【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型16 11类数列通项公式构造解题技巧

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用与关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可.
知识迁移
例1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
（1）因为，即①，当时，②，
①②得，，即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
3．（2023·广东·统考二模）记数列的前n项和为，已知，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若，，，求.
技法02 已知用累加法求通项公式的解题技巧
累加法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累加的类型，需强化练习.
知识迁移
例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{}中，，，求通项公式．
原递推式可化为，则，
，…，，逐项相加，得，故．
1．（2023上·江苏·高三专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．
2．（2023·江苏南京·校考二模）已知数列的前项和为，满足.
(1)求的值，并求数列的通项公式.
(2)令，求数列的前项和.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
技巧技法03 已知用累乘法求通项公式的解题技巧
累乘法求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们注意累乘的类型，需强化练习.
知识迁移
例3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
技法04 已知用求通项公式的解题技巧
已知，我们可以用待定系数法构造，从而转化为我们熟悉的等比数列求解，是高考的常考题型，需强化练习
知识迁移
例4．
1．（2023·湖南张家界·统考二模）数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列中，，且，为其前项的和．
(1)求数列的通项公式；
(2)求满足不等式的最小正整数的值；
(3)设，，其中，若对任意，，总有成立，求的取值范围．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（2023·山东德州·三模）已知为数列的前项和，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前项和为，证明：．
5．（2023·贵州遵义·统考三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
技法05 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项，可以套模板来灵活解题，其本质是待定系数，需强化练习.
例5．（2023·陕西安康·校联考模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
（1）因为，
所以，又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即；
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在数列中，．
(1)证明：数列为常数列．
(2)若，求数列的前项和．
2．（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）在数列中，，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前n项和.
技法06 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是除以一个指数式，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例6．（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
(1)试求数列的通项公式；
(2)求.
（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，
由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列，
所以，即.
1．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
2．（2022下·全国·高三校联考开学考试）已知数列中，，，.
(1)设，求证是等差数列；
(2)求的通项.
技法07 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是待定系数法，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例7．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)数列满足，求数列的前项和.
（1），．
已知，，得，可得，
数列为以2为首项，以2为公比的等比数列
1．（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）已知数列满足，，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
2．（2023下·吉林白城·高二校考阶段练习）已知数列满足
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围
3．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知数列满足，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
4．（2023上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知数列满足，，对任意的时，都有成立.
(1)令，，求证：，都是等比数列；
(2)求数列的通项公式.
技法08 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是除以，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例8．（2023·福建三明·统考三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，证明：.
（1）因为，，所以，
所以.
所以，
所以为等差数列，首项为，公差，
所以，
所以
1．（2023·河南安阳·统考三模）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.
3．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若，求k的最小值．
技法09 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是取到数，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）数列中，，且.
(1)求的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，求.
（1）由，可得.
因为，所以.
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以，即.
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.
2．（2023·山东·模拟预测）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列的前n项和.
技法10 已知用求通项公式的解题技巧
已知用求通项公式，其本质是取对数，是高考中的高频考题，可灵活运用模板解题
例10．
1．（2023·浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测）数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．存在正整数，使得B．存在正整数，使得
C．对任意正整数，都有D．数列单调递增
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
3．（江西抚州·高一统考期中）已知，点在函数的图像上，其中.
（1）求的值；
（2）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）记，求数列的前项和.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式.
技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧
构造常数列的题在近年模拟题中越来越多，也是考向标的一种风向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.
例11．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
（1）由，得当时，，两式相减得：，
从而，即数列是常数列，因此，
所以数列的通项公式是.
1．（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
2．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和.