初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试获奖教学设计及反思

这是一份初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组综合与测试获奖教学设计及反思，共17页。教案主要包含了创设情境，引入新课，讲授新课，例题讲解，巩固练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

第九章 不等式与不等式组


9．1 不等式


9．1.1 不等式及其解集








感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义．通过解决简单的实际问题，学生自主地寻找不等式的解集，会把不等式的解集正确地表示在数轴上．





重点


不等式的解集的概念．


难点


不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．





一、创设情境，引入新课


教师出示问题：


一辆匀速行驶的汽车在11: 20距离A地50千米，要在12：00以前驶过A地，车速应该满足什么条件？


教师提问：


题目中有等量关系吗？


学生回答：没有．


教师追问：那是什么关系呢？


学生讨论发言：


从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到eq \f(2,3)小时，即eq \f(50,x)＜eq \f(2,3).


从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶eq \f(2,3)小时的路程要超过50千米，即eq \f(2,3)x＞50.


教师总结：这些是不等关系．


二、讲授新课


1.不等式、一元一次不等式的概念


在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：


用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．


教师提问：


下列式子中哪些是不等式？


(1)a＋b＝b＋a (2)－3>－5 (3)x≠1


(4)x＋3>6 (5)2m

上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，一般地，我们把用“<”或“>”表示的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．


补充说明：


用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式．


2.不等式的解、不等式的解集


问题1：要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？


问题2：车速可以是每小时85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时74千米昵？


教师总结：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可以把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．


问题3：刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式eq \f(2,3)x>50的解？


问题4：判断下列数中哪些是不等式eq \f(2,3)x>50的解：


76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.


教师提问：


你还能找出这个不等式的其他解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？


学生讨论后得出：


当x>75时，不等式eq \f(2,3)x>50成立；当x<75或x＝75时，不等式eq \f(2,3)x>50不成立．这就是说，任何一个大于75的数都是不等式eq \f(2,3)x>50的解，这样的解有无数个．因此x>75表示了能使不等式eq \f(2,3)x>50成立的x的取值范围．


这个解集还可以用数轴来表示．(教师示范表示方法)


教师引导：


回到前面的问题，要使汽车在12：00以前驶过A地，则车速必须大于每小时75千米．


一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．


三、例题讲解


例：在数轴上表示下列不等式的解集：


(1)x>－1；(2)x≥－1；(3)x<－1；(4)x≤－1.


【答案】





注意：


1.实心点表示包括这个点，空心点表示不包括这个点．


2.步骤：画数轴，定界点，走方向．


教师强调：


空心圆圈“”表示“>”或“<”；





实心圆点“”表示“≥”或“≤”．


即：若解集中含有等号，则以实心圆点表示；若解集中不含等号，则以空心圆圈表示．


四、巩固练习


1．用不等式表示图中的解集：








2．下列数中哪些是不等式3x>6的解？


－4，3，0，1，2.5，－2.5，3.2，－4.8, 12.


【答案】


1．(1)x<2 (2)x≤2


(3)x≥－7.5 (4)x>－7.5


2. 3，2.5，3.2，12.


五、课堂小结


1．不等式的概念．


2．不等式的解与不等式的解集．


3．不等式的解集在数轴上的表示．





本节课通过实际情境引入不等关系，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，让学生了解了不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间不等关系的有效模型．


9．1.2 不等式的性质(1)








1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质．


2．初步体会不等式与等式的异同．





重点


不等式的性质和解法．


难点


不等号方向的确定．





一、创设情境，引入新课


教师出示天平，并请学生仔细观察教师的操作过程，回答下列问题：


1.天平被调整到什么状态？


2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？


3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？


4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？


二、讲授新课


1．用“>”或“<”填空．


(1)－1＋2____3＋2，－1－3____3－3；


(2) 5＋a____3＋a，5－a____3－a；


(3)6×5____2×5，6×(－5)____2×(－5)；


(4) (－2)×6____3×6，


(－2)×(－6)____3×(－6)；


(5)(－4)÷2____(－6)÷2，


(－4)÷(－2)____(－6)÷(－2)．


2.在以上练习中，你发现了什么？


请把你的发现告诉同学们，并与他们交流．


请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？


3.让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：


不等式性质1：


不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．


即如果a>b，那么a±c>b±c.


