【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型03 “奇函数 常函数”的最大值 最小值及f(a) f(-a)解题技巧

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在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则最大值+最小值可秒解.
知识迁移
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有
即倍常数
（1）与指数函数相关的奇函数和偶函数
，（，且）为偶函数，
，（，且）为奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
和，（，且）为其定义域上的奇函数
为偶函数
（2）与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（且）为奇函数，
，（且）为奇函数
例1-1．（2023上·江苏·高三模拟）已知分别是函数++1的最大值、最小值，则
倍常数=2
例1-2．．（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，的最大值为M，最小值为m，则 .
【法一】倍常数=14
【法二】
例1-3．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数，，记的最大值为，最小值为，则 .
【法一】倍常数=4
【法二】
1．（2023下·湖南校考）已知函数在区间上的最大值为最小值为，则 .
2．（2023上·重庆校考）函数，当时的最大值为M，最小值为N，则 ．
3．（2023上·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考阶段练习）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ．
4．（2023上·山东统考期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
5．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
6．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
7．（2015上·宁夏银川·高三阶段练习）已知分别是函数的最大值、最小值，则 ．
8．（2022上·辽宁·联考）已知函数，若存在正实数a，使得函数在区间有最大值及最小值m，则 .
9．（2023下·黑龙江校考）已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为 ．
10．（2023上·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则 .
11．（2023上·安徽·高三校联考）函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
12．（2023下·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知函数，的最大值为，最小值为，则 .
技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧
在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数的奇偶性，则f(a)+f(-a)可秒解.
知识迁移
在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有
即倍常数
例2-1．（全国·高考真题）已知函数，，则 ．
在定义域内为奇函数
所以倍常数=2，解得
【答案】－2
例2-2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则 ．
，和在定义域内为奇函数
所以2倍常数=-2
【答案】－2
1．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则 ．
2．（2023·四川模拟）已知，若，则 .
3．（2022·上海·高三校考）若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ．
4．（2022·青海·统考模拟预测）已知函数，若，则 ．
5．（2023上·上海·交大附中校考）设（其中a､b､c为常数，），若.则 .
6．（2023·四川达州·统考一模）函数，且，则的值为 .