【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型22 5类圆锥曲线解题技巧（焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解定理-万能公式)）

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技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧
技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧
技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧
技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧
圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习
知识迁移
椭圆焦点三角形主要结论
在ΔPF1F2 中,记 ∠F1PF2=θ, 椭圆定义可知:
(1). PF1+PF2=2a,F1F2=2c.
(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.
(3) PF1∥PF2=2b21+csθ.
(4). 焦点三角形的而积为: S=12PF1∥PF2sinθ=b2tanθ2.
双曲线焦点三角形主要结论
如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 记 ∠F1PF2=θ, 则 △PF1F2的面积S=b2tanθ2
例1-1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【法一】因为，所以，从而，所以．
【法二】因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
例1-2．（全国·高考真题）设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A．B．2C．D．1
【法一】 △PF1F2的面积S=b2tanθ2=1
【法二】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.
故选：D
1．（上海·高考真题）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= .
2．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
3．（全国·高考真题）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A．2B．4C．6D．8
4．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24B．C．D．30
技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧
阿基米德三角形问题及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.
知识迁移
椭圆中的阿基米德三角形
设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的弦为 AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕着定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的弦为 AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
性质 1: 弦 AB 绕者定点 Pm,0 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x=a2m 上.
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 kPQ=kAQ+kBQ.
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 Cca,−bpa.
底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a38p.
若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
AF⋅BF=QF2.
抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍
例2．（2022·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，又常被称作阿基米德三角形．的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
设，，由题意可得直线AB的斜率不为0,
因为直线AB过焦点，所以设直线AB的方程；
联立得，所以，
由抛物线的性质可得过点，的抛物线的切线方程为：，
联立得，，即.点到直线的距离，
当且仅当时取到最小值.故选：C.
1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）（多选）若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为
B．直线恒过定点
C．的最小值为0
D．当最小时，直线的方程为
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到原点的距离等于直线的斜率.
（1）求抛物线C的方程及准线方程；
（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.
3．（2023·全国·高三专题练习）抛物级的焦点到直线的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线交抛物线于，两点，分别过，两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为，求证： .
技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧
圆锥曲线的焦点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.
知识迁移
椭圆的斜率式焦点弦长公式
(1)为椭圆的左、右焦点，过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点，则
(2)为椭圆的下、上焦点，过(或斜率为的直线与椭圆交于两点，则
双曲线的斜率式焦点弦长公式
(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两点，则
(1)A，B在同支弦，AB=2ab21+k2a2k2−b2
(2)A，B在异支弦，AB=2ab21+k2b2−a2k2
综合(1)(2)可统一为:AB=2ab21+k2a2k2−b2
(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两点，则
(1)A，B在同支弦，AB=2ab21+k2a2−b2k2
(2)A，B在异支弦，AB=2ab21+k2b2k2−a2
综合(1)(2)可统一为:AB=2ab21+k2a2−b2k2
椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
(1)F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2cs2θ=2ep1−e2cs2θ
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=a2c−c=b2c
(2)F1,F2为椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2sin2θ=2ep1−e2sin2θ
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p=a2c−c=b2c
特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长AB=2ep=2b2a.
双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
(1)F1，F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2cs2θ=2ep1−e2cs2θ
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=a2c−c=b2c
(2)F1，F2为双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上、下焦点，过F1倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B两点，则AB=2ab2a2−c2sin2θ=2ep1−e2sin2θ
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p=a2c−c=b2c
特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长AB=2ep=2b2a.
抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
(1) 焦点在 x 轴上, AB=2psin2θ
(2) 焦点在 y 轴上, AB=2pcs2θ
例3-1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为直线，交双曲线于两点，求弦长．
由双曲线得，又所以．
例3-2．（山东·统考高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ．
【法一】先求出倾斜角，代入AB=2psin2θ求解即可
【法二】解得
所以
【法三】
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
1．（全国·高考真题）已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
3．（2023·北京·人大附中校考三模）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧
圆锥曲线的中点弦及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.
知识迁移
椭圆中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为椭圆 y2a2+x2b2=1(a>b>0) 弦 AB 的中点, 有
kAB.kOM=−a2b2=1e2−1
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=b2a2=e2−1
(2) 若 Mx0,y0 为双曲线 y2a2−x2b2=1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
kAB⋅kOM=a2b2=1e2−1
3. 抛物线的中点弦斜率公式
(1) 若 Mx0,y0 为抛物线 y2=2px 弦 AB(AB 不平行 y 轴 ) 的中点, 则 kAB= py0
(2) 若 Mx0,y0 为抛物线 x2=2py 弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则 kAB=x0p
4. 中点弦斜率拓展
在椭圆 x2a2+y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=−b2x0a2y0;
在双曲线 x2a2−y2b2=1 中, 以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=b2x0a2y0;
在抛物线 y2=2pxp>0 中，以 Px0,y0 为中点的弦所在直线的斜率 k=py0
5. 椭圆其他斜率形式拓展
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
点差法妙解中点弦问题
若设直线与圆锥曲线的交点 ( 弦的端点 ) 坐标为 Ax1,y1、Bx2,y2,
将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差, 得到一个与弦 AB的中点和斜率有关的式子, 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
（1） 设点: 若 Ax1,y1,Bx2,y2 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上不重合的两点,则
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1
（2） 作差: 两式相减得 x1+x2x1−x2a2+y1+y2y1−y2b2=0,
（3）表斜率: y1−y2x1−x2 是直线 AB 的斜率 k,x1+x22,y1+y22 是线段 AB 的中点 x0,y0,
化简可得 y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−b2a2⇒y0x0⋅k=−b2a2, 此种方法为点差法。
例4．（全国·高考真题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【法一】kAB.kOM=−b2a2，解得b2a2=12，因为c=3，所以.
【法二】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
1．（重庆·高考真题）直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为 ．
2．（江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
4．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
5．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，点在上
（1）求的方程
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧
圆锥曲线的弦长万能公式（硬解定理）及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习.
知识迁移
弦长公式
若直线与圆雉曲线相交于两点，则弦长
圆锥曲线弦长万能公式（硬解定理）
设直线方程为: y=kx+b (特殊情况要对 k 进行讨论),
圆锥曲线的方程为: fx,y=0, 把直线方程代入曲线方程,
可化为 ax2+bx+c=0a≠0或ay2+by+c=0,a≠0,
设直线和曲线的两交点为 Ax1,y1,Bx2,y2, 求根公式为
x=−b±b2−4ac2a
(1) 若消去 y, 得ax2+bx+c=0a≠0
则弦长公式为:
AB=x1−x22+y1−y22=1+k2⋅x1−x2=1+k2⋅−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a=1+k2Δa
(2) 若消去 x,得ay2+by+c=0a≠0
则弦长公式为:
AB=x1−x22+y1−y22=1+1k2⋅y1−y2=1+1k2⋅−b+b2−4ac2a−−b−b2−4ac2a=1+1k2Δa
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【法一】硬解定理直接计算即可
【法二】由椭圆得，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，
设，
联立，消y得，，
则，
所以.
1．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知椭圆E：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
2．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.