不等式性质2：


不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．


即如果a>b，c>0，那么ac>bc(或eq \f(a,c)>eq \f(b,c))．


不等式性质3：


不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．


即如果a>b，c<0，那么ac

注意：性质2的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或除的是一个负数，不等号的方向改变了．


三、例题讲解


例：利用不等式的性质填“>”或“<”：


(1)若a>b，则2a____2b；


(2)若－2y<10，则y____－5；


(3)若a0，则ac－1____bc－1；


(4)若a>b，c<0，则ac＋1____bc＋1.





【答案】


(1)> (2)> (3)< (4)<


四、巩固练习


判断正误：


1．∵a＜b，


∴a－b＜b－b；( )


2．∵a＜b，


∴eq \f(a,3)＜eq \f(b,3)；( )


3．∵a＜b，


∴－2a＜－2b；( )


4．∵－2a＞0，


∴a＜0.( )


【答案】


1．√ 2.√ 3.× 4.√


五、课堂小结


在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：


1.等式性质与不等式性质的不同之处．


2.在运用“不等式性质3”时应注意的问题．





本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段，让学生充分进行了讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握了不等式的性质，这样就有效地突破了本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．


9．1.2 不等式的性质(2)








1．会根据“不等式性质1”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．


2．学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．





重点


一元一次不等式的解法．


难点


不等式性质3在解不等式中的运用．





一、创设情境，引入新课


小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点．小希家距学校有2千米，而他的步行速度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？


1.若设小希上午x点从家里出发才能不迟到，则x应满足怎样的关系式？


2.你会解这个不等式吗？请说说解的过程．你能把这个不等式的解集在数轴上表示出来吗？


二、讲授新课


分组探讨：


对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考，然后组内交流，并做记录，最后各组派代表发言．


在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：


1．x应满足的关系式是：x＋eq \f(1,5)≤8.


2.根据“不等式性质1”，在不等式的两边减去eq \f(1,5)，得x＋eq \f(1,5)－eq \f(1,5)≤8－eq \f(1,5)，即x≤7eq \f(4,5).


3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：





我们在表示7eq \f(4,5)的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．


三、例题讲解


【例1】 利用不等式的性质解下列不等式：


(1)x－7＞26； (2)3x＜2x＋1；


(3)eq \f(2,3)x＞50; (4)－4x＞3.


分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x＞a或x＜a(a为常数)的形式．


解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以


x－7＋7＞26＋7，


x＞33.


(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以


3x－2x＜2x＋1－2x，


x＜1.


(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘eq \f(3,2)，不等号的方向不变，所以


eq \f(3,2)×eq \f(2,3)x＞eq \f(3,2)×50，


x＞75.


(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以


eq \f(－4x,－4)＜eq \f(3,－4)，


x＜－eq \f(3,4).


【例2】 解不等式eq \f(1,2)x－1≤eq \f(2,3)(2x＋1)．


分析：我们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，因此，解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同．


解：去分母，得3x－6≤4(2x＋1)，


去括号，得3x－6≤8x＋4，


移项，得3x－8x≤4＋6，


合并，得－5x≤10，


系数化为1，得x≥－2.


