2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.7抛物线及其方程2.7.1抛物线的标准方程课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．7.1　抛物线的标准方程 1．抛物线C：y2＝mx过点(－2， eq \r(3))，则抛物线C的准线方程为(　　) A．x＝ eq \f(3,8) B．x＝－ eq \f(3,8) C．y＝ eq \f(3,8) D．y＝－ eq \f(3,8) 2．已知抛物线C：x2＝ay(a≠0)的准线方程为y＝－2，则抛物线C的焦点坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(0，4) D．(0，－4) 3．已知抛物线的焦点在x轴上，且抛物线上一点(－2，m)到焦点的距离为4，那么抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 4．(多选)对于抛物线 eq \f(1,8)x2＝y，下列描述正确的是(　　) A．焦点为(0，2) B．焦点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为y＝－4 5．已知抛物线y2＝4x，P是抛物线上一点，F为焦点，若|PF|＝5，则抛物线的准线方程是________，点P的坐标是________． 6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p＝________．　 7．若抛物线y2＝16x上的点M到焦点的距离为12，则它到y轴的距离是(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 8．(多选)平面内到定点F(0，1)和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则(　　) A．曲线C的方程为x2＝4y B．曲线C关于y轴对称 C．当点P(x，y)在曲线C上时，y≥2 D．当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 9．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，其准线过(－3，3)，过焦点F倾斜角为 eq \f(π,6)的直线交抛物线于A，B两点，则p＝________，弦AB的长为________． 10．一个动圆与定圆F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且与直线l：x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝12x 11．在平面直角坐标系中，已知点M(2，0)，点B为直线l：x＝－2上的动点，点A在线段MB的垂直平分线上，且AB⊥l，则动点A的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．x2＝8y D．x2＝4y 12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求抛物线和双曲线的方程． 13．若B点的坐标为(3，2)，F是抛物线y2＝6x的焦点，点P为抛物线上的动点，则|PF|＋|PB|取得最小值时P的坐标为(　　) A．(0，0) B．( eq \f(2,3)，2) C．(1， eq \r(2)) D．(2，2) 14．已知抛物线y2＝4x上有一条长为6的动弦AB，求弦AB的中点到y轴的最短距离． 2．7.1　抛物线的标准方程 必备知识基础练 1．答案：A 解析：由于抛物线C：y2＝mx过点(－2，eq \r(3))， 所以3＝－2m，m＝－eq \f(3,2)， 所以抛物线方程为y2＝－eq \f(3,2)x，p＝eq \f(3,4)，eq \f(p,2)＝eq \f(3,8)， 所以抛物线的直线方程为x＝eq \f(3,8).故选A. 2．答案：B 解析：因为抛物线C：x2＝ay的准线方程为y＝－2， 所以抛物线的焦点在y轴正半轴上，即抛物线C的焦点坐标为(0，2).故选B. 3．答案：B 解析：因为抛物线的焦点在x轴上，且点(－2，m)在抛物线上，所以设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，因为点(－2，m)到焦点的距离为4，所以eq \f(p,2)－(－2)＝4，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选B. 4．答案：AC 解析：由抛物线eq \f(1,8)x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线的焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选AC. 5．答案：x＝－1　(4，4)或(4，－4) 解析：因为抛物线方程为y2＝4x， 所以抛物线的准线方程是x＝－1. 设P(x，y)，因为|PF|＝5，所以x＋1＝5， 解得x＝4，y＝±4，所以点P的坐标是(4，4)或(4，－4). 6．答案：2 解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，它与圆相切，所以必有3－(－eq \f(p,2))＝4，p＝2. 关键能力综合练 7．答案：B 解析：由抛物线的方程可得准线方程为x＝－4，设点M的横坐标为x0，由抛物线的性质可得x0＋4＝12，所以x0＝8，所以点M到y轴的距离为8.故选B. 8．答案：AB 解析：由抛物线的定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确； 若点(x，y)在曲线C上，则点(－x，y)也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确； 由x2＝4y知y≥0，故C错误； 点P到直线l的距离d≥1，故D错误．故选AB. 9．答案：6　48 解析：由y2＝2px(p>0)知准线方程为x＝－eq \f(p,2)，又准线过(－3，3)，可得－eq \f(p,2)＝－3，p＝6；焦点坐标为(3，0)，故直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－3)，和抛物线方程联立，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)（x－3）,y2＝12x))，得x2－42x＋9＝0，故x1＋x2＝42，又|AB|＝x1＋x2＋p＝48. 10．答案：D 解析：定圆F：(x－3)2＋y2＝4的圆心F(3，0)，半径为2， 设动圆圆心P点坐标为(x，y)，动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线x＝－1的距离，即r， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，|PF|－2＝r，d＝r，所以eq \r(（x－3）2＋y2)－2＝x＋1，化简得y2＝12x． ∴动圆圆心轨迹方程为y2＝12x.故选D. 11．答案：A 解析：由题意|AB|＝|AM|，AB⊥l，所以A点轨迹是以M为焦点，直线l为准线的抛物线，由eq \f(p,2)＝2得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.故选A. 12．解析：因为抛物线与双曲线的交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))代入方程得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. 抛物线的准线方程为x＝－1，由此知道双曲线方程中c＝1，焦点为(－1，0)，(1，0)，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))到两焦点距离之差的绝对值为2a＝1，b2＝c2－a2＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，所以双曲线的标准方程为eq \f(x2,\f(1,4))－eq \f(y2,\f(3,4))＝1. 核心素养升级练 13．答案：B 解析：设抛物线y2＝6x的准线方程为l：x＝－eq \f(3,2)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，过P作PA⊥l，垂足为A，所以|PF|＋|PB|＝|PA|＋|PB|，要想|PF|＋|PB|取得最小值，只需P，A，B在一条直线上即可，此时22＝6x⇒x＝eq \f(2,3)，P的坐标为(eq \f(2,3)，2).故选B. 14．解析：设弦AB的中点为M，抛物线的准线为x＝－1，焦点F(1，0)，过M作准线的垂线MN， 作AC垂直准线于点C，BD垂直准线于点D(图略)， 则|MN|＝eq \f(|AC|＋|BD|,2)， 由抛物线的性质得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|， 所以|MN|＝eq \f(|AF|＋|BF|,2)，|AF|＋|BF|≥|AB|， 当动弦AB过F点时，满足|AF|＋|BF|＝|AB|， 所以|MN|≥eq \f(|AB|,2)， 又|AB|＝6，所以|MN|≥3， 设M到y轴的距离为d， 显然有d＝|MN|－1， 所以d≥2， 即弦AB的中点到y轴的最短距离为2.