【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型14 4类解三角形大题综合（双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图形类解三角形综合）

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技法01 双正弦及双余弦模型
技法02 周长及面积类最值问题
技法03 边长和差、积商类最值问题
技法04 图形类解三角形综合
技法01 双正弦及双余弦模型
双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习
例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在中，角的对边分别为.已知.
(1)求角； (2)若为线段延长线上一点，且，求.
（1）
（2）设，在和中，由正弦定理可得
于是，又，
则，，
；
综上，，.
1．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，点D在BC 上，满足AD＝BC，．
(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；
(2)若，求．
2．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求．
3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若为边的中点，且，求的面积.
技法02 周长及面积类最值问题
周长及面积类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习
例2-1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
(1)求角的值；
(2)求面积的取值范围．
（1）．
（2）由正弦定理，可知，
，
∵，∴，∴.
例2-2．（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
（1）以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
则，
，
1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若是边上的一点，且，，求面积的最大值．
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.
(1)求；
(2)若，求周长的取值范围.
技法03 边长和差、积商类最值问题
边长和差、积商类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习
例3-1．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)设BC的中点为D，且，求的取值范围．
【详解】（1）中，，由正弦定理得．
所以，
即，
所以；
又，则，所以，
则有，又因为，则，即；
（2）设，则中，由可知，
由正弦定理及可得，
所以，，
所以，
由可知，，，
所以．
即的取值范围.
例3-2．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以，
即，
所以或（舍去）．
所以，结合，得．
（2）由（1）得:
．
因为是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即，，所以，
所以，，
所以的取值范围是．
1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在平面凸四边形ABCD中，，，，．
(1)若，求；
(2)求的取值范围．
2．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
3．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求的大小．
①；②；③．
(2)若，求的取值范围．
技法04 图形类解三角形综合
图形类解三角形综合是通过在图形中寻找正余弦定理来求解，此类题型难度中等，是高考中的常考考点，需强加练习
例4．（2023·湖南郴州·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，角C的平分线交AB于点D，且，.

(1)求的大小；
(2)求.
【详解】（1）由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以.
（2）已知角C的平分线交AB于点D，且，.
在中，由正弦定理得,
在中，由正弦定理得,
因为，，所以，
所以.
设，由余弦定理得，
即，
解得，
因为，
所以,
解得.
1．（2023·山东潍坊·统考二模）在四边形中，，，，为的面积，且.
(1)求角；
(2)若，求四边形的周长.
2．（2023·广西·统考模拟预测）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；
(2)求的面积.
3．（2023·山东淄博·统考二模）如图所示，为平面四边形的对角线，设，为等边三角形，记.
(1)当时，求的值；
(2)设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.