2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．2.4 点到直线的距离． 1．点(1，1)到直线x－y－1＝0的距离是( ) A． B． C．1 D． 2．已知点P(－2，3)，点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( ) A． B． C．2 D．3 3．已知直线l1：x－y＋1＝0和直线l2：x－y＋3＝0，则l1与l2之间的距离是( ) A． B． C．2 D．2 4．(多选)已知点(－2，1)到直线ax＋(a－2)y＋5＝0的距离为，则实数a的值可以为( ) A．3 B．1 C．－ D．－1 5．两平行直线x＋2y－1＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为( ) A． B． C． D． 6．已知直线l过点(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为________________． 7．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴，y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：3x＋3y－1＝0间的距离为( ) A． B． C．或 D．0或 8．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( ) A． B．－ C．－或－ D．－或 9．(多选)点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( ) A．(8，0) B．(－12，0) C．(－8，0) D．(12，0) 10．设m∈R，直线x＋my＋1＝0恒过定点A，则点A到直线mx－y－2m＋2＝0的距离的最大值为( ) A．1 B． C． D． 11．已知点P(1，2)，向量m＝(－，1)，过点P作以向量m为方向向量的直线l，则点A(3，1)到直线l的距离为( ) A．－1 B．1－ C．2＋ D．2－ 12．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S. 13．已知m∈R，A(3，2)，直线l：mx＋y＋3＝0，点A到直线l的最大距离为________，若两点A(3，2)和B(－1，4)到直线l的距离相等，则实数m等于________． 14．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大． 2．2.4　点到直线的距离 必备知识基础练 1．答案：B 解析：由点到直线距离公式得d＝eq \f(|1－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).故选B. 2．答案：B 解析：由题意，|PQ|的最小值为点P(－2，3)到直线l：3x＋4y＋3＝0的距离d＝eq \f(|3×（－2）＋4×3＋3|,\r(32＋42))＝eq \f(9,5).故选B. 3．答案：A 解析：由平行线间的距离公式得d＝eq \f(|1－3|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2).故选A. 4．答案：BC 解析：根据题意，得eq \f(|－2a＋（a－2）＋5|,\r(a2＋（a－2）2))＝eq \r(2)，即3a2－2a－1＝0，解得a＝1或a＝－eq \f(1,3).故选BC. 5．答案：B 解析：直线x＋2y－1＝0化为2x＋4y－2＝0，于是得d＝eq \f(|－2－3|,\r(42＋22))＝eq \f(5,2\r(5))＝eq \f(\r(5),2)，所以两平行直线x＋2y－1＝0与2x＋4y＋3＝0间的距离为eq \f(\r(5),2).故选B. 6．答案：x＝1或3x－4y＋5＝0 解析：当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x＝1，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，化为kx－y＋2－k＝0. 由题意可得eq \f(|2－k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝eq \f(3,4)， 所以直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)(x－1)， 化为3x－4y＋5＝0. 综上可得，直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0. 关键能力综合练 7．答案：A 解析：因为直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴，y轴上的截距相等，所以eq \f(m＋4,m)＝eq \f(m＋4,2)，解得m＝2或m＝－4(舍去).所以直线l1：x＋y－3＝0，即3x＋3y－9＝0.则直线l1与直线l2：3x＋3y－1＝0间的距离为eq \f(|－1－（－9）|,\r(9＋9))＝eq \f(4\r(2),3).故选A. 8．答案：C 解析：由点到直线的距离公式可得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3)． 9．答案：AB 解析：设点P的坐标为(a，0)，则根据点到直线的距离公式可得eq \f(|3a－4×0＋6|,\r(32＋（－4）2))＝6，解得a＝8或a＝－12.所以点P的坐标为(8，0)或(－12，0).故选AB. 10．答案：D 解析：x＋my＋1＝0恒过定点A(－1，0)，直线mx－y－2m＋2＝0变形为y－2＝m(x－2)，恒过点B(2，2)，所以点A(－1，0)到直线mx－y－2m＋2＝0的距离最大值即为|AB|的长，其中|AB|＝eq \r(（2＋1）2＋22)＝eq \r(13).故选D. 11．答案：B 解析：以向量m＝(－eq \r(3)，1)为方向向量的直线l的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，则过点P的直线l的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)(x－1)＋2，即x＋eq \r(3)y－1－2eq \r(3)＝0， 则点A(3，1)到直线l的距离d＝eq \f(|3＋\r(3)－1－2\r(3)|,\r(1＋3))＝1－eq \f(\r(3),2).故选B. 12．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq \f(y－0,2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0. 由两点间距离公式得|BC|＝eq \r(（－3－1）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5).设点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d＝eq \f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(4\r(5),5)， 所以S＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4， 即△ABC的面积为4. 核心素养升级练 13．答案：eq \r(34)　eq \f(1,2)或－6 解析：因为直线l：mx＋y＋3＝0恒过定点(0，－3)， 所以点A(3，2)到直线l的最大距离为eq \r(32＋52)＝eq \r(34)； 因为两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等， 所以eq \f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋1))＝eq \f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋1))， 解得m＝eq \f(1,2)或m＝－6. 14．解析：如图所示，设点B关于直线l的对称点B′的坐标为(a，b)， 则kBB′·kl＝－1， 即3·eq \f(b－4,a)＝－1. 所以a＋3b－12＝0.　① 又由于线段BB′的中点坐标为(eq \f(a,2)，eq \f(b＋4,2))，且在直线l上， 所以3×eq \f(a,2)－eq \f(b＋4,2)－1＝0. 即3a－b－6＝0，　② 解①②得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)， 于是AB′的方程为eq \f(y－1,3－1)＝eq \f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0. 所以由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5.)) 即直线l与AB′的交点坐标为(2，5). 所以点P(2，5)为所求．