高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念精品一课一练

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29519" 【题型1 复数的分类及辨析】 PAGEREF _Tc29519 \h 2
\l "_Tc1868" 【题型2 根据复数的相等条件求参数】 PAGEREF _Tc1868 \h 3
\l "_Tc984" 【题型3 复数的几何意义】 PAGEREF _Tc984 \h 6
\l "_Tc21848" 【题型4 复数的向量表示】 PAGEREF _Tc21848 \h 7
\l "_Tc31072" 【题型5 共轭复数的求解】 PAGEREF _Tc31072 \h 9
\l "_Tc14817" 【题型6 复数的模的计算】 PAGEREF _Tc14817 \h 10
\l "_Tc20483" 【题型7 复数的模的几何意义】 PAGEREF _Tc20483 \h 11
【知识点1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【题型1 复数的分类及辨析】
【例1】（2023·高一课前预习）在2+7，27i，8+5i，(1−3)i，0.618这五个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】根据复数的定义、复数的分类判断．
【解答过程】27i，(1−3)i是纯虚数，2+7，0.618是实数，8+5i是虚数．故纯虚数的个数为2．
故选：C．
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数x+i的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数B．存在x使得x+i是纯虚数
C．不是实数D．实部和虚部均为1
【解题思路】根据复数的定义、复数的分类，逐项判断即可．
【解答过程】由复数x+i，
当x=−i时，x+i=0为实数，故A、C不正确；
当x=0时，x+i=i，故B正确；
由于x的取值未知，故D错误；
故选：B.
【变式1-2】（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数a=b，那么a−b+(a+b)i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果a=0，那么z=a+bi是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【解答过程】对于A中，若a=b=0，那么a−b+(a+b)i=0∈R，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若a=0且b=0时，复数z=a+bi=0∈R，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位i2=−1，可得D错误.
故选：B.
【变式1-3】（2023下·湖南长沙·高一校考阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若x2+1=0，则x=iB．实部为零的复数是纯虚数
C．z=x2+1i可能是实数D．复数z=2+i的虚部是i
【解题思路】根据复数的概念即可求解.
【解答过程】A.x=±i，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当x=i时，z=x2+1i是实数，说法正确；
D.复数z=2+i的虚部是1，说法不正确.
故选：C.
【题型2 根据复数的相等条件求参数】
【例2】（2023·全国·校联考模拟预测）已知x12−i2=1−yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x−y=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由复数相等的条件列方程组求解出x,y，从而可求出x−y的值.
【解答过程】由题意得x2−x2i=1−yi，
所以x2=1−x2=−y，得x=2y=1，
所以x−y=1.
故选：A.
【变式2-1】（2023下·全国·高一专题练习）已知a,b∈R，且a−1+ai=3+2bi，则b=（ ）
A．1B．52C．2D．4
【解题思路】利用复数相等列方程组，由此求得b.
【解答过程】由于a−1+ai=3+2bi，
所以a−1=3a=2b⇒a=4b=2.
故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）若z1=−3−4i,z2=n2−3m−1+n2−m−6im,n∈R，且z1=z2，则m+n=
A．4或0B．-4或0C．2或0D．-2或0
【解题思路】由复数相等的充要条件可得n2−3m−1=−3且n2−m−6=−4，再求解即可.
【解答过程】解：由z1=z2，
得n2−3m−1=−3，且n2−m−6=−4，
解得m=2，n=±2，
所以m+n=4或m+n=0，
故选：A.
【变式2-3】（2023下·山西阳泉·高一统考期末）已知复数z1=m+4−m2i,z2=2csθ+λ+3sinθi,m,λ,θ∈R，且z1=z2，则λ的取值范围是（ ）
A．−916,1B．−916,7
C．−916,+∞D．1,7
【解题思路】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得λ=4sinθ−382−916，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得λ的取值范围.
