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专题6.12 平面向量及其应用全章综合测试卷(提高篇)-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练(人教A版必修第二册)
展开第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷(提高篇) 参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题,满分40分,每小题5分) 1.(5分)(2023下·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习)下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b ③若a∥b,b∥c,则a∥c; ④若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 其中,真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解题思路】根据向量共线的概念依次判断各选项即可得答案 【解答过程】解:对于①,若|a|=|b|,则模相等,方向不一定相同,故错误; 对于②,当a=−b时也满足|a|=|b|且a∥b,故错误; 对于③,当b=0时,满足a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立; 对于④,若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件,正确. 故真命题的个数是1个. 故选:B. 2.(5分)(2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期中)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,AB=4e1+2e2,BC=−e1+λe2,CD=e1+1−λe2,且A,C,D三点共线,则λ=( ) A.12 B.2 C.4 D.14 【解题思路】根据已知求出AC=3e1+λ+2e2.根据已知可得AC,CD共线,进而得出AC=μCD,代入向量整理得出方程组3−μ=0λ+2−μ+μλ=0,求解即可得出答案. 【解答过程】由已知可得,AC=AB+BC=3e1+λ+2e2,CD=e1+1−λe2. 因为A,C,D三点共线,所以AC,CD共线, 则∃μ∈R,使得AC=μCD, 即3e1+λ+2e2=μe1+μ1−λe2, 整理可得3−μe1+λ+2−μ+μλe2=0. 因为e1,e2不共线, 所以有3−μ=0λ+2−μ+μλ=0,解得λ=14μ=3. 故选:D. 3.(5分)(2023·全国·高一专题练习)向量a=(1,3),b=3x−1,x+1,c=5,7,若a+b∥a+c,且c=ma+nb,则m+n的值为( ) A.2 B.52 C.3 D.72 【解题思路】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出x=1,再利用向量的坐标表示得到关于m、n的方程组进行求解. 【解答过程】由题意,得a+b=3x,x+4 ,a+c=6,10, 因为a+b∥a+c,所以30x=6x+24,解得x=1, 则c=ma+nb=m,3m+2n,2n=m+2n,3m+2n=5,7, 即m+2n=53m+2n=7,解得m=1n=2,故m+n=3. 故选:C. 4.(5分)(2023上·天津东丽·高三校考阶段练习)如图,△ABC是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形,若AD=4,BD=2,点M为线段CE上的动点,则AM−BC⋅MD的最大值为( ) A.169 B.214 C.6 D.10 【解题思路】利用平面向量的线性表示和数量积,转化为函数的最值问题求解. 【解答过程】根据题意可得,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60∘, 所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120∘, 又因为AD=4,BD=2, 所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2, 设EM=λEC0≤λ≤1,则MC=1−λEC, 所以MD=ME+ED=ED−EM=ED−2λEF, AM−BC=AC+CM−AC−AB=CM+AB =2λ−1EF+2ED−DF, 所以AM−BC⋅MD=2λ−1EF+2ED−DF⋅ED−2λEF =−4λλ−1EF2+2λ−1ED⋅EF−4λEF⋅ED+2ED2+2λDF⋅EF−DF⋅ED =−16λλ−1+4λ−1−8λ+8+4λ+2 =−16λ2+16λ+6=−16λ−122+10, 令fλ=−16λ−122+10, 当λ∈0,12单调递增,λ∈12,1单调递减, 当λ=12,AM−BC⋅MD取最大值为10. 