人教版七年级下册教案第九章 不等式与不等式组

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第九章 不等式与不等式组 9．1　不等式9.1.1　不等式及其解集 本节课是学生学习了等式、方程、方程组的概念，重点研究了解方程及方程组之后面临的一个新问题，不等式从某种程度上讲是等式的延伸，而在此之后，我们所要学的很多知识，比如，不等式的性质、一元一次不等式组，甚至以后的高等数学中所涉及的优化问题都要用到本节课的内容，因此，本节课的内容在整个中学数学乃至整个数学学习过程中都起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生思维变得更开阔，也对以后更好的学习各种科学知识有很大的帮助． 【悬念激趣】 我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题． 问题1：识图理解． 同学们知道上图中的数字分别代表什么含义吗？ 问题2：猜体重． 【说明与建议】　说明：利用学生感兴趣的图片、游戏，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣．建议：问题1，2和学生一起讨论，让学生明白，在现实生活中存在着许多不等关系，比如身高、体重、成绩等． 命题角度1　不等式的概念 1．下面给出了5个式子：①3＞0；②4x＋y＜2；③2x＝3；④x－1；⑤x＋2<3，其中不等式有(B) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 命题角度2　列不等式 2．“实数x小于6”用不等式表示为x＜6． 3．2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x(万亿斤)表示我国今年粮食产量，则x满足的关系式为x>1.3． 命题角度3　不等式的解和解集 4．下列说法正确的是(A) A．x＝2是不等式3x>5的一个解 B．x＝2是不等式3x>5的解集 C．x＝2是不等式3x>5的唯一解 D．x＝2不是不等式3x>5的解 命题角度4　在数轴上表示不等式的解集 5．在数轴上表示不等式x>－2的解集，正确的是(A) 6．如图，数轴上表示不等式的解集是x<4． 不等号的由来 现实世界中存在着大量的不等关系．如何用符号来表示呢？为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁，1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，用“<”表示“小于”．这就是现在通用的大于号和小于号．与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号，但都因为书写起来十分烦琐而被淘汰． 详见电子资源 9.1.2　不等式的性质 第1课时　不等式的性质 本节课是讨论一元一次不等式解法的基础．在此之前学生已经学习了等式的基本性质，对类比学习本课起着铺垫作用，也为渗透类比、分类讨论的数学思想提供了很好的素材．因此，本节课具有承上启下的作用，学好本课是十分有必要的． 【置疑导入】 老师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题： 1．天平被调整到什么状态？ 2．给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？ 3．不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？ 4．如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 【说明与建议】　说明：学生对熟悉的生活例子会很感兴趣．通过老师的操作，学生体会到不相等的两个量的比较要在“公平”的情况下进行，即要加同时加，要减同时减．让学生体会到不平衡的天平同时加或减或将其砝码质量同时扩大相同的倍数，天平都会保持原来的不平衡，这是不可能改变的事实．建议：老师对不同的情况进行演示，并引导学生展开讨论，初步得出结论，从而引出本节课的学习． 【复习导入】 问题1：等式的性质1：在等式的两边都加上或减去同一个数(或式子)，等式仍然成立．可用符号表示为：若a＝b，则a＋c＝b＋c或a－c＝b－c. 问题2：等式的性质2：在等式的两边都乘或除以同一个数(除数不为0)，等式仍然成立．可用符号表示为：若a＝b，则a×c＝b×c，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0)． 等式有上述性质，那我们现阶段所学的不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？ 【说明与建议】　说明：通过对等式性质的复习，一方面唤醒学生的记忆，建立新旧知识间的联系，另一方面问题的提出为新知识的探索奠定了基础，更让学生明确了本节课的目标，激励学生积极投入到新课的学习情境中去．建议：出示问题，引导学生回答，教师点评． 命题角度1　不等式的性质 1．若ab＋2 B．－2a<－2b C．aeq \f(1,2)b 2．下列说法中正确的是(C) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c＝d，则ac>bd C．若c2a>c2b，则a>b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d 命题角度2　数轴与不等式性质的综合应用 3．已知x－y 详见电子资源 第2课时　不等式的性质的运用 本节课是在学生学习了不等式的性质，知道不等式的性质是解不等式的重要依据的基础上，利用不等式的性质将不等式进行变形，利用不等式的性质解不等式，巩固学生对不等式性质的理解，体会不等式的性质在解不等式中的运用．教材中对不等式的解集先用式子表示，再用数轴表示，一方面可以加深学生对不等式的解集以及解不等式的理解，另一方面也为学生后面学习不等式组时用数轴确定不等式组的解集作了准备． 【情景导入】 我们知道数学来源于生活，又服务于生活，在日常生活中就有这样的例子． 晓英准备用20元买笔和记事本．已知每支笔3元，每个记事本2.2元，她买了2个记事本之后，最多可以买多少支笔？ 1．若设可以买x支笔，则x应满足怎样的关系式？ 2．你会解这个不等式吗？请说说求解的过程． 3．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？ 【说明与建议】　说明：通过日常生活中常见的表示不等关系的实例，让学生感受数学和生活的紧密联系，激发学生学习新知识的欲望和兴趣．建议：先让学生试着列出不等式，然后探讨解法，并说出解法的依据． 【类比导入】 不等式的性质有哪些？不等式的性质与等式的性质有什么不同？和利用等式的性质可以解方程一样，利用不等式的性质可以解不等式． 【说明与建议】　说明：通过复习利用等式的性质解方程，为下面类比学习利用不等式的性质解不等式做好铺垫和准备．建议：引导学生将利用等式的性质解方程和利用不等式的性质解不等式进行类比． 命题角度1　利用不等式的性质解不等式 1．根据不等式的性质，把下列不等式化成x>a或x9；(2)6x<5x－3；(3)eq \f(1,5)x<eq \f(2,5)；(4)－eq \f(2,3)x>－1. 解：(1)∵x＋7>9，∴x>2. (2)∵6x<5x－3，∴6x－5x<－3.∴x<－3. (3)∵eq \f(1,5)x<eq \f(2,5)，∴eq \f(1,5)x×5<eq \f(2,5)×5.∴x<2. (4)∵－eq \f(2,3)x>－1，∴－2x>－3.∴x<eq \f(3,2). 命题角度2　含“≥”“≤”的不等式 2．不等式x＋1≤0的解集在数轴上表示正确的是(D) 3．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥面时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车重的标志．则通过该桥面的车重x(t)的范围可表示为(D) A．x≥10 B．x>10 C．x≤10 D．x＞0且x≤10 详见电子资源 9.2　一元一次不等式 第1课时　一元一次不等式的解法 在前面已学习了一元一次方程的相关知识和不等式的性质，本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式．只有学生掌握好了一元一次不等式的解法，才能更好地学习后面的不等式的应用及不等式组．可见，本节课内容在本章具有承上启下的作用，处于一个基础性、工具性的地位，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后续学习打下基础． 【置疑导入】 活动内容：请同学们解决下列问题． 问题1：小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定游戏规则为：小明投中1个得2分，小明爸爸投中1个得1分，两人共投中了25个．经计算，发现小明比爸爸多得2分． (1)如果设小明投中x个，请写出x所满足的关系式； (2)这个关系式我们称之为什么？ (3)什么叫一元一次方程？ 问题2：如果把小明比爸爸多得2分改成小明比爸爸多得不少于2分． (1)你又得出什么关系式？ (2)这个关系式叫做什么？ 【说明与建议】　说明：通过先列出一元一次方程，回顾一元一次方程的定义，然后变式后得出一个一元一次不等式，让学生猜测如何对一元一次不等式下定义，激发学生的学习兴趣，引入新课．建议：问题1让学生列出一元一次方程后，口答出一元一次方程的定义．对于问题2，学生可能回答出是一元一次不等式，让学生体会类比学习的思想． 【复习导入】 活动内容：请同学们回答下列问题． 问题1：下面的式子是方程吗？你是如何进行判断的？说出你的依据． ①2x－2.5＝15；②y＋2＝10；③x＝4；④5＋3x＝23. 问题2：请说出一元一次方程的定义．其中元指的是什么？次指的是什么？你能再举出两个例子吗？ 问题3：观察下列各式，指出它们和一元一次方程的异同点，你能否根据它们的共同点给它们起个名字？ ①x－1≥2；②2x＋5<3x－6；③1－3y<6；④4x＋8≤15. 【说明与建议】　说明：让学生回顾一元一次方程的相关知识，为下面引出一元一次不等式的定义做好知识铺垫，渗透类比的学习思想．建议：学生看完问题后应该会很快给出问题1的判断结果和依据，问题2只是对一元一次方程的相关知识进行规范表述，问题1采用学生抢答的方式，问题2采用一个小组代表口述的方式． 命题角度1　一元一次不等式的解(解集) 1．下列数值“－2，0，1，2，4”中是不等式x＋2≥4的解的有(C) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．不等式6－2x＞0的解集是(C) A．x＞3 B．x＞－3 C．x＜3 D．x＜－3 命题角度2　解一元一次不等式 3．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)2(4x－1)≥5x－8; (2)eq \f(2x,3)－eq \f(6x＋1,6)≥1. 解：（1）去括号，得8x－2≥5x－8. 移项，得8x－5x≥－8＋2. 合并同类项，得3x≥－6. 两边都除以3，得x≥－2. 其解集在数轴上表示为： （2）去分母，得4x－(6x＋1)≥6. 去括号，得4x－6x－1≥6. 移项，得4x－6x≥6＋1. 合并同类项，得－2x≥7. 两边都除以－2，得x≤－eq \f(7,2). 其解集在数轴上表示为： 详见电子资源 第2课时　一元一次不等式的应用 本节内容是在学习了用方程思想解决实际问题和一元一次不等式的性质及其解法等知识的基础上，把实际问题和一元一次不等式结合在一起，既是对已学知识的运用和深化，又为今后更广泛地应用数学建模的思想方法奠定基础，具有承上启下的作用． 【情景导入】 某超市从某商城购进一批智能扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于疫情影响，该商品积压，超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？ 【说明与建议】　说明：通过发现商品销售中存在不等关系，让学生认识到不等式的应用在我们的生活中是普遍存在的数学现象，激发学生对新知识探究的欲望．建议：提出问题后，先让学生思考，然后讨论，找学生说出解题思路，教师适时给出指导． 【复习导入】 列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的相等关系． (2)设：用字母表示题目中的一个未知量．