【解答过程】复数z1=m+4−m2i,z2=2csθ+λ+3sinθi,m,λ,θ∈R，且z1=z2，
所以m=2csθ4−m2=λ+3sinθ，则λ=4−4cs2θ−3sinθ=4sin2θ−3sinθ=4sinθ−382−916
因为θ∈R，所以sinθ∈−1,1，当sinθ=38时，λmin=−916，当λ=−1时，λmax=7
所以λ的取值范围是−916,7.
故选：B.
【知识点2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2023上·山西·高二统考学业考试）在复平面内，表示复数z=1−i的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解题思路】复数z=1−i在复平面内对应的点为1,−1，得到答案.
【解答过程】复数z=1−i在复平面内对应的点为1,−1，该点所在象限为第四象限，
故选：D.
【变式3-1】（2023上·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）在复平面内，复数z和2−ii表示的点关于虚轴对称，则复数z＝（ ）
A．1+2iB．−1+2iC．−1−2iD．1−2i
【解题思路】根据复数的几何意义求解即可.
【解答过程】由题意可得2−ii=2i−i2=2i+1对应的点为1,2，
该点关于虚轴对称的点为−1,2，所以复数z对应的点为−1,2，
所以z=−1+2i.
故选：B.
【变式3-2】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，复平面内点P所表示的复数为（每个小方格的边长为1）（ ）
A．2+2iB．3+iC．3+3iD．3+2i
【解题思路】根据复数的坐标表示分析判断.
【解答过程】由题意可知：点P的坐标为3,2，
所以复平面内点P所表示的复数为3+2i.
故选：D.
【变式3-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知z=1+im+3−i在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．−3,1B．−1,3
C．1,+∞D．−∞,−3
【解题思路】根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数m的取值范围.
【解答过程】将z=1+im+3−i整理化简可得z=m+3+m−1i，
所以复数z在复平面内对应的点坐标为m+3,m−1，
由点位于第四象限可得m+3>0m−1<0，解得−3所以实数m的取值范围是−3,1.
故选：A.
【题型4 复数的向量表示】
【例4】（2023下·高一课时练习）向量AB=2,−3对应的复数为（ ）
A．2−3iB．2+3iC．3+2iD．−3−2i
【解题思路】由复数的几何意义即可得解.
【解答过程】由复数的几何意义知：AB=2,−3对应的复数为2−3i．
故选：A．
【变式4-1】（2023下·河北张家口·高一校考阶段练习）已知复数z1=1−i,z2=−1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点分别为A,B，将向量OA绕着点O（O为复平面内的原点）逆时针旋转90∘得到向量OC，则OC+OB对应的复数为（ ）

A．−1+2iB．2iC．3iD．1−2i
【解题思路】依题意可得A1,−1，B−1,2，向量OC与向量OA=1,−1关于x轴对称，即可求出OC的坐标，从而求出OC+OB，再写出其对应的复数即可.
【解答过程】依题意可得A1,−1，B−1,2，OB=−1,2，
由图知，向量OC与向量OA=1,−1关于x轴对称，∴OC=1,1，
∴OC+OB=1,1+−1,2=0,3，
所以OC+OB对应的复数为3i.
故选：C.
【变式4-2】（2023下·高一课时练习）在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为5+3i，OB与OA关于y轴对称，则点B对应的复数是（ ）
A．5−3iB．−5−3iC．5+3iD．−5+3i
【解题思路】由对称性结合复数的几何意义得出点B对应的复数.
【解答过程】设向量OB对应的复数为a+bi,a,b∈R，对应复平面的坐标为a,b.
因为向量OA对应的复数为5+3i，所以OA对应复平面的坐标为5,3.
因为OB与OA关于y轴对称，所以a=−5,b=3.
即向量OB对应的复数为−5+3i，因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是−5+3i.
故选：D.
【变式4-3】（2023·北京东城·统考二模）在复平面内，O是原点，向量OZ对应的复数是−1+i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（ ）
A．−2B．−2iC．−1D．−i
【解题思路】由复数的几何意义结合图象可得.
