第04讲 有理数的乘方（3大考点7种解题方法）-2022-2023学年七年级数学上学期考试满分全攻略(人教版）

第04讲 有理数的乘方（3大考点7种解题方法）

一．有理数的乘方

（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．

乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）

（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．

（3）方法指引：

①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；

②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

二．非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性．

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

三．有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．

2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．

3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．

4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．

四．近似数和有效数字

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

五．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

六．科学记数法—表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律

七．科学记数法—原数

（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．

（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．

考点一．有理数的乘方（共3小题）

1．（2022春•莱州市期末）小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为 　   　．

2．（2021秋•南关区期末）（1）请写出所有平方等于本身的数．

（2）请写出一个平方小于本身的数；

（3）请写出两个平方大于本身的数；

（4）已知a≠0且a≠1，比较a与a2的大小．

3．（2022春•广陵区期末）如果实数x，y满足方程组，那么（2x﹣y）2022＝　   　．

考点二．非负数的性质：偶次方（共1小题）

4．（2021秋•任丘市期末）已知（a+1）2与|b﹣2|互为相反数，求（a+b）2019+a99的值．

考点三．有理数的混合运算（共6小题）

5．（2022春•栾城区期末）计算（﹣2）2021+（﹣2）2022等于（　　）

A．﹣24043 B．﹣2 C．﹣22021 D．22021

6．（2022春•杨浦区校级期末）计算：32﹣（﹣2）3＝　   　．

7．（2022春•杨浦区校级期末）x、y表示两个有理数，规定新运算“*”为：x*y＝3x+my，其中m为有理数，已知1*2＝5，则m的值为 　   　．

8．（2022春•杨浦区校级期末）计算：．

9．（2021秋•铁东区期末）计算：．

10．（2021秋•井研县期末）计算：（﹣2）2+3×（﹣1）2021﹣|1﹣5|÷2．

考点四．近似数和有效数字（共2小题）

11．（2022•济宁）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（　　）

A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02

12．（2022•曲阜市一模）将0.3512精确到百分位是（　　）

A．0.35 B．0.351 C．0.4 D．0.350

考点五．科学记数法—表示较大的数（共2小题）

13．（2022•日照）全民免费接种新冠病毒疫苗是党中央、国务院作出的重大决策部署，通过接种疫苗，让更多人获得免疫力，尽早形成人群免疫屏障，截至2022年5月20日，全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗336905万剂次．数据336905万用科学记数法表示为（　　）

A．0.336905×1010 B．3.36905×1010 

C．3.36905×109 D．33.6905×109

14．（2022•北海二模）2022年冬奥会会徽“冬梦”的主题调为蓝色，寓意着梦想与未来以及冰雪的明亮纯洁，据了解此次冬奥会的会徽在网上关键词的收录量约为42700000次，用科学记数法表示为（　　）

A．42.7×106 B．4.27×106 C．4.27×107 D．4.27×105

考点六:乘方的应用规律

15.（2020秋•卢龙县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　）

A． B． C． D．

16.（2021春•松北区期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过 　  　分钟．

17.（2020秋•农安县期中）有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为22×0.1毫米．

（1）对折2次后，厚度为多少毫米？

（2）对折6次后，厚度为多少毫米？

考点七：乘方应用中的新定义问题

18.（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（　　）

A．5 B．2 C．1 D．0

19.（2020秋•驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．

如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：

①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；

②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．

（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：

①62＝36；

②43＝64；

（2）将下列对数式改为指数式：

①log525＝2；

②log327＝3；

（3）计算：log232．

20.（2020秋•宁化县月考）（1）计算下面两组算式：

①（3×5）2与32×52；

②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；

（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．

（4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021的值．

21.（2020秋•聊城期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n个a（a≠0），记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

初步探究：直接写出计算结果：2③＝　　，　   　；

深入思考：

例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）

（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥＝　  　；　  　；

（2）算一算：⑤÷33．

一、单选题

1．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级开学考试）把3450000用科学记数法表示应是（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国七年级课时练习）若，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．

3．（2021·全国七年级课时练习）下列各式，计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2021·全国七年级课时练习）下面的式子很有趣：，…，则（    ）

A．225 B．625 C．115 D．100

5．（2021·安徽合肥38中七年级月考）从权威部门获悉，中国海洋面积是289.7万平方公里，数289.7万用科学记数法表示为（    ）

A．289.7×104 B．2.897×107 C．2.897×106 D．0.2897×107

6．（2021·焦作市实验中学七年级期中）现有以下五个结论：①若a与b互为相反数，则a+b＝0；②倒数等于其本身的数是0和1；③任何数的平方都是正数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为奇数．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

二、填空题

7．（2021·上海市市北初级中学七年级期末）上海市于2011年6月8日宣布撤销黄浦区、卢湾区建制，设立新的黄浦区，新黄浦区全区户籍人口约有906300人，把这个人口数用科学记数法来表示为________．

8．（2021·重庆实验外国语学校七年级期中）新疆有三宝，“石油煤炭两黑宝，棉花遍野品质高”，2020年，新疆棉花总产量达5161000吨，占全国棉花总产量的87.3%，数据5161000用科学记数法可表示为_______．

9．（2021·全国七年级课时练习）有理数中，非负整数的个数是________．

10．（2021·云南昆明市·）下列各数﹣0.2，|﹣2|，﹣（﹣2），﹣（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数有_____个．

11．（2021·广东深圳市·）若，那么的值是______．

12．（2021·江苏宿迁市·七年级期中）定义新运算“⊗”，规定α⊗β＝α﹣αβ，则﹣2⊗3＝___．

13．（2021·山东潍坊市·七年级期中）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n=__________．

14．（2021·陕西西安市·七年级期中）大于的最小整数是__________．

15．（2021·江苏七年级专题练习）对于（﹣2）3，指数是_____，底数是______，（﹣2）3＝______；对于﹣42，指数是_____，底数是_____，幂是 _____．

16．（2021·贵州铜仁市·七年级期末）已知，则______．

17．（2021·全国七年级课时练习）已知，则a是大于的整数，b是大于的分数，则的结果为______．

18．（2021·焦作市实验中学七年级期中）人民日报社客户端推送的一则微博“我们14亿人都是护旗手”，被全国网民大量转发．请用科学记数法表示14亿为_____．

19．（2021·焦作市实验中学七年级期中）对正有理数a、b，定义运算※如下：a※b＝2a+3b﹣1，则3※（2※1）＝_____．

三、解答题

20．（2021·吉林四平市·七年级期末）计算：．

21．（2021·广东七年级期中）计算∶ -32 ÷（-2）2-|-1|×6+（-2）3

22．（2021·河北承德市·七年级期末）（1）计算：．

（2）计算：．

23．（2021·常州市同济中学七年级期中）我们已经知道一个数的绝对值是表示这个数的点与原点的距离，对一个数a取绝对值也可以看作是一种运算|a|，当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．

类似地，我们规定一种运算sg（a），当a＞0时，sg（a）＝1；当a＝0时，sg（a）＝0；当a＜0时，sg（a）＝﹣1．

例如，sg（+3）＝1，sg（﹣5）＝﹣1．

（1）填空：sg（﹣32）＝　   　；

（2）如图，数轴上点A、B表示的数分别为﹣2和3，点P在数轴上移动，点P表示的数为x，

①当点P在线段AB上时，＝　   　；

②的值是否能等于0，如果能等于0，指出点P在数轴上的位置；如果不能，请说明理由．