人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后作业题

3.2函数的基本性质

一．选择题（共5小题）

1．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为　　

A． B．2 C． D．4

2．已知函数，若对任意，存在，使得，则的最大值为　　

A． B． C． D．

3．已知函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　

A．与无关，且与无关 B．与无关，且与有关 

C．与有关，但与无关 D．与有关，且与有关

4．下列四个函数，对任意两个不相等的实数，．都有的是　　

A． B． 

C． D．

5．已知函数满足，则的最大值是　　

A．4 B． C．2 D．

二．填空题（共3小题）

6．已知，，且，则的最小值是　　．

7．已知二次函数在，上有零点，且，则，，的最大值是　　；，，的最小值是　　．

8．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为　　．

三．解答题（共3小题）

9．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为．

（1）求的值域；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围；

（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）

10．设函数，，，，．

（Ⅰ）讨论函数在上的奇偶性；

（Ⅱ）设，若的最大值为，求的取值范围．

11．已知函数是定义域上的奇函数，且．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若对都有，求实数的取值范围．

                       3.2函数的基本性质

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知实数，，，满足，，，，则的最大值为　　

A． B．2 C． D．4

【分析】由题意可设，，，，且，，在单位圆上，所求最大值可看做是，到直线的距离的和的最大值．运用数形结合可得所求最大值．

【解答】解：由，，，

可设，，，，且，

可得，在单位圆上，

．

所求最大值可看做是，到直线的距离的和的最大值，

且可得，在直线的下方，

取的中点，过，，点分别作直线的垂线，垂足分别为，，，

为梯形 的中位线，，

，，到直线的距离为，

，，

的最大值为．

故选：．

【点评】本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合直线和圆的知识，运用三角换元和诱导公式、三角函数的值域是迅速解题的关键，属于难题．

2．已知函数，若对任意，存在，使得，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】求得的导数，由题意可得的值域是的值域的子集．由可得的值域，构造，求导可得函数的单调性，可得的最大值，解不等式可得所求的最大值．

【解答】解：由，得，

对任意，存在，使得，

当时，等式成立；

当时，则，

转化为的值域是的值域的子集．

的值域为，，可得的值域也为，，

由，

设，，

由，可得在，，上递增，在，递减，

则，

从而，

由，解得，

故的最大值为．

故选：．

【点评】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题．

3．已知函数在区间，上的最大值是，最小值是，则　　

A．与无关，且与无关 B．与无关，且与有关 

C．与有关，但与无关 D．与有关，且与有关

【分析】，利用二次函数的性质及函数图象的变换性质即可得解．

【解答】解：，

令，则，其对称轴为，

显然最值与有关，且与有关，

又相当于向上或向下移动个单位，则最大值与最小值的差值不会随的变化而变化，

故选：．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查函数图象变换法则的运用，考查运算求解能力及逻辑分析能力，属于中档题．

4．下列四个函数，对任意两个不相等的实数，．都有的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由题意确定，函数上任意取一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，然后依次判断四个选项中的函数是否满足该条件，即可得到答案

【解答】解：由题意，对任意两个不相等的实数，，都有，

则函数上任意取一点，函数图象上有其它两点关于该点对称．

对于，函数，当，时，不满足，故选项错误；

对于，函数为偶函数，

所以函数上不存在一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，

故选项错误；

对于，，其图象是一条直线，

所以函数上任意一点，函数图象上有其它两点关于该点对称，

故选项正确；

对于，，其图象是单调递增的一条曲线，

所以函数上不存在一点，使得函数图象上其它两点关于该点对称，

故选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．

5．已知函数满足，则的最大值是　　

A．4 B． C．2 D．

【分析】先将已知的等式变形为，令，则有，从而得到，则有（1），，再利用（1），结合不等式求解最值即可．

【解答】解：，

，

令，则有，

故①，

②，

②①可得，，故（1），．

（1），

即，

由，

即，

故，当且仅当时取等号，

的最大值为．

故选：．

【点评】本题考查了函数最值的求解，解题的关键是将已知的等式进行变形，将转化为（1），将转化为，涉及了基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