一般情况下，问什么设什么(直接设未知数法)，当然还有“间接设未知数法”“设辅助未知数法”． (3)列：根据所设未知数和找到的相等关系列方程． (4)解：解方程，求未知数的值． (5)验：检验答案是否符合题意及实际意义． (6)答：写出答案． 【说明与建议】　说明：让学生回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤，为下面引出列一元一次不等式解应用题的一般步骤做好铺垫，渗透类比的数学思想．建议：学生先回顾，教师指导学生总结完成． 命题角度　一元一次不等式的实际应用 1．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小明得分超过95分，他至少要答对________道题(C) A．12 B．13 C．14 D．15 2．某校团委组织八年级一班、二班学生共80名同学参加集邮活动，一班学生平均每人收集30枚邮票，二班学生平均每人收集20枚邮票，为了保证两班收集的邮票总数不少于2 000枚，至少需要多少名一班学生参加活动？ 解：设一班有x名学生参加活动，则二班有(80－x)名学生参加活动，依题意，得 30x＋20(80－x)≥2 000， 解得x≥40. 答：至少需要40名一班学生参加活动． 详见电子资源 第3课时　利用一元一次不等式解决方案问题 本节内容是利用一元一次不等式解决问题的进一步深化，本节课内容与生活联系紧密，是合理规划购买或者租车等费用的助手，有很好的指导意义．同时，本节课是后面利用一次函数解决方案问题的基础，具有承上启下的作用． 【悬念激趣】 如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品，应该去哪家商店更优惠？ 【说明与建议】　说明：兴趣是最好的老师．本导入设置两店不同打折方式的问题，不仅充分激起了学生的关注和兴趣，还顺其自然地引出了其中蕴含的数学知识，真正起到了“敲门砖”的作用．建议：学生自主探究和讨论，为下面学习新知打下基础． 命题角度1　方案选择 1．某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一部分笔记本和证书，已知购买50个笔记本和60张证书需要324元，购买40个笔记本和200张证书需要320元． (1)求笔记本和证书的单价； (2)某文具用品商店给出两种优惠方案： 甲：买一个笔记本，赠送一张证书； 乙：购买200张证书以上，超过200张的证书按原价打八折，笔记本不打折． 学校准备购买80本笔记本，证书若干张(超过200张)，请你判断哪种方案更合算，并说明理由． 解：(1)设笔记本的单价为x元，证书的单价为y元，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x＋60y＝324，,40x＋200y＝320，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝0.4.)) 答：笔记本的单价为6元，证书的单价为0.4元． (2)设购买证书m(m>200)张． 选择方案甲所需费用为80×6＋0.4×(m－80)＝0.4m＋448(元)； 选择方案乙所需费用为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝0.32m＋496. 当0.4m＋448<0.32m＋496时，解得m<600.∴当2000.32m＋496时，解得m>600.∴当m>600时，选择方案乙更划算． 答：当购买的证书数量超过200张不足600张时，选择方案甲更划算；当购买的证书数量等于600张时，选择两种方案所需费用相同；当购买的证书数量超过600张时，选择方案乙更划算． 命题角度2　方案设计 2．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元． (1)按该公司要求可以有几种购买方案？ (2)如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 解：(1)设该公司购进甲种机器x台，则购进乙种机器(6－x)台．依题意，得 7x＋5(6－x)≤34.解得x≤2. 又∵x为自然数，∴x可以为0，1，2.∴可以有3种购买方案． (2)依题意，得100x＋60(6－x)≥380，解得x≥eq \f(1,2). 又∵x≤2，且x为自然数，∴x可以为1，2.∴共有2种购买方案． 方案1：购进1台甲种机器，5台乙种机器，所需总资金为7×1＋5×5＝32(万元)； 方案2：购进2台甲种机器，4台乙种机器，所需总资金为7×2＋5×4＝34(万元)． ∵32<34，∴为了节约资金应选择购买方案1，即购进1台甲种机器，5台乙种机器． 详见电子资源 9.3　一元一次不等式组 在本节之前学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组及其应用，在这个基础上，由相等关系转到不等关系来学本章内容．同时，本节课在学习了一元一次不等式的基础上来学习一元一次不等式组，尝试对学生类比推理能力进行培养，通过利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，让学生初步感知数形结合的数学思想方法．这种方法不仅现在有用，而且今后学习平面直角坐标系和函数知识时也经常用到． 【情景导入】 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，如果设小宝的体重为x千克． (1)从跷跷板的状况你可以得出怎样的不等关系？ (2)你认为怎样求x的取值范围，可以尽可能地接近小宝的体重？在讨论或议论中，列出不等式：2x＋x<72；2x＋x＋6>72； 其中x同时满足以上两个不等式． 在议论的基础上，老师揭示：一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多． 【说明与建议】　说明：本数学情景，主要通过列举两个不等式，自然引入到一元一次不等式组这个话题上来，起到引申的作用．建议：本情景以问题的形式导入，学生一般很难深层次的理解，因此在导入时要注重发散，由浅入深，循序渐进，不能太快． 【复习导入】 (1)什么是一元一次不等式，什么是二元一次方程组？ (2)已知一个数比－2大但比1小，请在数轴上表示该数． 学生活动：口答(1)题．对于(2)题，询问学生是否能在数轴上用一个确定的范围将这句话表示出来？ 教师分析：一个数比－2大但比1小，说明该数x的取值同时满足两个不等式：x>－2且x<1，这样的两个不等式可以像方程组中的方程的表示一样表述出来，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－2，,x>1.))把这样的两个或者两个以上的不等式通过大括号的形式合在一起，就组成了今天我们要学的一元一次不等式组，从而引出主题． 【说明与建议】　说明：通过师生互动，使学生形成对不等式组的初步认识，激发了他们应用旧知识探索新知识的热情，同时发挥了学生的想象力和创造力．建议：在此基础上，如果学生基础好的话，那么可将不等式组的解集直接引导出来． 命题角度1　一元一次不等式组的有关概念 1．下列选项中不是一元一次不等式组的是(C) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>3,x<1)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x<5,2x－1<9)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>3,y＋2<1)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1>3,x－3<2)) 2．在数轴上表示某不等式组的解集，如图所示，则这个不等式组可能是(D) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4>x,x＋1≥0)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4>x,x＋1≤0)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4－2a＋8))的解集是x＜a－4，则a的取值范围是a≥－3． 4．解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5>－1，①,\f(2,3)x－\f(3x＋1,2)≥\f(1,3)，②))并把解集在数轴上表示出来． 解：解不等式①，得x＞－3. 解不等式②，得x≤－1. 则不等式组的解集为－3＜x≤－1. 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 详见电子资源 *8.4　三元一次方程组的解法 本节课是在学生已经熟练掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础上进一步学习三元一次方程组．本节课通过类比二元一次方程组的求解思路，得到解三元一次方程组的思路，让学生进一步体会化未知为已知的化归思想：通过“消元”将“三元”化为“二元”，把新问题化归成已经会解决的问题． 【情景导入】 前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法．有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知数．我们看下面的问题： 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元纸币各多少张． 自然的想法是，设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张，根据题意，可以得到下面三个方程： x＋y＋z＝12，x＋2y＋5z＝22，x＝4y. 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y.)) 这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组) 【说明与建议】　说明：通过生活中的实例，引导学生列出方程组，体会生活中还存在比两个未知量还多的情况．与二元一次方程(组)比较，体会三元一次方程(组)的概念．建议：可引导学生分析题意，理清关系，让学生自己列出方程组，可能学生会列出二元或三元一次方程组，教师要引导学生比较，体会区别，合理选择． 命题角度1　三元一次方程组的概念 1．下列方程组中，是三元一次方程组的是(C) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝1,z＋w＝5)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,y＋z＝5,z＋w＝9)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7,2x＋3y＝9－z,5x－9y＋7z＝8)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2y＝0,y＋z＝3,x＋y＋z＝1)) 命题角度2　解三元一次方程组 2．解方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝1，①,x＋3y＋z＝10，②,x－2y－z＝－2.③)) 解：②＋③，得2x＋y＝8.④ ①＋④，得3x＝9，解得x＝3. 把x＝3代入①，得y＝2. 把x＝3，y＝2代入②，得3＋6＋z＝10，解得z＝1. 所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝1.)) 命题角度3　三元一次方程组的应用 3．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，求原来的三位数． 解：设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，根据题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝17，,x＋y－z＝3，,（100z＋10y＋x）－（100x＋10y＋z）＝495.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，,z＝7.)) 答：原来的三位数是287. 