【解答过程】
如图，由题意可知OZ=−1,1，OZ与x轴夹角为34π，
绕点O逆时针方向旋转π4后Z到达x轴上Z1点，又OZ1=OZ=2，
所以Z1的坐标为−2,0，所以OZ1对应的复数为−2.
故选：A.
【题型5 共轭复数的求解】
【例5】（2023上·北京顺义·高三校考期中）在复平面内，z对应的点的坐标是(1,3)，则z的共轭复数z=（ ）
A．1+3iB．1−3i
C．−1+3iD．−1−3i
【解题思路】先根据复数的几何意义写出复数z；再根据共轭复数的定义即可得出结果.
【解答过程】因为复数z对应的点的坐标是(1,3)，
所以z=1+3i，
则z=1−3i，
故选：B.
【变式5-1】（2023上·广东江门·高二校考阶段练习）设a，b∈R，i是虚数单位，若复数a+i与−1+bi互为共轭复数，则实数复数a，b的值为（ ）
A．a=−1，b=1B．a=−1，b=−1
C．a=1，b=1D．a=1，b=−1
【解题思路】由共轭复数的概念直接求解即可.
【解答过程】因为复数a+i与−1+bi互为共轭复数，所以a=−1b=−1，
故选：B.
【变式5-2】（2023下·新疆喀什·高一统考期末）设复数z=3−4i，则z的共轭复数的模为（ ）
A．7B．1C．5D．25
【解题思路】根据共轭复数的定义得出z的共轭复数，即可根据复数的模的求法得出答案.
【解答过程】复数z=3−4i的共轭复数为z=3+4i，
则其模z=32+42=5，
故选：C.
【变式5-3】（2023下·湖南长沙·高二校考期中）在▱ABCD中，点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3−5i，则点D对应复数的共轭复数是（ ）
A．2−3iB．4+8i
C．4−8iD．1+4i
【解题思路】利用复数的几何意义及平行四边形的性质计算即可.
【解答过程】由题意可得A4,1,B3,4,C3,−5，
设▱ABCD的对角线的交点为MxM,yM，点D的坐标为x,y，
由中点坐标公式得xM=4+32=3+x2yM=1−52=4+y2⇒x=4y=−8，
所以点D4,−8，即点D对应的复数为z=4−8i，
故其共轭复数z=4+8i.
故选：B.
【题型6 复数的模的计算】
【例6】（2023上·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知复数z=1+2i（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A．1B．4C．3D．5
【解题思路】根据复数的模长公式直接求解即可.
【解答过程】由题意可得：|z|=12+22=5.
故选：D.
【变式6-1】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）设复数z在复平面内对应的点为0,a，若z=2，则a=（ ）
A．2iB．2iC．±2D．±2
【解题思路】根据复数的几何意义可得z=ai，再根据复数的模即可求解.
【解答过程】因为复数z在复平面内对应的点为0,a，所以z=ai.
因为z=2，所以a2=2，解得a=±2.
故选:C.
【变式6-2】（2023下·北京大兴·高一统考期末）已知在复平面内复数z对应的点的坐标为−3,4，则z=（ ）
A．3B．4
C．5D．42
【解题思路】根据复数的几何意义得出复数z，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【解答过程】因为在复平面内复数z对应的点的坐标为−3,4，
所以z=−3+4i，z=9+16=5.