二．填空题（共3小题）

6．已知，，且，则的最小值是　　．

【分析】直接利用柯西不等式及不等式的可加性求解．

【解答】解：，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

又，

，当且仅当，时等号成立．

故答案为：．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、数形结合的解题思想，属难题．

7．已知二次函数在，上有零点，且，则，，的最大值是　　；，，的最小值是　　．

【分析】设，，，，然后分，，，，，讨论，再验证得解，，的最大值；显然，分，，及，，塔伦，再验证得解，，的最小值．

【解答】解：设，，，，

若，，，则，矛盾；

若，，，则，则，于是，解得，

此时取，此时函数的零点为，满足条件，故，，的最大值是；

依题意，，

①若，，同理可得），则，于是，，

又，则，，于是，故，，的最小值为；

②若，，，假设，则，于是，而，

所以，于是（不妨设，

所以，而矛盾，故，此时，零点为，满足条件．

故答案为：，．

【点评】本题考查二次函数的零点问题，考查分类讨论思想及转化思想，属于难题．

8．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为　　．

【分析】记，、，，由题意，知、位于单位圆上，再由已知求出的大小，把看作到直线的距离与到该直线距离的2倍，然后构造直角梯形求解．

【解答】解：记，、，，由题意，知、位于单位圆上，

由，得，

得

则、分别表示、到

直线的距离、，

于是，，

分别取、靠近、的三等分点为、，联结，

过点作的垂线，交、于、，

则，

在中，应用余弦定理，可得，

，又到直线的距离，

，

从而，．

即的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查由向量求夹角、点到直线距离的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，难度较大．

三．解答题（共3小题）

9．已知函数与函数函数的图象关于直线对称，函数的定义域为．

（1）求的值域；

（2）若存在，使得成立，求的取值范围；

（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）

【分析】（1）由已知求得的解析式，可得，再由对数函数的真数大于0求得函数定义域，即可求得函数的值域；

（2）由得，求出函数的最小值，即可求得的取值范围；

（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，再由恒成立列式求得与的值，则答案可求．

【解答】解：（1）函数与函数的图象关于直线对称，

与互为反函数，得，

则．

由，得，故．

又，且，，

的值域为，；

（2），即，则．

存在，使得成立，

．

而，

当，即时，取得最小值．

故；

（3）设的对称中心为，

则函数是奇函数，

即是奇函数，

则恒成立，

恒成立，

当，时，上式对任意实数恒成立，

函数图象的对称中心为．

【点评】本题考查反函数的概念及应用，考查复合函数值域的求法，训练了利用分离参数法求字母的范围，考查函数奇偶性的性质及应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力及推理论证能力，属难题．

10．设函数，，，，．

（Ⅰ）讨论函数在上的奇偶性；

（Ⅱ）设，若的最大值为，求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）当时，可知函数在上为奇函数，当时，举反例说明函数为非奇非偶函数；

（Ⅱ）令，对分类分析的单调性，结合的最大值为求解的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当时，函数为奇函数．

当时，函数，

，（1），

既不是奇函数也不是偶函数；

（Ⅱ）设．

①当时，，在，递减，

，（2），（2），

（2），，解得．

．

②当时，，在递增，在递减，

又，（2），，

（2），（2），

所以（2），又，

，，

又，，同时，，

由在递增，．

综上，当时，；当时，．

【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查函数的单调性与最值的求法，考查分类讨论思想及运算求解能力，属难题．

11．已知函数是定义域上的奇函数，且．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若对都有，求实数的取值范围．

【分析】（Ⅰ）由，（1），可得，的方程，解方程可得所求；

（Ⅱ）结合二次方程实根的分布，可得所求范围；

（Ⅲ）求得的解析式，令，，结合对勾函数的单调性和二次函数的单调性，求得的最值，可得的不等式，解不等式可得所求范围．

【解答】解：（Ⅰ），又是奇函数，

（1），，解得，

，定义域为．

（Ⅱ）方程在上有两个不同的根，

即在上有两个不相等的实数根，

须满足，解得，

即实数的取值范围是．

（Ⅲ）由题意知，

令，则，

由对勾函数的性质可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，

，，

函数的对称轴方程为，函数在，上单调递增，

当时，；当时，，

即，，

又对都有，

，

即，

解得，又，

的取值范围是，．

【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，以及函数零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算求解能力，属于中档题