一次方程的古今表示及解法 我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中．《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗； 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗． 求上、中、下三等谷每束各是几斗． 下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？ 《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横排，使三个横行表示三句话的含义． 不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有3个未知数的问题． 设上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗． 根据题意，得三元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋z＝39，　①,2x＋3y＋z＝34，　②,x＋2y＋3z＝26.　③))(*) 与解二元一次方程组类似，通过消元可以使上面的方程组转化为二元一次方程组，进而求出各未知数． 上图实际上就是用算筹列出的方程组(*)，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项． 我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：从一个方程累减(或累加)另一个方程．例如，解方程组(*)，将①－②可以消去z，将③连续三次减去②也可以消去z，从而得到二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝5，,－5x－7y＝－76.)) 这里将③连续三次减去②，与③－②×3的结果一样． 详见电子资源 课题9.1.1　不等式及其解集授课人素养目标1.了解不等式和不等式的解的意义；会把不等式的解集正确地表示在数轴上． 2．经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想；通过在数轴上表示不等式解集的探究，渗透数形结合思想． 3．通过问题解决，获得成功体验，建立学习自信心，充分体会到生活中处处有数学，并能将其应用到生活的各个领域.教学重点正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上.教学难点把不等式的解集正确地表示在数轴上.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么叫等式？ 2．什么叫方程？什么叫方程的解？回顾旧知，引出新知.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 小宏一家有三兄妹——小宏、姐姐小新和弟弟小宋．爸爸给三兄妹派发零花钱，小宏得到5元，小新得到x元，比小宏多；小宋得到10元，小新比小宋少．你能用式子表示他们零花钱之间的大小关系吗？ 这节课我们来学习这些不等的数量关系的表示方法.导入的素材选取贴近学生的生活实际和社会现实，让学生感知生活中的不等关系，感受数学来源于生活，激发学生学习数学的兴趣.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 问题1：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 若设车速为每小时x千米，能用一个式子表示吗？ 分析：(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到eq \f(2,3)小时，则可列出式子：eq \f(50,x)<eq \f(2,3)． (2)从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶eq \f(2,3)小时的路程要超过50千米，则可列出式子：eq \f(2,3)x>50． 归纳：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式；用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 对应练习 用不等式表示： (1)a是正数；　(2)a是负数； (3)a与5的和小于7；　(4)a与2的差大于－1； (5)x的4倍大于8；　(6)x的一半小于3. 问题2：要使汽车在12：00之前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？车速可以是每小时80千米吗？每小时78千米呢？每小时75千米呢？每小时72千米呢？能找一个使不等式eq \f(2,3)x>50成立的x的值吗？ 师生活动：学生分组讨论，教师巡视． 追问：(1)符合条件eq \f(2,3)x>50的x的值有哪些？多少个？ (2)给不等式的解的概念下个定义． 引导学生得到：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． (3)满足条件的x的值有何特点？ x>75表示了能使不等式eq \f(2,3)x>50成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． 求不等式解集的过程叫解不等式． 师生活动：学生大量列举满足不等式的数值，教师引导学生类比“方程的解”的概念归纳“不等式解的概念”，教师还可列举一些不满足条件的数值，让学生进一步体验不等式解的概念；在体验不等式的解有无数个和用符号来表示不等式无数个解的时候教师引导学生用数学符号表示不等式的解集，从而归纳“不等式解集”及“解不等式”的概念. 　对应练习 下列哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？ －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12. 问题3：满足x>75的数分布在数轴上什么位置？ 师生活动：学生回忆实数与数轴的一一对应关系，引导学生将不等式eq \f(2,3)x>50的解集表示在数轴上，实现了数形结合，教师强调画数轴的注意事项和空心圆圈的意义．学生合作交流后总结出表示不等式eq \f(2,3)x>50的解集的两种方法：①x>75；②数轴上表示不等式的解集． 对应练习 你能用数轴表示x＋2>5的解集x>3吗？ 师生活动：学生先做，教师巡视，有代表性地选取若干名学生回答，并作评析，总结出用数轴表示不等式的解集的一般步骤：画数轴，找点，画点(注意空心圆圈)，划线(注意方向).1.通过观察、思考，引出不等式的定义． 2．以实际问题为起点，得出不等式的概念，再以实际问题为归宿，让学生学会列简单的不等式，也为后续学习一元一次不等式的应用打下基础． 3．通过列举满足实际问题条件的数值感受“不等式的解”的概念，通过大量列举不等式的解归纳得出不等式的解集的概念，不仅考虑到数学概念本身的特点，更注意遵循学生学习数学的规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间. 4.让学生自主探究不等式解集与数轴的联系，教学中渗透数形结合思想，在培养学生自主探究能力的同时教会学生将已学知识进行总结，实现将数学知识系统化.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】　 　例1　用不等式表示： (1)7x与1的差小于4； (2)x的一半比y的2倍大； (3)a的9倍与b的eq \f(1,2)的和是正数． 解：(1)7x－1＜4.(2)eq \f(1,2)x＞2y.(3)9a＋eq \f(1,2)b＞0. 例2　下列说法中，错误的是(C) A．x＝1是不等式x＜2的解 B．－2是不等式2x－1＜0的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＝－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个 【变式训练】 1．用不等式表示： (1)x是正数：x＞0； (2)m大于－3：m＞－3； (3)a－b是负数：a－b＜0； (4)a的eq \f(1,3)比5大：eq \f(1,3)a＞5． 2．请写出满足下列条件的一个不等式． (1)0是这个不等式的一个解：x＜1(答案不唯一)； (2)－2，－1，0，1都是不等式的解：x＜2(答案不唯一)； (3)0不是这个不等式的解：x＞0(答案不唯一)； (4)与x<－1的解集相同的不等式：x＋2＜1(答案不唯一)． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题和变式训练，进一步巩固本节课知识，提高学生应用知识的能力，使学生掌握利用不等符号表示具有不等关系的数学语句.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.用不等式表示如图所示的解集，正确的是(A) A．x＞－2 B．x＜－2 C．x＞2 D．x≠－2 2．下列说法正确的有(B) ①x＝4是不等式x－3＞1的一个解；②不等式x－2＜0的解有无数个；③x＝3是不等式x＋2＞1的一个解；④不等式x＋2＜5有无数个正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起．若用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个不等式可以表示成x＜y(填“＞”或“＜”)． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)谈谈你对不等式有了哪些认识？ (2)我们如何认识不等式有关的知识？ (3)你还有其他的体会与收获吗？ 2．布置作业： 教材第119～120页习题9.1第1，2(1)～(4)题.通过总结“对不等式有了哪些认识？”巩固了概念的掌握，达到检查的效果；通过总结“如何认识不等式有关的知识？”让学生明白知识的形成过程，并理解本节课重点体现的建模思想和类比方法．“其他的体会和收获”只要合理即可.教学反思反思，更进一步提升． 课题9.1.2 　第1课时　不等式的性质授课人素养目标1.掌握不等式的三个性质，并能熟练地应用不等式的性质进行不等式的变形． 2．通过经历类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 3．通过创设问题情景和实验研究活动，增加学习数学的兴趣和信心，体会在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.教学重点掌握不等式的三个性质，尤其是不等式的性质3.教学难点对不等式的性质3的理解和熟练运用.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是不等式？什么是不等式的解？ 2．什么是不等式的解集？ 3．小明比小华大2岁，三年前小明比小华大多少岁？两年后小明比小华大多少岁？温故知新，为本节课的学习做铺垫.活动一： 创设情境、导入新课【课堂引入】 1．让学生解方程1－2x＝0. 2．说出解方程1－2x＝0的过程中每一步的依据． 教师边提问学生，边填写下表： 等式的性质性质1如果a＝b，那么a＋c＝b＋c，a－c＝b－c性质2如果a＝b，那么ac＝bc，eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)(c≠0)解方程的依据是等式的性质，今天我们来学习解不等式的依据——不等式的性质.通过回顾旧知识，为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备，并渗透类比思想.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 【探究1】　1.用不等号填空： (1)5________3；5＋2________3＋2；5－2________3－2. (2)2________4；2＋1________4＋1；2－1________4－1. 师生活动： ①学生填空. ②师：你发现了什么规律？ ③学生回答： 不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变； 不等式的两边都减去同一个数，不等号的方向不变. 2.