高中1.2.3 充分条件、必要条件第2课时巩固练习

课后素养落实(九)　充要条件

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[由A∩B＝A可知A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C．]

2.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，所以A＝{x|－4≤x≤4}．又A⊆B，所以a≥4，故选B．]

3．实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0　　　　　 B．ab＞0

C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0

D　[a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D．]

4.“xy≥0”是“|x＋y|＝|x|＋|y|”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C　[|x＋y|＝|x|＋|y|

⇔|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2

⇔xy＝|x|·|y|

⇔xy≥0.]

5．设P，Q是非空集合，甲为P∩Q＝P∪Q；乙为：P⊆Q，那么甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　[P∩Q＝P∪Q⇒P＝Q⇒P⊆Q，

当PQ时，P∩Q≠P∪Q，

所以P⊆QP∩Q＝P∪Q，

所以甲是乙的充分不必要条件．]

二、填空题

6．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”，这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件．(将正确的序号填在横线上)

①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．

①　[由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.]

7．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

{m|m＞3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知

{x|x<3}，

所以(m＋3)＞3，解得m＞3.]

8.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的充要条件的图为________．

甲　　　　乙　　　　丙　　　　丁

乙　[对于图甲，开关S1闭合灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，

∴A是B的充分不必要条件．

对于图乙，只有一个开关，灯如果要亮，开关S1必须闭合，

∴A是B的充要条件．

对于图丙，∵灯亮必须S1和S2同时闭合，

∴A是B的必要不充分条件．

对于图丁，灯一直亮，跟开关没有关系，

∴A是B的既不充分也不必要条件．]

三、解答题

9．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

[解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；

②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；

若方程有两个负的实根，

则必须满足⇒0＜a≤.

综上，若方程至少有一个负实根，则a≤.

反之，若a≤，则方程至少有一个负实根．

因此关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一负实根的充要条件是a≤.

10．设p：实数x满足a＜x＜4a(a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5.若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

[解]　因为q是p的充分不必要条件，

所以q对应的集合是p对应集合的真子集，所以(2,5](a,4a)，其中a＞0，

则得得＜a≤2，

即实数a的取值范围是.

1．(多选题)对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是(　　)

A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件

B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

C．“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件

D．“a＜5”是“a＜3”的必要条件

BD　[A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；C中“a＞b”⇒“a2＞b2”为假命题，“a2＞b2”⇒“a＞b”也为假命题，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；D中{a|a＜3}是{a|a＜5}的真子集，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故D为真命题．]

2．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，不等式a1x＋b1＜0与不等式a2x＋b2＜0的解所组成的集合分别为集合M和集合N，那么“＝”是“M＝N”的(　　)

A．充分不必要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充要条件

D．必要不充分条件

D　[取a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，

则可得M＝(－∞，－1)，N＝(－1，＋∞)，M≠N，

因此不是充分条件，而由M＝N，可知方程a1x＋b1＝0与a2x＋b2＝0的解相同，

则－＝－，即＝，

因此，“＝”是“M＝N”的必要不充分条件．]

3．设m∈N*，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.

3或4　[x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4.又m∈N*，取m＝1,2,3,4，验证可得m＝3,4符合题意，反之m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．]

4．设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

　[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，

所以解得0≤a≤.]

对于非零实数x，y有x＞y，试探求＜的充要条件，并加以证明．

[解]　充要条件是xy＞0，证明如下：

必要性：由＜，知＞0，又x＞y，则x－y＞0，所以xy＞0.

充分性：因为x＞y，所以y－x＜0.

因为xy＞0，所以＞0，

所以＜0，

即＜.

综上所述，对于非零实数x，y，当x＞y时，＜的充要条件是xy＞0.