜0的必要不充分条件是(　　)

A．－＜x＜3

B．0＜x＜2

C．－1＜x＜2

D．－＜x＜4

题型3　充分条件、必要条件、充要条件的应用

[经典例题]

例3　已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．

状元随笔

方法归纳

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．

跟踪训练3　已知M＝{x|(x－a)2＜1}，N＝{x|x2－5x－24＜0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．

先求M、N，再利用充分条件得M⇒N，即M⊆N来求a的取值范围．

1．2.3　充分条件、必要条件

新知初探·自主学习

[基础自测]

1．解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．

答案：B

2．解析：因为(－1，3)(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．

答案：C

3．解析：A、B是两个集合，则由“A＝A”可得“A⊆B”，由“A⊆B”可得“A＝A”，所以A、B是两个集合，则“A＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

答案：C

4．解析：(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.

(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．

答案：(1)　(2)⇒

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p⇒q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)因为长方形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

跟踪训练1　解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．

(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．

例2　【解析】　由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－，所以选项中只有x∈{－1，3，5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．

【答案】　C

跟踪训练2　解析：2x2－5x－3<0⇒－<x<3，

∵()()

∴－<x<4是2x2－5x－3<0的必要不充分条件．

答案：D

例3　【解析】　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝；

N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}，

由已知p⇒q且qp，得MN.

∴或

解得≤a<2或<a≤2，即≤a≤2，

即所求a的取值范围是.

跟踪训练3　解析：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，

∴a－1<x<a＋1.

则M＝{x|a－1<x<a＋1}，

又由x2－5x－24<0得－3<x<8.

则N＝{x|－3<x<8}．

∵M是N的充分条件，∴M⊆N，

∴解得－2≤a≤7.

故a的取值范围是－2≤a≤7.

