【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型02 函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

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技法01 函数单调性的应用及解题技巧
在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.
知识迁移
同一定义域内
①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘
③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗
⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数）
复合函数的单调性
例1．（2020·全国·统考高考真题）设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是偶函数，且在单调递减
在定义域内是增函数，在定义域内是减函数，
所以在单调递增
【答案】A
1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数且是增函数B．是偶函数且是减函数
C．是奇函数且是增函数D．是奇函数且是减函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.
【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，
因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.
故选：C
2．（2021·内蒙古包头·统考一模）设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】C
【分析】首先确定定义域关于原点对称，又有，可知为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定时，单调递减，由对称性可知时，单调递增，由此得到结果.
【详解】由得：，定义域为；
又，
为定义域内的偶函数，可排除BD；
当时，，
在上单调递减，单调递增，在上单调递减，可排除A；
为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据的范围得到的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.
3．（2023·全国·模拟预测）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.
【详解】由得，
所以函数的定义域为
令，则是单调递减函数
又，在上单调递增，在上单调递减
由复合函数的单调性可得函数的单调递减区间为.
故选：A.
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.
技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.
知识迁移
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：，图象关于原点对称，偶函数：，图象关于轴对称
③奇偶性的运算
例2．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
由题知为偶函数，定义域为，
【法一】奇偶性的运算
只需即可
【法二】寻找必要条件（特值法）
所以，即，
则，故
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
5．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
技法03 函数周期性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.
知识迁移
①若，则的周期为：
②若，则的周期为：
③若，则的周期为：（周期扩倍问题）
④若，则的周期为：（周期扩倍问题）
例3．（全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则
A．B．C．D．
因为是定义域为的奇函数，所以，即，所以周期为4
【答案】C
1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．B．0C．3D．6
【答案】A
【分析】由函数为奇函数可得，，再根据求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，
因为，所以，则，
所以，
所以是以为周期的一个周期函数，
所以
.
故选：A．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
3．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【分析】利用赋值法依次求得，再利用赋值法推得的周期为12，从而利用函数的周期性即可得解.
【详解】因为，
令，有，则或．
若，则令，，
有，得，与已知矛盾，所以．
令，有，
则，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，
所以的周期为12．
又因为，
所以．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法推得的周期性，从而得解.
技法04 函数对称性的应用及解题技巧
纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.
知识迁移
轴对称
①若，则的对称轴为
②若，则的对称轴为
点对称
①若，则的对称中心为
②若，则的对称中心为
例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是
A．B．C．D．
【法一】函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．
故选项B正确
【法二】关于x=1对称即，即
【答案】B
例4-2．（2016·全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则
A．0B．C．D．
【详解】[方法一]：直接法.
由得关于对称，
而也关于对称，
∴对于每一组对称点，
∴，故选B．
[方法二]：特值法.
由得
不妨设因为，与函数的交点为
∴当时，，故选B．
[方法三]：构造法.
设，则，故为奇函数.
设，则，故为奇函数.
∴对于每一组对称点.
将，代入，即得
∴，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数和的图象都关于对称,
所以两函数的交点也关于对称,
对于每一组对称点和，都有.
从而.故选B.
【答案】B
例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
【答案】D
1．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线与曲线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，由和可确定两曲线均关于中心对称；利用导数可求得单调性和极值，结合的单调性可确定两曲线在上的图象，由此可确定交点个数，结合对称性可求得结果.
【详解】令，
则，
，
，关于中心对称；
，关于中心对称；
，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，极大值为；
当时，单调递减，且，
当时，；
作出与在时的图象如下图所示，
由图象可知：与在上有且仅有两个不同的交点，
由对称性可知：与在上有且仅有两个不同的交点，
.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据函数的解析式，确定两函数关于同一对称中心对称，结合两函数图象确定交点个数后，即可根据对称性求得交点横纵坐标之和.
2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足对任意实数有，若的图象关于直线对称，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】由题意，从而是周期函数，又的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，由，从而即可求解.
【详解】因为，所以，
从而可得，所以，所以函数的一个周期为6．
因为的图象关于直线对称，
所以， 即函数的图象关于直线对称．
又，，
所以，所以，
所以．由于23除以6余5，
所以．
故选：C．
【点睛】易错点点睛：对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型，涉及奇偶性（图象的对称性）时处理方法有：①利用奇偶性（图象的对称性）直接替换题中对应的变量；②类比三角函数；③引入新函数，如令，则．本题中，的图象关于直线对称，令，则，从而，即，函数的图象关于直线对称，不能误认为函数的图象关于直线对称．
3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．的图象关于点中心对称
C．的所有零点为
D．是以为周期的函数
【答案】AC
【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角公式运算求解；对于D：举例说明即可.
【详解】对于A：因为，
所以的图象关于直线轴对称，故A正确；
对于B：因为，，所以的图象不关于点中心对称，B错误.
对于C：因为，
注意到，
令，得，即，
故的所有零点为，故C正确；
对于D：因为，所以不是的周期，故D错误；
故选：AC.
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．是函数的一个周期
C．函数的图象关于直线对称D．当时，的最小值为1
【答案】ABD
【分析】由函数奇偶性的定义即可判断A项，运用周期定义即可判断B项，结合A项、B项即可判断C项，运用完全平方公式、二倍角公式化简函数，结合换元法即可求得函数的最小值进而可判断D项.
【详解】对于A项，因为，
所以函数的定义域为，
又，所以是奇函数，其图象关于原点对称，故A项正确；
对于B项，，所以是函数的一个周期，故B项正确；
对于C项，由B项知，由A项知，
所以，所以的图象关于点对称，故C项错误；
对于D项，，
令，
又，则，所以，即，
所以，（），
又在上单调递减，
所以当时，取得最小值为，故D项正确.
故选：ABD.
技法05 函数4大性质的综合应用及解题技巧
纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算，则可提升解题速度，做到快速求解.
知识迁移
周期性对称性综合问题
①若，，其中，则的周期为：
②若，，其中，则的周期为：
③若，，其中，则的周期为：
奇偶性对称性综合问题
①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为：
②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为：
例5．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
【答案】B
1．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（ ）
A．B．0C．2D．2024
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性以及对称性即可得函数周期性，进而可求解.
【详解】由为奇函数，为偶函数，可知函数的图像关于点中心对称，且关于直线轴对称，
故，
所以函数是周期为4的函数，由．得，
所以．
故选：A
【点睛】方法点睛：（1）若函数的图像同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且．
（2）若函数的图像同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且．
（3）若函数的图像既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且．
3．（2023·全国·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则 ．
【答案】5
【分析】根据函数奇偶性的性质分析得出该函数的对称性，借助双对称性的周期将求转换为求即可得.
【详解】由为奇函数，
可得，
则的图象关于点对称，
又的定义域为，则有．
由为偶函数得，
则的图象关于直线对称，
则，
从而，则，
则，
故是周期为4的偶函数，所以．
而，
所以，，故.
故答案为：5.
4．（2023·浙江·统考一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
【答案】
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，根据题中条件求出的值，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.