水果店的小王从水果批发市场购进100 kg梨和84 kg苹果，在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别各购进了b kg的梨和苹果，请用“＞”或“＜”填空： 100－a________84－a；100－a＋b________84－a＋b. 师生活动： ①学生填空. ②师：你发现了什么规律？　　 ③学生回答：不等式两边都加上或减去同一个式子，不等号的方向不变． 3．自己任意写出一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化．与同桌互相交流，你们发现有什么规律？ 学生写出不等式并探讨后回答： 同问题1一样，发现：不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变． 归纳：一般地，不等式具有如下性质： 不等式的性质1　不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 即，如果a＞b，那么a±c＞b±c. 强调：根据不等式的性质1，在不等式的两边不但可以加上或减去同一个数，而且加上或减去同一个式子，不等号的方向不变． 【探究2】 1．用不等号填空： (1)6________4；　　　　　　　　(2)－2________－4； 　 6×2________4×2; 　 －2÷2________－4÷2； 　 6×(－2)________4×(－2). 　 －2÷(－2)________－4÷(－2)． 师生活动： ①学生填空． ②师：你发现了什么规律？ ③学生回答： 不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 2．(1)已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg，且a＞b.小李各买了3 kg苹果和梨，则买哪种水果花钱较多？用不等号填空： 3a________3b 师生活动： ①学生填空． ②师：你发现了什么规律？ ③学生回答：不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变． (2)在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分别为a，b，其中a＞b.已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高？用不等号填空： a÷3________b÷3 师生活动： ①学生填空． ②师：你发现了什么规律？ ③学生回答：不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变． 3．自己任意写出一个不等式，分别在它的两边都乘(或除以)同一个正数或负数，看看有怎样的结果．与同桌互相交流，你们发现有什么规律？ 师生活动： 学生写出不等式并探讨后回答： 不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 归纳：一般地，不等式具有如下性质： 不等式的性质2　不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即，如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或eq \f(a,c)＞eq \f(b,c))． 不等式的性质3　不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即，如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或eq \f(a,c)＜eq \f(b,c)).1.经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程，培养学生推理论证能力和语言表达能力. 2.通过类比思想进行迁移，学生通过练习，观察、猜想、分析等过程，体会不等式的性质2、3结论形成的推理过程，培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】　 例　已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D) A．a＞b　　B．a＋2＞b＋2　　C．－a＜－b　　D．2a＞3b 【变式训练】 1．下列说法不一定成立的是(C) A．若a>b，则a＋c>b＋c B．若a＋c>b＋c，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac2>bc2，则a>b 2．根据下列已知条件，说出a与b的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质． (1)a－3>b－3；(2)eq \f(a,3)<eq \f(b,3)；(3)－4a>－4b. 解：(1)∵a－3>b－3， ∴a－3＋3>b－3＋3， 即a>b，根据不等式的性质1. (2)∵eq \f(a,3)<eq \f(b,3)， ∴a－4b， ∴aeq \f(y,3) C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y 2．若ax＜ay，x＜y，则a的取值范围是(C) A．a＝0 B．a＜0 C．a＞0 D．任意有理数 3．已知a＜b，用不等号填空： (1)a＋2＜b＋2；　(2)－eq \f(a,4)＞－eq \f(b,4)； (3)3－a＞3－b；　(4)2a－1＜2b－1. 4．已知m＜n，利用不等式的性质比较－2m－1与－2n－1的大小． 解：∵m＜n，∴－2m＞－2n.∴－2m－1＞－2n－1. 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一步巩固新知，及时检测学生的学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结： 通过本节课的探究学习，你学到了什么？ 2．布置作业： 教材第120页习题9.1第3，4，5，6题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.课题9.1.2　第2课时　不等式的性质的运用授课人素养目标1.熟练掌握简单不等式的解法，初步认识不等式的应用价值． 2．对比简单不等式的解法与方程的解法，感知其内在联系，体会其中渗透的类比思想． 3．在分组活动和班级交流的过程中，积累数学活动的经验并感受成功的喜悦，从而增强学习数学的兴趣.教学重点熟练并准确地解简单不等式.教学难点熟练并准确地解简单不等式.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.不等式有哪些性质？ 2．说出不等号“＞”或“＜”的意义.温故知新，为本节课的学习做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 我们知道数学来源于生活，又服务于生活，在日常生活中就有这样的例子． 小希就读的学校上午8点开始上第一节课．小希家距学校2千米，而他的步行速度为每小时6千米．那么小希最晚上午几点从家里出发才能保证不迟到？ (1)设小希上午x点从家里出发，那么x应满足怎样的关系式？ (2)怎样解(1)中的关系式？ (3)(2)中的解集在数轴上怎样表示？从实际问题引入能增强亲和力．经历由具体的实例建立不等式模型的过程，既可以让学生感受不等式在实际生活中的应用，又非常自然地引入新课.活动二： 实践探究、 交流新知　【探究新知】 【探究1】　分组探讨：对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考，然后组内交流． 在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出： (1)x应满足的关系式是：x＋eq \f(1,3)≤8. (2)根据“不等式的性质1”，在不等式的两边减去eq \f(1,3)，得x＋eq \f(1,3)－eq \f(1,3)≤8－eq \f(1,3)，即x≤7eq \f(2,3). (3)这个不等式的解集在数轴上的表示如下： 我们在表示7eq \f(2,3)的点上画实心点，意思是取值范围包括这个点所表示的数． 强调“≤”与“<”在意义上和数轴表示上的区别．借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来．在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”． (1)确定“边界点”：若边界点表示的数是不等式的解，则用实心圆点；若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； (2)确定“方向”：对于边界点a而言，x>a或x≥a向右画，x4；(2)3x<5x－4；(3)eq \f(2,3)x＋2≤1. 解：(1)两边都加1，得3x－1＋1>4＋1. 整理，得3x>5. 两边都除以3，得x>eq \f(5,3). 解集在数轴上表示为： (2)两边都减去5x，得－2x<－4. 两边都除以－2，得x>2. 解集在数轴上表示为： (3)两边同时减去2，得eq \f(2,3)x≤－1. 两边都乘eq \f(3,2)，得x≤－eq \f(3,2). 解集在数轴上表示为： 师生活动：学生独立思考，并写出解答过程；老师巡堂，并对有问题的学生给予指导． 【探究3】　如图，某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm，容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水．用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围． 分析：(1)新注入水的体积V与原有水的体积的和与容器的容积有什么关系？ (2)新注入水的体积V可以是负数吗？ (3)你能独立求出V的取值范围吗？ (4)试将V的取值范围在数轴上表示出来．你认为在数轴上表示需要注意什么？ 解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即V＋3×5×3≤3×5×10，所以V≤105. 又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105. 在数轴上表示V的取值范围如图所示： 师生活动：老师提出问题，引发学生思考，学生互相讨论，思考得出结论.1.培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力，强调“≤”与“<”在意义上和数轴表示上的区别. 2.类比解方程的方法，让学生初步感受不等式与方程的关系，为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫． 3．解决此类实际问题，容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情．同时学生能体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】　　 例1　(教材第117页例1改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)x－7＞26；　(2)3x＜2x＋1； (3)eq \f(2,3)x＞50；　(4)－4x＞3. 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： (3)根据不等式的性质2，不等式两边乘eq \f(3,2)，不等号的方向不变，所以eq \f(3,2)×eq \f(2,3)x＞eq \f(3,2)×50，x＞75. 这个不等式的解在数轴上的表示如图： (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以eq \f(－4x,－4)＜eq \f(3,－4)，x＜－eq \f(3,4). 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： 例2　按商品质量规定：商店出售的标明500 g的袋装食盐，其实际克数与所标克数相差不能超过5 g，设实际克数是x g，则x应满足的不等式是x≥495且x≤505． 【变式训练】 1．用不等式表示下列语句，写出解集，并在数轴上表示解集： (1)x的2倍大于或等于－4； (2)x的eq \f(3,2)不小于－1. 