故选：C.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）在复平面内，复数z=2−mi(m∈R)对应的点位于第四象限，且|z|=4，则m=（ ）
A．−23B．43C．2D．23
【解题思路】根据模长公式求得m=±23，又复数z所对应的点位于第四象限，则m>0，即可求解
【解答过程】由复数的模的定义及|z|=4，得4+m2=4，解得m=±23．
又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，
∴m>0，∴m=23，
故选：D．
【题型7 复数的模的几何意义】
【例7】（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足|z+2−2i|=2，且复数z在复平面内的对应点为M．
(1)确定点M的集合构成图形的形状；
(2)求|z−1+2i|的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点M的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【解答过程】（1）设复数−2+2i在复平面内的对应点为P(−2,2)，
则|z+2−2i|=|z−(−2+2i)|=|MP|=2，
故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数1−2i在复平面内的对应点为Q(1,−2)，则|z−1+2i|=|MQ|,如下图所示，
|PQ|=(1+2)2+(−2−2)2=5，
则|z−1+2i|的最大值即|MQ|的最大值是|PQ|+2=7；
|z−1+2i|的最小值即|MQ|的最小值是|PQ|−2=3．
【变式7-1】（2022下·高一课时练习）已知复数z1=2+i,z2=a+b2+3b−3i；
(1)若z1=z2，求实数a,b的值；
(2)若复数z=x+yix,y∈R，且满足z−z1=1，求复数z在复平面内所对应的点x,y到−2，4的距离的最大值.
【解题思路】（1）根据复数相等即可求解；
（2）先确定复数z在复平面内所对应的点的轨迹，再数形结合即可求解.
【解答过程】（1）因为z1=z2，所以a=2b2+3b−3=1，
由a=2解得a=±2，
由b2+3b−3=1,b+4b−1=0解得b=−4或b=1，
故实数a的值为±2，实数b的值为b=−4或b=1.
（2）因为z−z1=1，所以x−2+y−1i=1，
所以x−22+y−12=1，
即复数z在复平面内所对应的点Zx,y的轨迹是以A2,1为圆心，半径r=1的圆，
如图所示：
所以复数z在复平面内所对应的点x,y到P−2，4的距离的最大值为
PA+r=2+22+1−42+1=6.
【变式7-2】（2023下·广东江门·高一校考阶段练习）若z=x+yix,y∈R，i为虚数单位，在复平面内z所对应的点为Z，且z+2−2i=1，
（1）求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并且求该图形的方程；
（2）z−2−2i的最小值．
【解题思路】（1）由复数的几何意义可得复数z对应的点Z在以z0=−2+2i对应的点Z0为圆心，1为半径的圆上，从而可写出其方程，
（2）由复数的几何意义可知z−2−2i表示Z点到2+2i对应的点A的距离，其最小值是AZ0−1
【解答过程】（1）由z+2−2i=1得z−−2+2i=1，
因此复数z对应的点Z在以z0=−2+2i对应的点Z0为圆心，1为半径的圆上，
方程为：x+22+y−22=1
如图所示．
（2）设y=z−2−2i，则y是Z点到2+2i对应的点A的距离．又AZ0=4，
∴由图知ymin=AZ0−1=3．
【变式7-3】（2023下·广东东莞·高一统考期末）设复数z=x+yi，z0=x0+y0i，记复数z与z0分别对应复平面内的点Zx,y和Z0x0,y0.
（1）根据复数及其运算的几何意义，求Z和Z0两点间的距离；
（2）已知z−z0=r（r为正实数）表示动点Z的集合是以点Z0为圆心，r为半径的圆.那么满足条件1≤|z−1+i|≤3的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积.
【解题思路】（1）求出|ZZ0|=x0−x,y0−y，即得解；
（2）z−1+i=1表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆，方程z−1+i=3表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、3为半径的圆，即得解.
【解答过程】解：（1）复数z=x+yi，z0=x0+y0i，分别对应向量OZ→=x,y，OZ0→=x0,y0，
所以ZZ0=ZZ0→=OZ0→−OZ→=x0,y0−x,y
=x0−x,y0−y=x0−x2+y0−y2
（2）由题知方程z−1+i=1表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、1为半径的圆，
方程z−1+i=3表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、3为半径的圆，
故不等式1≤|z−1+i|≤3表示的动点Z的集合是以点（1，1）为圆心、半径分别为1和3的两个圆所形成的圆环形图形（含边界），
所以该圆环形图形的面积为S=π⋅32−π⋅12=8π.