教师总结：


1．一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(不等式的两边都除以未知数的系数)．不同的是第(5)步，系数是正数，保留原不等号；系数是负数，要把不等号方向改变．解一元一次方程，要用同解变形把原方程变成最简单的一元一次方程x＝c的形式．解一元一次不等式，也要通过同样变形，把原不等式变成最简单的一元一次不等式x>c或x

2.(1)在解方程中易犯的错误，在解不等式中也易犯，要特别注意，如要去分母时，各项都要乘以公分母；加括号与去括号时，要遵循有关法则等．(2)注意当不等式的两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号要改变方向．


四、巩固练习


1．解下列不等式，并在数轴上表示解集：


(1)x＋5>－1；


(2)4x<3x－5；


(3)8x－2<7x＋3.


2．用不等式表示下列语句并写出解集：


(1)x与3的和不小于6；


(2)y与1的差不大于0.


【答案】


1．画数轴略．(1)x>－6 (2)x＜－5 (3)x<5


2．(1)x＋3≥6，x≥3；


(2)y－1≤0，y≤1.


五、课堂小结


师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，还明白了生活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．





本课从发生在学生身边的事情入手，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望．以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散思维．让学生在“做数学”的过程中，亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探究、研讨、解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为了学习的主人．








9．1.2 不等式的性质(3)








1．使学生熟练掌握一元一次不等式的解法．


2．初步认识一元一次不等式的应用价值．





重点


不等式的运用．


难点


寻找不等关系．





一、创设情境，引入新课


教师出示问题：


某地庆典活动需燃放某种礼花弹，为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速度为0. 02 m/s，人离开的速度是4 m/s，导火索的长x m应满足怎样的关系式？


教师提问：


你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程．


在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法．


教师规范地板书解的过程：


解一元一次不等式的步骤：


1．去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1.


二、例题讲解


【例1】 已知x＝3－2a是不等式eq \f(1,5)(x－3)＜x－eq \f(3,5)的解，求a的取值范围．


分析：由不等式解的意义，你能知道什么？


解：依题意得


eq \f(1,5)[(3－2a)－3]＜(3－2a)－eq \f(3,5)，


eq \f(1,5)·(－2a)＜eq \f(12,5)－2a，


－2a＜12－10a，


8a＜12，


∴a＜eq \f(3,2).





【例2】 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，现准备向它继续注水．用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围．


解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即


V＋3×5×3≤3×5×10，


V≤105.


又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是


V≥0并且V≤105.


在数轴上表示V的取值范围如图所示．





三、巩固练习


1．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝m＋1，,2x＋y＝m－1，))当m为何值时，x＞y?


2.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折，若你是消费者，选哪家商场购买比较合适？


【答案】


1．m>4.


2．当购买40瓶以上时，去乙商场比较划算；当购买40瓶时，甲、乙两商场都一样；当购买的矿泉水少于40瓶时，去甲商场比较划算．


四、课堂小结


师生围绕以下几个问题进行小结：


1.这节课的主要内容是什么？


2.通过学习，你取得了哪些收获？


3.还有哪些问题需要注意？





通过创设与学生实际生活密切联系的问题情境，并由学生根据自己掌握的知识与经验列出不等式，探究它的解法，激发了学生的学习动力，唤起了他们的求知欲望，促使学生动脑、动手、动口，积极参与了教学的整个过程．在教师的指导下，学生主动地、生动活泼地、富有个性地学习．





9．2 一元一次不等式(1)








1．体会一元一次不等式的形成过程．


2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．





重点


在一元一次不等式建立模型的基础上，理解什么是一元一次不等式．教学的过程中，要让学生通过回顾、观察、思考，归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方程等概念加以比较，进一步加深对这些概念的理解．


难点


体会不等式的作用，训练解不等式的技能．





一、复习引入


前面我们已经学习了不等式及其相关概念，下面请同学们完成下面的题目．


1.写出下列各不等式的解集．


(1)x＋3>6； (2)x＋5≥9；


(3)x＋7<15; (4)x－1≤9.


2．化简：


(1)3x≤4________(不等式性质________)；


(2)x－7≥－3________(不等式性质________)．


二、讲授新课


师：观察下列不等式：x－7>26，3x＜2x－1，eq \f(2,3)x>50，－4x>3.它们有哪些共同特征？


生：它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.