解：(1)列不等式2x≥－4，解得x≥－2，在数轴上表示为： (2)列不等式eq \f(3,2)x≥－1，解得x≥－eq \f(2,3)，在数轴上表示为： 2．燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域．已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，导火线的长x(m)应满足怎样的关系式？ 解：eq \f(x,0.02)>eq \f(10,4). 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.1.进一步加强对不等式的性质的运用，使学生能灵活运用不等式的性质解简单的不等式． 2．通过在实际问题中列不等式，加强学生对含“≥”“≤”型不等式的理解.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(C) 2．当x取何值时，代数式－eq \f(1,3)x＋2的值大于或等于0(B) A．x＜6 B．x≤6 C．x＞6 D．x≥6 3．利用不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式． (1)x＋3＜5；(2)x－eq \f(4,5)＞eq \f(1,5)；(3)eq \f(1,7)x＜－3；(4)－2x＜5. 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，得x＋3－3＜5－3，即x＜2. (2)根据不等式的性质1，不等式两边都加上eq \f(4,5)，不等号的方向不变，得x－eq \f(4,5)＋eq \f(4,5)＞eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)，即x＞1. (3)根据不等式的性质2，不等式两边都乘7，不等号的方向不变，得7×eq \f(1,7)x＜－3×7，即x＜－21. (4)根据不等式的性质3，不等式两边都除以－2，不等号的方向改变，得－2x÷(－2)＞5÷(－2)，即x＞－eq \f(5,2). 4．一部电梯最大负荷为1 000 kg，有12人共携带40 kg的东西乘电梯，他们的平均体重x(kg)应该满足什么条件？ 解：由题意，得 12x＋40≤1 000， 解得x≤80. 答：平均体重应该小于等于80 kg. 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.检验学生对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？ (2)本节课还有哪些疑惑？ 2．布置作业： (1)教材第119页练习． (2)教材第120页习题9.1第7，8，9题.通过课堂小结的形式，学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.教学反思反思，更进一步提升.课题9.2　第1课时　一元一次不等式的解法授课人素养目标1.了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．会用不等式的性质，对比一元一次方程的解法得到一元一次不等式的解法，体会知识的迁移． 3．通过讨论、交流的过程体验充满着探索性和创造性.教学重点1.一元一次不等式的概念． 2．一元一次不等式的解法.教学难点一元一次不等式的解法.授课类型新授课课时课堂活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是一元一次方程？ 2．解一元一次方程的步骤是什么？ 3．一元一次方程一定有解吗？有几个解？让学生回顾复习，为学习新知识做铺垫.活动一： 创设情境、 导入新课【课堂引入】 已知一台升降机的最大载重量是1 200 kg，在一名重75 kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件25 kg重的货物？ 本问题中涉及的数量关系是：工人重＋货物重≤最大载重量． 设能载x件25 kg重的货物，因为升降机最大载重量是1 200 kg，所以有 75＋25x≤1 200. 你知道怎么解这个不等式吗？以实际问题引入，引起学生对接下来不等式解法探索的欲望.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．观察不等式75＋25x≤1 200，3x<2x＋1，－4x>3，它们有哪些共同特征？ 教师引导学生回答问题，并进一步总结一元一次不等式的概念． 归纳：像75＋25x≤1 200这样，含有一个未知数，且含未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2．一元一次不等式的解法 (1)展示一元一次方程的解题步骤，类比进行解不等式，最后归纳思路． 解方程解不等式3(1－x)＝2(x＋9)3(1－x)<2(x＋9)解：去括号，得3－3x＝2x＋18. 移项，得－3x－2x＝18－3. 合并同类项，得－5x＝15. 两边都除以－5，得x＝－3解：去括号，得3－3x<2x＋18. 移项，得－3x－2x<18－3. 合并同类项，得－5x<15. 两边都除以－5，得x>－3.eq \f(2＋x,2)＝eq \f(2x－1,3)eq \f(2＋x,2)≥eq \f(2x－1,3)解：去分母，得3(2＋x)＝2(2x－1)． 去括号，得6＋3x＝4x－2. 移项，得3x－4x＝－2－6. 合并同类项，得－x＝－8. 两边都除以－1，得x＝8.解：去分母，得3(2＋x)≥2(2x－1)． 去括号，得6＋3x≥4x－2. 移项，得3x－4x≥－2－6. 合并同类项，得－x≥－8. 两边都除以－1，得x≤8. 师生活动：学生类比一元一次方程的解法，尝试自主解一元一次不等式，教师应重点关注：(1)学生能否利用不等式的性质去掉不等式中的分母．(2)系数化为1时，不等号的方向是否改变．(3)能否总结出解一元一次不等式的步骤．教师规范解题过程，并引导学生进行解题后的反思，归纳给出以下要点及注意事项. 要点归纳： 1.解一元一次不等式的实质是：运用不等式的性质，把不等式逐步化成xa(x≥a)的形式. 2.解一元一次方程与一元一次不等式的异同： 相同之处： ①基本步骤相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. ②基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不等式变形为最简形式. 不同之处： ①解法依据不同：解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质. ②最简形式不同：一元一次不等式的最简形式是xa(x≥a)，一元一次方程的最简形式是x＝a. 3.注意：在去分母和系数化为1的两步中，要特别注意不等式的两边乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变. 教师针对【课堂引入】中的问题继续提问：为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式75＋25x≤1 200的x的值，你会解答了吗？ 解：移项，得25x≤1 200－75， 即25x≤1 125. 两边都除以25，得x≤45. 因此，升降机最多装载45件25 kg重的货物.把一元一次方程和一元一次不等式进行了对比，实现了知识的自然迁移，使学生在自主探索和合作交流的过程中不知不觉地学到了新知识，理解并掌握了一元一次不等式的解法，教学重点得以基本达成，教学难点也取得相应突破.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】　 　例　(教材第122页例1)解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)2(1＋x)＜3；(2)eq \f(2＋x,2)≥eq \f(2x－1,3). 解：(1)去括号，得2＋2x＜3. 移项，得2x＜3－2. 合并同类项，得2x＜1. 系数化为1，得x＜eq \f(1,2). 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示： (2)去分母，得3(2＋x)≥2(2x－1)． 去括号，得6＋3x≥4x－2. 移项，得3x－4x≥－2－6. 合并同类项，得－x≥－8. 系数化为1，得x≤8. 这个不等式的解集在数轴上表示如图： 【变式训练】 解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)3(x－1)＜4(x－eq \f(1,2))－3；(2)eq \f(2x－1,3)－eq \f(9x＋2,6)≤1. 解：(1)去括号，得3x－3＜4x－2－3. 移项，得3x－4x<3－2－3. 合并同类项，得－x<－2. 系数化为1，得x＞2. 其解集在数轴上表示为： (2)去分母，得2(2x－1)－(9x＋2)≤6. 去括号，得4x－2－9x－2≤6. 移项，得4x－9x≤6＋2＋2. 合并同类项，得－5x≤10. 系数化为1，得x≥－2. 其解集在数轴上表示为： 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题和变式训练，及时巩固所学知识，反馈学生的学习情况，培养学生综合运用不等式的性质解决问题的能力，进一步提升学习效果.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.不等式5x－1＞2x＋5的解集在数轴上表示正确的是(A) 2.在下列解不等式eq \f(2＋x,3)＞eq \f(2x－1,5)的过程中，错误的一步是(D) A．去分母，得5(2＋x)＞3(2x－1) B．去括号，得10＋5x＞6x－3 C．移项，得5x－6x＞－3－10 D．合并同类项、系数化为1，得x＞13 3．与不等式－eq \f(2,5)x≤eq \f(x,10)－1的解集相同的不等式是(D) A．－2x≤－1 B．－2x≤x－10 C．－4x≥x－10 D．－4x≤x－10 4．若关于x的方程4x－2m＋1＝5x－8的解是负数，则m的取值范围为(A) A．m＞eq \f(9,2) B．m＜0 C．m＜eq \f(9,2) D．m＞0 5．3(x＋1)≥5x－3的正整数解是1，2，3． 6．解不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1)2(x－1)＋5＜3x； 解：去括号，得2x－2＋5＜3x. 移项，得2x－3x＜2－5. 合并同类项，得－x＜－3. 系数化为1，得x＞3. 其解集在数轴上表示为： (2)eq \f(x－2,2)≤eq \f(7－x,3). 解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)． 去括号，得3x－6≤14－2x. 移项、合并同类项，得5x≤20. 解得x≤4. 其解集在数轴上表示为： 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.课堂小结1.课堂小结： 学生试述：解一元一次不等式的一般步骤和注意事项． 2．布置作业： (1)教材第124页练习． (2)教材第126页习题9.2第1，2，3题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提高操作流程和自身素质.课题9.2　第2课时　一元一次不等式的应用授课人素养目标1.进一步经历运用不等式解决实际问题的过程，总结运用不等式解决实际问题的一般方法． 2．会用所学知识对实际问题进行分析，并加以解决，培养分析、解决问题的能力．体验知识生成、发展的过程．经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程，提高分析问题的能力． 3．培养敢于探索、勇于克服困难的意志品质，感受数学建模思想，体会数学的应用价值.教学重点由实际问题中的不等关系列出不等式.教学难点列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1)eq \f(x,2)－eq \f(x,3)<1；　　　(2)eq \f(x,5)≥3＋eq \f(x－2,2).通过回顾旧知，为学习新知做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 小华打算星期天与同学去登山，计划上午7点出发，到达山顶后休息2 h，下午4点以前回到出发点．