【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型18 4类数列综合（数列不等式的证明、不等式放缩、参数求解、三角函数综合）

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技法01 数列中不等式的证明
技法02 数列中的不等式放缩
技法03 数列中的参数求解
技法04 数列与三角函数综合
技法01 数列中不等式的证明
数列不等式的证明是高中数学教学中极其重要的一部分，它不仅涉及到数学知识的综合运用，还要求学生具备严谨的逻辑思维和灵活的解题技巧。难度中等偏上、需强加练习.
例1．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，数列的前n项和为，证明：．
【详解】（1）由得，则当时，有，
两式相减得，
整理得，即，
因此数列是以为公比的等比数列．
（2）由（1）及可得，
因此．
于是，
所以
，
由于，所以，
故．
1．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知数列的前项和为，满足，且为，的等比中项.
(1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，证明：.
2．（2023·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：．
3．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知为数列的前项和，，，记.
(1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：.
技法02 数列中的不等式放缩
放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习.
（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。
注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：
（2），从而有：
注：对于还可放缩为：
（3）分子分母同加常数：
此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。
（4）

可推广为：

例2．（2022·福建泉州·统考模拟预测）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：．
【详解】（1）因为， ①
当时，， ②
①②，得
，所以，
又时，，
所以．
（2）由（1）结合已知条件可得：．
当时，，，即成立．
当时，，
所以

综上，．
1．（2024·广东茂名·统考一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，为数列的前项积，证明：.
2．（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列的前n项之积为，满足（）.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项之和为，证明：.
3．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列的首项，是与的等差中项．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：．
4．（2023·湖北·模拟预测）设对任意，数列满足，，数列满足．
(1)证明：单调递增，且；
(2)记，证明：存在常数，使得．
5．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，
(1)求和
(2)求证：．
技法03 数列中的参数求解
对于此类含参数不等式愿型,大部分可以通过分离參数等方式转化为最值问题,对于求最值,需要分析单调性,函数类型可通过运算法则或者求导进行判断,数列可通过作差法进行判断数列的单调性，难度中等偏上、需强加练习.
例3．（2023·河北·模拟预测）在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可得：，
当时，可得，
则，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得：，则，
可得，则，
两式相减得：，
所以，
因为，则，
原题意等价于关于的不等式恒成立，可得，
构建，
令，则，解得或3，
则，即当或时，取到最大值，
可得，所以实数的取值范围.
1．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知为数列的前项和，且为正项等比数列，，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，且数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
2．（2024·云南曲靖·统考一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
3．（2024·全国·模拟预测）设，分别为数列，的前n项和，且．
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，，设m为整数，且对任意的，恒成立，求m的最小值．
4．（2023·浙江·统考一模）已知等差数列满足.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
技法04 数列与三角函数综合
数列、三角是高中数学的重要内容，从本质上看它们是特殊的函数，都具有函数的某些性质。数列也可和三角函数综合考查，需强化复习
例4．（2023·山东济南·一模）已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若数列满足，则
【详解】A选项，，故，
由基本不等式可得，故，当且仅当时，等号成立，
故，A正确；
B选项，由柯西不等式得
，
当且仅当时，等号成立，
故，
，故，当且仅当时，等号成立，
故，
依次类推，可得，当且仅当等号成立，
故
，B错误；
C选项，设，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，故在上恒成立，
，C正确；
D选项，，
，
故，D正确.
故选：ACD
【点睛】常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
1．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
2．（2023·全国·模拟预测）设正项数列满足，，．数列满足，其中，．已知如下结论：当时，．
(1)求的通项公式．
(2)证明：．
3．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，，且．若则称a与b关于模m同余，记作（mdm）（“|”为整除符号）．
(1)解同余方程（md3）；
(2)设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若（），数列的前n项和为，求；
②若（），求数列的前n项和．