师：回答得很好．类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．通过前面的学习，同学们知道不等式x－7>26的解集是多少吗？


生：x>33.


师：是怎么解的呢？


生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的．这相当于由x－7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．


师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．


【例】 解下列不等式，并在数轴上表示解集：


(1)2(1＋x)＜3; (2)eq \f(2＋x,2)≥eq \f(2x－1,3).


解：(1)去括号，得


2＋2x＜3.


移项，得


2x＜3－2.


合并同类项，得


2x＜1.


系数化为1，得


x＜eq \f(1,2).


这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．





(2)去分母，得


3(2＋x)≥2(2x－1)．


去括号，得


6＋3x≥4x－2.


移项，得


3x－4x≥－2－6.


合并同类项，得


－x≥－8.


系数化为1，得


x≤8.


这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．





三、巩固练习


解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集．


1．2(1－x)＜x－2.


2．11－3x≥2(x－2)．


3．x－4≥3(x＋2)．


【答案】 数轴略 1.x＞eq \f(4,3) 2.x≤3 3.x≤－5.


四、课堂小结


在本节课的教学过程中，让学生通过与一元一次方程的解法进行类比，主动探求一元一次不等式的解法．结合等式与不等式基本性质的差异，找出方程与不等式解法中的不同之处，对于不等式的解有无数多个，学生不易理解，教学中给学生足够的时间进行交流和讨论，帮助学生理解，用数轴表示不等式的解集是数形结合的具体体现．








本节课的教学重点是探求一元一次不等式的解法，并能准确地在数轴上表示不等式的解集．在技能形成初期，我让学生按照一般步骤，按照规范的格式做一些规范练习，养成良好的解题习惯，使他们认识到在数轴上表示不等式的解集时，要规范空心点与实心点的使用，理解它们在表示不等式解集时的差别．


9．2 一元一次不等式(2)








1．会从实际问题中抽象出数学模型．


2．会用一元一次不等式解决实际问题．





重点


寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．


难点


弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．





一、创设情境，引入新课


我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关 系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大 量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便. 某学校计划购买若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你会怎么考虑？ 如何选择？


二、讲授新课


1.分组活动．先让学生独立思考，理解题意．再在 组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论 述理由．


2.在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳 出以下三种采购方案：


(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？


(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？


(3)什么情况下，两个商场收费相同？


3.我们先来考虑方案(1)：


设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠．


问题1：如何列不等式？


问题2：如何解这个不等式？


在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如 下：


解：设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠， 则6000＋6000(1－25%) (x－1)<6000(1－20%)x，


去括号，得6000＋4500x－4500<4800x，


移项且合并，得－300x<－1500，


不等式两边同除以－300，得x>5.


答：购买5台以上的电脑时，甲商场更优惠．


4.让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完 成的情况，教师最后做适当点评．


三、例题讲解


【例1】 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之比达到60%，如果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年至少增加多少？


分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系，转化为不等式，即eq \f(明年空气质量良好的天数,明年天数)＞70%.


解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了x，去年有365×60%天空气质量良好，明年有(x＋365×60%)天空气质良好，并且eq \f(x＋365×60%,365)＞70%.


去分母，得


x＋219＞255.5.


移项，合并同类项，得


x＞36.5.


由x应为正整数，得


x≥37.


答：明年要比去年空气质量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数超过全年天数的70%.


【例2】 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？


分析：在甲商场购物超过100元后享受优惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论：


(1)累计购物不超过50元；


(2)累计购物超过50元而不超过100元；


(3)累计购物超过100元．


解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠，且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．


(2)当累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少．


(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．


①若到甲商场购物花费少，则


50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．


解得 x＞150.


这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．


②若到乙商场购物花费少，则





50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．


解得 x＜150.


这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．


③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．


解得 x＝150.