如果他们去时的平均速度是3 km/h，回时的平均速度是4 km/h，他们最远能登上哪座山顶？(下图中数字表示出发点到山顶的路程．) 从学生感兴趣的生活实际问题入手，导入新课.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 分析【课堂引入】中的问题中涉及的数量关系：去时所花的时间＋休息时间＋回来所花的时间≤总时间． 设从出发点到山顶的距离为x km，则他们去时所花时间为eq \f(x,3) h，回来所花时间为eq \f(x,4) h，根据题意可列不等式 eq \f(x,3)＋2＋eq \f(x,4)≤9，解得x≤12. 所以他们最远能登上D山顶． 大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流． 归纳一元一次不等式应用题的一般步骤： 第一步：审题，找不等关系； 第二步：设未知数，用含未知数的式子表示相关的量； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根据实际情况写出答案． 教师总结：(1)不等式应用题与方程应用题的设法完全一致，设未知数时千万不要用至少、至多等字眼； (2)用不等式解应用题时，要注意未知数的限制条件，否则很难得到符合题意的解.1.展示分析过程，有利于学生进一步理解解一元一次不等式与解一元一次方程之间的关系，同时初步感知实际问题对不等式解集的影响． 2．让学生自己讨论总结，既可渗透类比思想，又能吸引学生注意.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例　(教材第124页例2)去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？ 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x，则去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质量良好，依题意，得 eq \f(x＋365×60%,365)＞70%. 去分母，得x＋219＞255.5. 移项、合并同类项，得x＞36.5. 因为x为正整数，所以x≥37. 答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%. 【变式训练】 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球作道具，并买一些乒乓球拍作奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 解：设孔明应该买x个球拍，根据题意，得 1．5×20＋22x≤200，解得x≤7eq \f(8,11). 由于x取整数，故x的最大值为7. 答：孔明应该买7个球拍． 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题及变式训练引导学生用数学眼光去观察周围的生活现象，思考能否用数学知识、方法、观点和思想去解决所遇到的问题.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，答错或不答一题扣3分，要使总得分不少于70分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可列不等式为(D) A．10x－3(30－x)＞70 B．10x－3(30－x)≤70 C．10x－3x≥70 D．10x－3(30－x)≥70 2．某商品原价800元，出售时，标价为1 200元，要保持利润率不低于5%，则最多可打(B) A．六折 B．七折 C．八折 D．九折 3．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160 cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30 cm，长与宽的比为3∶2，求该行李箱长度的最大值． 解：设该行李箱的长为3a cm，宽为2a cm.由题意，得 30＋3a＋2a≤160.解得a≤26. ∴3a≤78. 答：该行李箱长度的最大值为78 cm. 4.当一个人坐下时，不宜提举超过4.5 kg的重物，以免受伤．小明坐在书桌前，桌上有两本各重1.2 kg的画册和一批每本重0.4 kg的记事本．如果小明想坐着搬动这两本画册和一些记事本，那么他最多只应搬动多少本记事本？ 分析：本题涉及的数量关系是：画册的总重＋记事本的总重≤4.5 kg. 解：设小明应搬动x本记事本，则 1.2×2＋0.4x≤4.5. 解得x≤5.25. 由于记事本的数目必须是整数，所以x的最大值为5. 答：小明最多只应搬动5本记事本． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.课堂小结1.课堂小结： 通过本节课的探究学习，你有什么新的收获和体验？ 2．布置作业： (1)教材第125页练习． (2)教材第126页习题9.2第5，6，7，8题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.甲乙每台价格/万元75每台日产量/个10060课题9.2　第3课时　利用一元一次不等式解决方案问题授课人素养目标1.能运用一元一次不等式解决实际问题中的方案选择型问题． 2．会根据题意抓住关键词语列不等式． 3．体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用.教学重点能运用一元一次不等式解决实际问题中的方案型问题.教学难点运用不等关系建立不等式解决实际问题.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 在现实生活中我们每天都面临着各种选择，比如：同样一支钢笔，甲商店卖10元，乙商店卖12元，你会到哪家商店买这支钢笔呢？今天我们就来讨论生活中最常见的购物问题.先设计一个简单的购物问题，学生都懂，让学生感兴趣.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购买超过50元后，超过50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？ 问题1　你是如何理解题意的呢？ 师生活动：学生先独立思考，理解题意，然后自由发表自己的观点． 问题2　你能清楚直观地表示上述问题吗？ 师生活动：教师设计一个表格，给出一些具体的数据让学生完成． 购物款在甲商场花费在乙商场花费比较404040一样808050＋0.95(80－50)乙120100＋0.9(120－100)50＋0.95(120－50)乙200100＋0.9(200－100)50＋0.95(200－50)甲问题3　如果设购物款累计达到x元，你能用含x的式子分别表示出顾客在两家商场花费的钱数吗？并能看出哪家商场花费少吗？ 师生活动：学生回答，教师不断引导并完善. 引导学生利用表格表示出来，并让学生完善表格. 设购物款累计达到x元. 购物款在甲商场花费在乙商场花费比较0＜x≤50xx一样50＜x≤100x50＋0.95(x－50)乙x＞100100＋0.9(x－100)50＋0.95(x－50)？师生共同分析讨论，发现： (1)如果累计购物不超过50元，那么在两家商场购物花费是一样的. (2)如果累计购物超过50元但不超过100元，那么在乙商场购物花费少. 问题4　如果累计购物超过100元，在两家商场的花费情况如何？ 师生活动：在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出当购物超过100元时，需要分三种情况进行讨论： (1)什么情况下，到甲商场购物花费少？ (2)什么情况下，到乙商场购物花费少？ (3)什么情况下，到两家商场购物花费一样？ 学生分小组讨论、交流，教师指导．学生自己总结： (1)若在甲商场花费少，则 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50)， 解得x＞150. (2)若在乙商场花费少，则 100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50)， 解得x＜150. (3)若在两商场花费一样，则 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50)， 解得x＝150. 教师在黑板上完善表格. 　　问题5　你能综合上面分析，给出一个合理化的消费方案吗？ 师生活动：学生回答购物不超过50元和刚好消费150元时，在两家商场购物花费一样；超过50元而不到150元时，在乙商场购物花费少；超过150元后，在甲商场购物花费少.1.根据表格比较出当购物款不超过100元时，到哪家商场购物花费少. 2.学生从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的过程．教师及时予以指导、归纳和总结，展现完整的解答过程．培养学生有条理的思考和表达的习惯. 3.学生能够将数学问题的解转化为实际问题的解. 活动三：开放训练、体现应用【典型例题】　　 例　张明准备重新装修自家店面．现有甲、乙两家装修公司可供选择，这两家装修公司提供的信息如下表所示： 装修公司可用于装修人数/人每名装修工人费用/(元·天－1)设计费/元甲公司102003 000乙公司151502 000 　　若设需要x天装修完毕，请解答下列问题： (1)请分别用含x的式子表示出甲、乙两家公司的装修总费用； (2)当装修天数为多少时，两家公司的装修总费用一样多？ (3)根据装修天数x讨论选择哪家装修公司更合算. 解：(1)选择甲装修公司的装修总费用为200×10x＋3 000＝(2 000x＋3 000)元； 选择乙装修公司的装修总费用为150×15x＋2 000＝(2 250x＋2 000)元. (2)依题意，得2 000x＋3 000＝2 250x＋2 000，解得x＝4. 答：当装修天数为4天时，两家公司的装修总费用一样多. (3)当2 000x＋3 000>2 250x＋2 000时，x<4， 又∵x>0，∴当04， ∴当x>4时，选择甲装修公司更合算. 答：当04时，选择甲装修公司更合算. 【变式训练】 某商场为了迎接“双十一”促销活动，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147 000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价格分别为1 000元/台，1 500元/台，2 000元/台. (1)该商场至少购买丙种电视机多少台？ (2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，则有哪些购买方案？ 解：(1)设购买丙种电视机x台，则购买甲种电视机4x台，购买乙种电视机(108－5x)台，根据题意，得 1 000×4x＋1 500×(108－5x)＋2 000x≤147 000，解得x≥10. 答：至少购买丙种电视机10台. (2)根据题意，得4x≤108－5x，解得x≤12.∴10≤x≤12. 又∵x是整数，∴x＝10，11，12.因此有三种方案. 方案一：购进甲种电视机40台，乙种电视机58台，丙种电视机10台； 方案二：购进甲种电视机44台，乙种电视机53台，丙种电视机11台； 方案三：购进甲种电视机48台，乙种电视机48台，丙种电视机12台. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题和变式训练进一步加强本节课的学习，启发学生学会从实际问题中抽象出数学问题，找出数量关系中的不等关系，用不等式来解决实际问题，让学生体会建立不等式模型的必要性.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.某景区售出的门票分为成人票和儿童票，成人票每张100元，儿童票每张50元，若干家庭结伴到该景区旅游，成人和儿童共30人．售票处规定：一次性购票数量达到30张，可购买团体票，每张票均按成人票价的八折出售，请你帮助他们选择花费最少的购票方式． 解：设参加旅游的儿童有m人，则成人有(30－m)人．根据题意，得 按团体票购买时，总费用为100×80%×30＝2 400(元)． 分别按成人票、儿童票购买时，总费用为100(30－m)＋50m＝(3 000－50m)元． ①若3 000－50m＝2 400，解得m＝12. 即当儿童为12人时，两种购票方式花费相同． ②若选择购买团体票花费少，则3 000－50m＞2 400，解得m＜12. 