故选:D. 5.(5分)(2023上·天津武清·高三校考阶段练习)在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=xCA+yCB,则2x+3y+xyxy的最小值是( ) A.10 B.4 C.7 D.13 【解题思路】由已知条件结合平面向量基本定理可得x+32y=1,x>0,y>0,则2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1,化简后利用基本不等式可得答案. 【解答过程】因为BD=13BC,所以CB=32CD, 因为CE=xCA+yCB,所以CE=xCA+32yCD, 因为A,D,E三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0, 2x+3y+xyxy=2y+3x+1=2y+3xx+32y+1 =2xy+3+3+9y2x+1=7+2xy+9y2x≥7+22xy⋅9y2x=13, 当且仅当2xy=9y2xx+32y=1,即x=12y=13时取等. 故选:D. 6.(5分)(2023下·上海青浦·高一校考阶段练习)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列命题中,真命题的个数是( ) (1)若a2tanB=b2tanA,则△ABC是等腰三角形; (2)若sinA=cosB,则△ABC是直角三角形; (3)若cosAcosBcosC<0,则△ABC是钝角三角形; (4)若cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1,则△ABC是等边三角形. A.1 B.2 C.3 D.4 【解题思路】利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解. 【解答过程】△ABC中,a2tanB=b2tanA,由正弦定理有: sin2A⋅sinBcosB=sin2B⋅sinAcosA,因为△ABC中sinA≠0,sinB≠0, 所以sinAcosB=sinBcosA,即sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B, 所以2A=2B或2A+2B=π,故(1)错误; △ABC中,因为sinA=cosB>0,所以B∈0,π2, 所以A+B=π2或A=B+π2,故(2)错误; △ABC中,cosAcosBcosC<0,当cosA<0,cosB<0,cosC<0时, A∈π2,π,B∈π2,π,C∈π2,π,显然不满足; 当cosA,cosB,cosC中有1为负,2个为正,不妨设cosA<0,cosB>0,cosC>0, 则A∈π2,π,B∈0,π2,C∈0,π2,所以△ABC是钝角三角形;故(3)正确; △ABC中,A,B,C∈0,π,所以A−B∈−π,π,B−C∈−π,π,C−A∈−π,π, 所以cos(A−B)∈−1,1,cos(B−C)∈−1,1,cos(C−A)∈−1,1, 因为cos(A−B)cos(B−C)cos(C−A)=1, 所以cos(A−B)=cos(B−C)=cos(C−A)=1,所以A=B=C, 则△ABC是等边三角形,故(4)正确;故A,C,D错误. 故选:B. 7.(5分)(2023上·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,若(b2−a2)sinB=2S,则b+ca取值范围是( ) A.(1,5) B.(2+1,5) C.(1,3+2) D.(2+1,3+2) 【解题思路】利用余弦定理、正弦定理,三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出B=2A,利用△ABC为锐角三角形求出角A的取值范围,由正弦定理结合三角恒等变换可得出b+ca=2cosA2+2cosA−1,利用二次函数的基本性质可求得b+ca的取值范围. 【解答过程】由题意得:S=12acsinB,得:b2−a2sinB=acsinB, 又sinB>0,得:a2+ac=b2, 由余弦定理得:a2+ac=b2=a2+c2−2accosB,化简得:a=c−2acosB, 由正弦定理得:sinA=sinC−2sinAcosB=sinA+B−2sinAcosB =sinAcosB+cosAsinB−2sinAcosB =sinBcosA−cosBsinA=sinB−A, 因为:B,A∈0,π2,则:−π2b,且同向,则a>b C.若a≠b,则a与b可能是共线向量 D.若非零向量AB与CD平行,则A、B、C、D四点共线 【解题思路】因为向量是矢量,具有大小和方向,是不能比较大小的,即可判断选项A、B;再利用共线向量的含义可判断选项C、D. 【解答过程】对于A项,a=b只能说明a、b的长度相等,不能判断它们的方向, 因而选项A错误; 对于B项,向量不能比较大小,因而选项B错误; 对于C项,a≠b只能说明a、b的长度不相等,它们的方向可能相同或相反,故选项C正确; 对于D项,AB与CD平行,可能AB//CD,即A、B、C、D四点不一定共线,因而选项D错误. 