这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．


四、课堂小结


用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题．





本节课通过丰富的实际情境，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，并了解到在解决某些问题时，用不等式较方便．教学中，我利用例题让学生掌握了从实际问题中抽象出数学模型的方法，从而让学生认识到一元一次不等式在实际生活中的应用价值．


9．3 一元一次不等式组








通过比较确定不等式组的解集与确定方程组的解集，抽象出这二者之间的异同，由此理解不等式组的公共解集．





重点


一元一次不等式组的解集和解法．


难点


对一元一次不等式组解集的理解．





一、创设情境，引入新课


小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x千克．


1.从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？


2.你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？


在讨论或议论中，列出不等式：


2x＋x<72，


2x＋x＋6>72.


其中x同时满足以上两个不等式．


在学生议论的基础上，老师揭示：


一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多．


二、讲授新课


教师出示问题：


用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水．估计积存的污水超过1200 t而不足1500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？


设用x min将污水抽完，则x同时满足不等式


30x>1200， ①


30x<1500. ②


类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．记作


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(30x>1200，,30x<1500.))


怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢？


类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x可以取值的范围．


由不等式①，解得


x>40.


由不等式②，解得


x<50.


把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．





从图中容易看出，x取值的范围为


40

这就是说，将污水抽完所用时间多于40 min而少于50 min.


一元一次不等式组的概念和解集：


把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．


类比方程组的解，我们把几个不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集．


我们还可以利用数轴确定不等式组的解集．


1.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞4，,x＞2)) x＞4


2.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜4，,x＞2)) 2＜x＜4


3.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞4，,x＜2)) 无解


4.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜4，,x＜2)) x＜2


上面的表示可以用口诀来概括：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小不用找．


注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．


三、例题讲解


【例1】 解下列不等式组：


(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＞x＋1，①,x＋8＜4x－1；②))


(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3≥x＋11，①,\f(2x＋5,3)－1＜2－x.②))


解：(1)解不等式①，得


x＞2.


解不等式②，得


x＞3.


把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．





从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．


x＞3.


(2)解不等式①，得


x≥8.


解不等式②，得


x＜eq \f(4,5).


把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．





从图中可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解．


【例2】 x取哪些整数值时，不等式


5x＋2＞3(x－1)与eq \f(1,2)x－1≤7－eq \f(3,2)x都成立？


分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值．


解：解不等式组


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋2＞3（x－1），,\f(1,2)x－1≤7－\f(3,2)x，))


得－eq \f(5,2)＜x≤4.


所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4.


四、巩固练习


解下列不等式组：


1.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5≤3（x＋2），,\f(x－1,2)＜\f(x,3)；)) 2.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－7＜3（1－x），,\f(4,3)x＋3≤1－\f(2,3)x；))


3.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋3＞8x－2，,\f(x－1,2)＞\f(2x－3,3).))


【答案】


1．不等式2x＋5≤3(x＋2)的解集为x≥－1，


不等式eq \f(x－1,2)＜eq \f(x,3)的解集为x＜3，


故不等式组的解集为－1≤x＜3.


2．不等式2x－7＜3(1－x)的解集为x＜2，


不等式eq \f(4,3)x＋3≤1－eq \f(2,3)x的解集为x≤－1，


故不等式组的公共解集为x≤－1.


3．不等式5x＋3＞8x－2的解集为x＜eq \f(5,3)，


不等式eq \f(x－1,2)＞eq \f(2x－3,3)的解集为x＜3，


故不等式组的公共解集为x＜eq \f(5,3).


五、课堂小结


学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要．学习不等式组时，我们可以类比方程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念．求不等式组的解集时，利用数轴很直观，也很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今后我们还会有更深刻的体验．





本节课的设计以实际问题建立数学模型，通过


数学问题引导学生找出解决问题的思路．在这一过程主线下，辅以类比、探索、概括的学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳契机，及时揭示出数学本质，引发数学思考，让学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．