即当儿童少于12人时，选择购买团体票花费少． ③若选择分别按成人票、儿童票购票花费少，则3 000－50m＜2 400，解得m＞12. 即当儿童多于12人时，选择分别按成人票、儿童票购票花费少． 2．为拓宽学生视野，丰富学生的社会实践经验，某校计划组织师生共405人前往绿色希望农场开展研学活动，如果租用5辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个． (1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；(用二元一次方程组解答) (2)由于最后参加活动的人数增加了35人，学校决定调整租车方案．在保持租用车辆总数不变的情况下，为保证所有参加活动的师生都有座位(可以坐不满)，则最多租用多少辆小客车？ 解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，依题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－x＝15，,6x＋5y＝405，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝30，,y＝45.)) 答：每辆小客车的乘客座位数是30个，每辆大客车的乘客座位数是45个． (2)设租用a辆小客车，则租用(6＋5－a)辆大客车，依题意，得 30a＋45(6＋5－a)≥440，解得a≤eq \f(11,3). ∵a为整数， ∴a的最大值为3. 答：最多租用3辆小客车． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.帮助学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，引导学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.课堂小结课堂小结： 回顾本节课用一元一次不等式解决实际问题的步骤.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性.教学反思反思，更进一步提升.课题9.3　一元一次不等式组授课人素养目标1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法． 2．经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式组的必要性．逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想.教学重点一元一次不等式组的解集和解法.教学难点对一元一次不等式组解集的理解.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么是一元一次不等式？ 2．解下列不等式，并把解集表示在数轴上． (1)eq \f(x－3,2)<eq \f(2x－5,3)；(2)eq \f(5x＋1,6)－2≥eq \f(x－5,4).回顾旧知，为学习新知识做铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 一个长方形足球场的宽为70 m，如果它的周长大于350 m，面积小于7 630 m2，求这个足球场的长的取值范围，并判断这个足球场是否可以进行国际足球比赛(用于国际比赛的足球场的长在100 m至110 m之间，宽在64 m至75 m之间)． 怎样解决这个问题呢？老师引出新课并板书课题.用生活中的实例引入，一方面引起学生的参与欲，另一方面也是知识拓展的需要.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 【探究1】　分析引例 教师提示：有时候，一个量需要同时满足几个不等式，比如上面的这个问题． 如果设足球场的长为x m，那么它的周长就是2(x＋70)m，面积为70x m2.根据已知条件，足球场的长x的取值必须使哪些不等式同时成立？ 1．以上问题可由学生分组讨论，列出不等式． 2．各组回答想法和结论． 3．教师依据学生回答情况，点评并板书． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋70）>350，,70x<7 630.)) 4．请学生们观察上式，给出一元一次不等式组的概念． 像这样，把含有相同未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成了一个一元一次不等式组． 教师强调：(1)关键词：同一个未知数．(2)可以包含超过两个的不等式．(3)书写时不能漏掉左边的大括号． 【探究2】　不等式组的解集 处理方式：问题串点拨． 问题1　你能尝试找出符合一元一次不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋70）>350，,70x<7 630))的未知数的值吗？你能由此判断出这个足球场是否可以进行国际足球比赛吗？ 学生以小组为单位展开讨论，教师走下讲台，参与到小组讨论之中，随时了解各个小组讨论的情况．师生共同总结：符合一元一次不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x＋70）>350，,70x<7 630))的未知数的值很多，它们都是一元一次不等式组的解，一元一次不等式组的所有解组成了它的解集． 问题2　一元一次不等式组的解集和每个一元一次不等式的解集之间是否存在某种关系？ 师生活动：教师可适时点拨：是否可以类比二元一次方程组的解与每个方程的解之间的关系，来理解一元一次不等式组的解集呢？学生讨论回答． 出示定义：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 做一做　解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≤2（x－1），①,\f(x,3)<\f(x＋2,5)，②))并把解集在数轴上表示出来． 解：解不等式①，得x≥－1. 解不等式②，得x＜3. ∴不等式组的解集为－1≤x＜3. 把解集在数轴上表示出来如图所示． 提问：通过学习，你认为解一元一次不等式组的步骤是什么？ 学生讨论交流总结，教师提炼. 知识提炼：解一元一次不等式组的步骤通常为： (1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集； (2)在同一数轴上把它们的解集分别表示出来； (3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集． 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳成如下四种情况： 不等式组数轴表示解集eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>a，,x>b.))(a>b)x>aeq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xb)xb.))(a>b)ba，,xb)无解　口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了.1.通过实际问题的解决使学生理解一元一次不等式组的概念及解法. 2.先自主探究，然后小组交流一元一次不等式组解集的确定方法，最后师生共同完善确定不等式组解集的口诀.活动三：开放训练、体现应用　【典型例题】 　例1　(教材第128页例1)解下列不等式组： (1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞x＋1，①,x＋8＜4x－1；②))　(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥x＋11，①,\f(2x＋5,3)－1＜2－x.②)) 解：(1)解不等式①，得x＞2. 解不等式②，得x＞3. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图： ∴不等式组的解集为x＞3. (2)解不等式①，得x≥8. 解不等式②，得x＜eq \f(4,5). 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图： ∴不等式组无解. 例2　(教材第129页例2)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与eq \f(1,2)x－1≤7－eq \f(3,2)x都成立？ 分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值. 解：解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋2＞3（x－1），,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x，)) 得－eq \f(5,2)＜x≤4. 所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4. 【变式训练】 1．解下列不等式组： (1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＋2x＜7＋x，①,3x－2＜－8；②))　　(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(x,3)＞－1，①,2（x－3）－3（x－2）＞－6.②)) 解：(1)解不等式①，得x＜1. 解不等式②，得x＜－2. ∴不等式组的解集为x＜－2. (2)解不等式①，得x＞－6. 解不等式②，得x＜6， ∴不等式组的解集为－6＜x＜6. 2．解不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5≤3（x＋2），①,2x－\f(1＋3x,2)<1，②))把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 解：解不等式①，得x≥－1. 解不等式②，得x＜3. ∴原不等式组的解集是－1≤x＜3. 其解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的非负整数解为0，1，2. 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题和变式训练进一步巩固一元一次不等式组的解法.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.下列选项中是一元一次不等式组的是(D) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＞0,y－z＞0)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x＞0,x＋1＜0)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＋2＞0,x＋y＜0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0,x＞0)) 2．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞7，,3－x＞－2))的解集是(C) A．x＞2 B．x＜5 C．2＜x＜5 D．无解 3．不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞3，,3x－5≤1))的解集在数轴上表示正确的是(C) 4．已知关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a＞0，,5－2x≥－1))无解，则a的取值范围是a≥3． 5．关于x的不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1＞3，,a－x＞1))的解集为1＜x＜3，则a的值为4． 6.解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞x＋1，①,x＋8＞4x－1；②))　 (2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1＞5，①,\f(3x＋1,2)－1≥x；②)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1＜2（x＋2），①,－\f(1,3)x≤\f(5,3)x＋2；②))　 解：(1)解不等式①，得x＞2.