【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型13 6类解三角形公式定理解题技巧（海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式）

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技法01 海伦公式的应用及解题技巧
海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材料题在高考及模考中出现，需加以练习.
知识迁移
海伦-秦九韶公式
三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为
其中，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。
我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:
例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积 ．
【详解】因为，所以．
故答案为：.
1．（2022·全国·校联考模拟预测）在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（ ）．
A．B．C．10D．12
【答案】D
【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.
【详解】依题意，，则，
所以，，
所以的面积最大值是12.
故选：D
2．（2023上·河北石家庄·高三校考阶段练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ）
A．B．C．D．12
【答案】C
【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．
【详解】∵，∴，
∵周长为，即，
∴，∴，
∴的面积．
故选：C．
3．（2023·海南·校联考模拟预测）古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（ ）
A．角A，B，C构成等差数列B．的周长为36
C．的内切圆面积为D．边上的中线长度为
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理和余弦定理可知，满足，即A正确；根据海伦公式可得，所以周长为，故B错误；由等面积法可知内切圆的半径，可知C正确，由利用余弦定理可得边上的中线长度为，即D正确.
【详解】对于A，由正弦定理可知，
设，，，
由余弦定理可得，
所以，，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；
对于B，根据海伦公式得，，得，
所以，，，所以的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆的半径为r，则，得，
所以的内切圆面积为，故C正确；
对于D，设的中点为，则，
在中，，故D正确．
故选：ACD
技法02 射影定理的应用及解题技巧
三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形射影定理能够快速得到答案，需强化练习
知识迁移
射影定理，，
例2．（全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则 ．
在△ABC中，acsC＋ccsA＝b，∴条件等式变为2bcsB＝b，∴csB＝.
又01．（2023·上海浦东新·统考二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则 ．
【答案】
【分析】由正弦定理得到，求出正弦，利用二倍角公式求出答案.
【详解】，由正弦定理得，
因为，所以，故，
由于，故，
则.
故答案为：
2．（全国·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
3．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
4．（上海虹口·高三上外附中校考期中）在中，，则（ ）
A．，，依次成等差数列
B．，，依次成等差数列
C．，，依次成等差数列
D．，，既成等差数列，也成等比数列
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简可得出，即可求出、、关系.
【详解】设是三角形外接圆半径，∵，
∴，即，
即即
∵、、在三角形中，
所以，所以
得到，
即，，成等差数列，
故选：A.
【点睛】本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习.
5．（2023·全国·高三专题练习）在中，三个内角、、所对的边分别为、、，若的面积，，，则 .
【答案】
【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简, 由的范围特殊角的三角函数值求出，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值.
【详解】由可得
在中，由正弦定理得：
由得，
由得
得
∴由余弦定理得
解得，
故答案为：.
技法03 角平分线定理的应用及解题技巧
在解三角形中，应用角平分线定理及其变形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.
知识迁移
角平分线定理
（1）在中，为的角平分线，则有
（2）
（3）（库斯顿定理）
（4）
例3．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
由余弦定理可得，，因为，解得：，
则计算即可，故答案为：．
1．（2023·全国·高三专题练习）△中，边内上有一点，证明：是的角平分线的充要条件是．
【答案】证明见解析
【分析】证明两个命题为真：一个是由是的角平分线证明，一个是由证明是的角平分线．
【详解】证明：设：是的角平分线，：．
如图，过点作//交的延长线与点，
（1）充分性（）：若，则，所以，所以，又△∽△，所以，所以．
（2）必要性 （）：反之，若，则∵，∴△∽△，∴，所以，所以，又//，所以，所以．
由（1）（2）可得，是的角平分线的充要条件是．
【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明是的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：，必要性：．
2．（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）在中，角A的角平分线交于点D，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则即可求解.
【详解】因为是的角平分线，所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，所以
，即.
故选：D
3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则角A的角平分线 .

【答案】
【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解.
【详解】
由正弦定理得，都是锐角，
，，
，
在中，由正弦定理得：；
故答案为：.
4．（2023春·安徽滁州·高一统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）根据，再利用三角形面积公式得到关于的方程，解出即可.
【详解】（1）由正弦定理可知.