故选:ABD. 10.(5分)(2023下·江苏苏州·高一校考阶段练习)如图,在同一平面内,两个斜边相等的直角三角形放置在一起,其中AB=1,∠A=∠DCE=π2,∠ACB=π6,∠D=π4,则下列结论正确的是( ) A.AE=13AB+23AC B.AE+DC=AC+DE C.AD⋅AB=6 D.AD⋅BC=3 【解题思路】根据平面向量加减运算法则可知A错误,B正确;由转化法利用平面向量数量积定义即可求得C错误,D正确. 【解答过程】由AB=1可得BC=DE=2,则CE=CD=2, 所以AE=AC+CE=AC+22CB=AC+22CA+AB=1−22AC+22AB,可得A错误; 易知AD=AE−DE=AC−DC,所以可得AE+DC=AC+DE,即B正确; 易知AD⋅AB=AC+CD⋅AB=AC⋅AB+CD⋅AB=0+2×1×cos30∘=62,可得C错误; 由AD⋅BC=AC+CD⋅AC−AB=AC2−AC⋅AB+CD⋅AC−AB⋅CD =3−0+2×3cos60∘−1×2cos30∘=3−0+62−62=3,即D正确; 故选:BD. 11.(5分)(2023·全国·高一专题练习)窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为1,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点,则( ) A.AH与CF能构成一组基底 B.OA+OC=2OB C.AG在AB向量上的投影向量的模为22 D.PA⋅PB的最大值为3+22 【解题思路】A选项,作出辅助线,证明出∠BAF=90°,从而建立平面直角坐标系,写出点的坐标,得到AH与CF平行,故A错误; B选项,求出OA,OC,OB得到B正确; C选项,求出AG,AB,利用投影向量的计算公式求出答案; D选项,取AB的中点M,得到PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−14,求出PM2的最大值,从而得到PA⋅PB的最大值. 【解答过程】连接AF, 因为∠AOB=45°,故∠OAB=180°−45°2=67.5°, 因为∠AOF=3×45°=135°,故∠OAF=180°−135°2=22.5°, 故∠BAF=67.5°+22.5°=90°, 以AB所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,建立平面直角坐标系, 则A0,0,B1,0,H−22,22,F0,2+1,C1+22,22 故AH=−22,22,CF=−1−22,22+1, 故−22×22+1−22×−1−22=−12−22+22+12=0, 所以AH与CF平行,不能构成一组基底,A错误; O12,2+12,OA=−12,−2+12,OC=1+22,22−12,2+12=2+12,−12, OB=1,0−12,2+12=12,−2+12, 故OA+OC=22,−2+22=2OB,B正确; G−22,22+1,AG=−22,22+1,AB=1,0, 故AG在AB向量上的投影向量的模长为AG⋅ABAB=−22,22+1⋅1,01=22,C正确; 取AB的中点M,则PA+PB=2PM,PA−PB=BA=2MA, 则PA+PB2=4PM2,PA−PB2=4MA2, 两式相减得:PA⋅PB=PM2−MA2=PM2−14, 当点P与点E或F重合时,PM2最大, 最大值为AM2+AF2=14+2+12=134+22, 则PA⋅PB的最大值为134+22−14=3+22,D正确. 故选:BCD. 12.(5分)(2023下·高一单元测试)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanA+tanB=3cacosB,则下列结论正确的是( ) A.A=π6 B.若a=2,则该三角形周长的最大值为6 C.若△ABC的面积为2,a,b,c边上的高分别为ℎ1,ℎ2,ℎ3,且ℎ1ℎ2ℎ3=t,则t2的最大值为243 D.设BD=c2b+cBC,且AD=1,则b+2c的最小值为977 【解题思路】A选项,利用正弦定理和三角恒等变换得到sinCcosAcosB=3sinCsinAcosB,从而得到tanA=3,求出A=π3,A正确;B选项,由余弦定理结合基本不等式求出周长的最值;C选项,利用三角形面积公式,得到bc=833,ℎ1ℎ2ℎ3=64abc=83a,利用余弦定理及基本不等式求出a2≥833,从而求出t2=192a2≤243,C正确;D选项,BD=c2b+cBC变形为AD=2bc+2bAB+cc+2bAC,两边平方后得到1b+2c=7,再利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【解答过程】A选项,tanA+tanB=3cacosB,由正弦定理可得:sinAcosA+sinBcosB=3sinCsinAcosB, 而sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB, 故sinCcosAcosB=3sinCsinAcosB, 因为0