解不等式②，得x＜3. ∴原不等式组的解集为2＜x＜3.数轴略． (2)解不等式①，得x＞3.解不等式②，得x≥1. ∴原不等式组的解集为x＞3.数轴略． (3)解不等式①，得x＜3.解不等式②，得x≥－1. ∴原不等式组的解集为－1≤x＜3.数轴略． (4)解不等式①，得x＜4.解不等式②，得x≤1. ∴原不等式组的解集为x≤1.数轴略． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.帮助学生加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，引导学生灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.课堂小结1.课堂小结： 学生试述：本节课你学到了什么？ 2．布置作业： 教材第130页习题9.3第1，2，4，5，6题.通过课堂小结的形式，引导学生对本节课所学知识进行整理，同时明确学习重点.教学反思反思，更进一步提升.课题*8.4　三元一次方程组的解法授课人素养目标1.了解三元一次方程和三元一次方程组． 2．会解简单的三元一次方程组． 3．掌握解三元一次方程组过程中化“三元”为“二元”和“一元”的化归思想． 4．应用三元一次方程组解决简单的实际问题． 5．通过三元一次方程组的解法练习，培养分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法和消元对象．培养计算能力，训练解题技巧.教学重点会解简单的三元一次方程组，进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思路，灵活运用代入法，加减法等重要方法.教学难点根据方程组的特点，选择最合适的解法.授课类型新授课课时教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾问题1：什么叫二元一次方程和二元一次方程组？ 问题2：解二元一次方程组的基本思路是什么？ 问题3：求解二元一次方程组有哪些方法？主要步骤有哪些？通过回顾复习二元一次方程组相关知识，为三元一次方程组的学习做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】 已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数． 解法1：我们设甲数为x，则乙数为(x－1)，丙数为(2x＋x－1－20)，可列一元一次方程x＋(x－1)＋(2x＋x－1－20)＝23，解这个一元一次方程得x＝9，所以甲数为9，乙数为8，丙数为6. 解法2：我们设甲数为x，乙数为y，则丙数为2x＋y－20，可列二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝y＋1，,x＋y＋2x＋y－20＝23.))解这个二元一次方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝8.))所以甲数为9，乙数为8，丙数为6.1.分别用一元一次方程和二元一次方程组解决问题，让学生比较其不同，为下面三元一次方程组解法作铺垫． 2．通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】 1．三元一次方程(组)有关概念 上例中，我们还有其他方法吗？ 如果设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝23，①,x－y＝1，②,2x＋y－z＝20.③)) 师：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 生：①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次. 引出三元一次方程组的概念： 在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程． 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组． 关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系． 三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解． 2．三元一次方程组的解法 如果能解出这个方程组就好了． 引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，尝试对eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝23，①,x－y＝1，②,2x＋y－z＝20.③))进行消元，从而解决问题． 解：由方程②，得x＝y＋1.④ 把④分别代入①③，得 2y＋z＝22，⑤ 3y－z＝18.⑥ 解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝8，,z＝6.)) 把y＝8代入④，得x＝9. 所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝8，,z＝6.)) 解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？ (1)用代入消元法：由于方程组②式的特点，可将②式化为y＝x－1分别代入①③式，消去y，从而转化为关于x，z的二元一次方程组； (2)用加减消元法：由于②式中没有含z，可以将①③两式联立相加，消掉z，从而得到关于x，y的二元一次方程组． 议一议：上述不同的解法有什么共同之处？与二元一次方程组的解法有什么联系？解三元一次方程组的思路是什么？ 解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”． 即eq \x(三元一次方程组)eq \o(――→,\s\up7(消元))eq \x(二元一次方程组)eq \o(――→,\s\up7(消元))eq \x(一元一次方程) 归纳总结：解三元一次方程组的一般步骤： (1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数． (2)消元，得到一个二元一次方程组． (3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值． (4)求出第三个未知数的值，写出方程组的解.1.结合实例，用类比法学习三元一次方程组的有关概念，由于内容比较容易理解，以谈话的方式解决即可. 2.类比二元一次方程组的解法，师生共同分析，得到三元一次方程组的解法，由学生独立尝试写出解答过程，结合板演规范并梳理解题步骤，让学生明确解三元一次方程组的基本思想是“消元”． 3．体会三元一次方程组的不同解法之间的异同，增强思维的灵活性.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】 例　解三元一次方程组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝4，①,x－y＋z＝8，②,4x＋2y＋z＝17.③)) 解：②－①，得－2y＝4， 解得y＝－2. 把y＝－2代入①，得x－2＋z＝4， 即x＋z＝6.④ 把y＝－2代入③，得4x－4＋z＝17， 即4x＋z＝21.⑤ 由④和⑤组成一个二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋z＝6，,4x＋z＝21，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,z＝1.)) 所以原方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－2，,z＝1.)) 【变式训练】 中超联赛中A，B，C，D，E五支球队的积分和胜负情况如下表： 队名比赛场次胜场平场负场积分A1684428B16016016C16012412D16286aE16b82c　　从中可知a＝14，b＝6，c＝26. 提示：间接设胜一场得x分，平一场得y分，负一场得z分，列方程组解题即可. 师生活动：学生独立思考，教师适当引导设未知数. 进一步巩固新知，举一反三，灵活选择简便的方法进行消元，熟练解题.活动四： 课堂检测【课堂检测】 1.解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＋2z＝3，,2x＋y－4z＝11，,7x＋y－5z＝1，))若要使运算简便，消元的方法应选取(B) A.先消去x　　　B．先消去y　　　C．先消去z　　　D．以上说法都不对 2.下列四组数值中，为方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＋z＝0，,2x－y－z＝1，,3x－y－z＝2))的解的是(D) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1,z＝－2)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝0,z＝1)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝－1,z＝0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2,z＝3)) 3.解下列方程组： (1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝11，,y＋z－x＝5，,z＋x－y＝1；))　(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝12，,x＋2y＋5z＝22，,x＝4y；)) (3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋z＝6，,x－y＋2z＝－1，,x＋2y－z＝5；))　(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,7)＝\f(y,10)＝\f(z,5)，,3x＋5y＝71.)) 解：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，,z＝3.))　(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝2，,z＝2.))　(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，,z＝－1.))　(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝10，,z＝5.)) 4．某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株数是甲、丙两组和的eq \f(1,4)，甲组植树的株数恰是乙组与丙组的和，问每组各植树多少株？ 解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株．由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝50，,y＝\f(1,4)（x＋z），,x＝y＋z.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝25，,y＝10，,z＝15.)) 答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株． 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到了解课堂学习效果的目的.课堂小结1.课堂小结： (1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法； (2)本节课还有哪些疑惑？请同学们说一说． 2．布置作业： 教材第106页习题8.4第1，2，3题.注重课堂小结，激发学生参与课堂总结的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.