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）由题意知，
所以，
所以，
解得.
技法04 张角定理的应用及解题技巧
在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习.
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张角定理
例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知是中的角平分线，交边于点.
（1）用正弦定理证明：；
（2）若，，，求的长.
先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD的长为．
例4-2．在中,角所对的边分别为,已知点在边上,
,则__________
解：如图
由张角定理得:
即
在 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 b=2,c=4,∠BAC=120∘,∠BAC 的角平分线交边 BC 于点 D,则 AD=_____
解析 由张角定理, 得 cs∠BAD=12ADAB+ADAC,即 12=12AD4+AD2, 解得 AD=43.
2.在中,角所对的边分别为是的角平分线,若,则的最小值为_______
【解析】如图:
是的角平分线
由张角定理得:
（当且仅当,即时取“=”）
3．（2023上·河南信阳·高二河南宋基信阳实验中学校考期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（ ）
A．B．C．8D．
【答案】B
【分析】根据题意由面积关系可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：，
因为，即，
整理得，
则．
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：B.
技法05 倍角定理的应用及解题技巧
在解三角形中，应用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.
知识迁移
倍角定理
在中,三个内角的对边分别为,
(1)如果,则有:，(2)如果,则有:，(3)如果,则有:
倍角定理的逆运用
在中,三个内角A、B、C的对边分别为,
如果,则有:，(2)如果,则有:，(3)如果,则有:。
例5．在 △ABC 中, 角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 B=2A, a=1,b=3, 则 c=_______
∵B=2A,由倍角定理得: b2=a2+ac
即32=12+1×c∴c=2
1.在 △ABC 中, 角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c, 已知 8 b=5c, C=2 B, 则 csC=
【解析】 ∵8 b=5c，令 b=5,c=8，∵C=2B
由倍角定理得: c2=b2+ab，即 82=52+a×5
∴a=395，由余弦定理得: csC=a2+b2−c22ab
=3952+52−822×395×5=725
2.在 △ABC 中, 角 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c, 若 A=2 B,则 cb+2ba2 的最小值为
【解析】 ∵A=2 B
由倍角定理得: a2=b2+bc=bb+c
∴cb+2ba2=cb+4b2a2=cb+4b2bb+c=cb+4bb+c=−1+b+cb+4bb+c≥2b+cb×4bb+c−1=3
（当且仅当 b+cb=4bb+c 时取 “=”)
3.△ABC中,角A、 B、C所对的边分别为a、 b、c,若a2−b2=bc,且sinA=3sinB,则角A=
【解析】∵a2−b2=bc
∴a2=b2+bc∴A=2B∵sinA=3sinB∴sin2B=3sinB
即2sinBcsB=3sinB
∵sinB≠0∴csB=32∵04.（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理得，再利用两角和与差的余弦公式化简得，再根据范围即可证明；
（2）根据三角恒等变换结合（1）中的结论化简得，再求出的范围，从而得到的范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.
【详解】（1）由及得,.
由正弦定理得,
又,
,
,
,
都是锐角,则
,
（2）令
，
由（1）得.
在锐角三角形中,
，即，,
令,
根据对勾函数的性质知在上单调递增，
,即的取值范围是.
技法06 10类恒等式的应用及解题技巧
在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习.
知识迁移
三角恒等式
在中，
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩。
例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，=______
，可得，所以.
在 △ABC 中， tanA:tanB:tanC=1:2:3, 则 ABAC=______
因为 tanA:tanB:tanC=1:2:3
所以设 tanA=k,tanB=2k,tanC=3k
利用三角形的正切恒等式
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
所以 1k+2k+3k=1k⋅2k⋅3k
所以 tanA=1,tanB=2,tanC=3
所以 ABAC=cb=sinCsinB=31025=322=324
2．（河南·高一竞赛）在中，设， .则、的大小关系是（ ）.
A．B．
C．D．不能确定
【答案】C
【详解】由条件有 .
同理，，.故. 选C.
3．（全国·高三竞赛）在中，，．则、的大小关系是（ ）．
A．B．
C．D．无法确定
【答案】B
【详解】在中，．
同理，，．
三式相加得．