初中数学人教版七年级上册1.5 有理数的乘方综合与测试导学案

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第1章 有理数
1.5 有理数的乘方
学习要求
1、理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算，并体会乘方结果的变化．
2、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法．
3、掌握有理数混合运算的法则、顺序和运算律，能熟练、合理地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合的运算．
4、进一步巩固有理数的混合运算，在运算中使用简单推理，提高运算能力．

知识点一：有理数乘方的意义
例1．对乘积（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）记法正确的是（　　）
A．﹣34 B．（﹣3）4 C．﹣（+3）4 D．﹣（﹣3）4
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据乘方的意义，可知四个（﹣3）相乘，可记为（﹣3）4．
【解答】解：（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）=（﹣3）4．
故选B．
【点评】本题考查有理数乘方的意义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方．

变式1．（﹣3）2的值是（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据乘方的性质即可求解．
【解答】解：（﹣3）2=9．
故选B．
【点评】本题考查了乘方的性质，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．
　
变式2．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：
（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；
（2）．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）利用乘方的意义化简即可得到结果；
（2）利用乘方的意义化简即可得到结果．
【解答】解：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）=（﹣3）3，底数为﹣3，指数为3；

（2）原式=（+）4，底数为+，指数为4．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
　
变式3．把下列各幂还原成连乘的形式：
（1）（﹣7）4；
（2）（﹣a3）5；
（3）﹣a6；
（4）（x﹣y）3．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方是乘法的特例分别进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣7）4=（﹣7）×（﹣7）×（﹣7）×（﹣7）；

（2）（﹣a3）5=（﹣a3）•（﹣a3）•（﹣a3）•（﹣a3）•（﹣a3）；

（3）﹣a6=﹣（a•a•a•a•a•a）；

（4）（x﹣y）3=（x﹣y）•（x﹣y）•（x﹣y）．
【点评】本题考查了有理数的乘方的意义，将an形式的式子写成连乘形式，要认清a为底数，就是连乘式子中相同的那个式子，而n表示有多少个a相乘．

知识点二：有理数乘方的运算法则
例2．计算：
（1）（﹣3）4
（2）﹣34
（3）
（4）
（5）（﹣1）2011．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义分别进行计算即可得解．
【解答】解：（1）（﹣3）4=81；
（2）﹣34=﹣81；
（3）（﹣）3=﹣；
（4）﹣=﹣；
（5）（﹣1）2011=﹣1．
【点评】本题考查了有理数的乘方，是基础题，负数与分数的乘方，要加括号，要注意有括号和没有括号的区别．
　
变式1．计算．
（1）53；
（2）（﹣3）4；
（3）；
（4）；
（5）1.52．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别根据有理数乘方的定义进行计算．
【解答】解：（1）53=125；
（2）（﹣3）4=81；
（3）=﹣；
（4）=；
（5）1.52=（）2=．
【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．

变式2．计算：（1）﹣（﹣3）3；（2）（﹣）2；（3）（﹣）3．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】可根据乘方的意义，先把乘方装化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．
【解答】解：（1）﹣（﹣3）3=﹣（﹣33）=33=3×3×3=27．

（2）（﹣）2=×=．

（3）（﹣）3=﹣（××）=﹣．
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．

变式3．（2016•蒙阴县一模）计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则化简求出即可．
【解答】解：（﹣1）2014+（﹣1）2015=1﹣1=0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练应用有理数的乘方运算法则是解题关键．

变式4．简便计算：（﹣9）×（﹣）6×（1）3．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣32××=﹣=﹣．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
14．计算：﹣14﹣[2﹣（﹣3）2]+（﹣1）4．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】原式先计算乘方运算，再计算加减运算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣2+9+1=7．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
　
变式5．计算：﹣32×（﹣）6×（1﹣）3．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据有理数的运算顺序，可算出幂，再根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解：原式=﹣9×
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的乘方，先算乘方，再算乘法．

知识点三：有理数的混合运算顺序
例3．计算：
（1）（﹣2）2•（﹣3）2；（2）；（3）；（4）
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据有理数乘方的运算法则解答．
【解答】解：（1）（﹣2）2•（﹣3）2=4×9=36；
（2）=﹣9×（﹣）=3；
（3）=÷=×=4；
（4）=9××=9．
【点评】此题不仅考查了有理数乘方的运算法则，还考查了有理数的乘除运算法则，是一道好题．

变式1．计算
（1）（﹣3）4﹣（﹣3）3
（2）|﹣22﹣3|﹣（﹣9）÷（﹣3）
（3）
（4）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+（﹣1）3×（﹣2）4．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）先算乘方，再算加减运算；
（2）先算乘方和除法运算，然后进行减法运算；
（3）先把带分数化为假分数，再算乘方，然后约分即可；
（4）先算乘方得到原式=﹣4﹣3÷（﹣1）+（﹣1）×16，再算乘除，然后进行加减运算．
【解答】解：（1）原式=81﹣（﹣27）
=81+27
=108；

（2）原式=|﹣4﹣3|﹣3
=7﹣3
=4；

（3）原式=×（﹣）
=﹣；

（4）原式=﹣4﹣3÷（﹣1）+（﹣1）×16
=﹣4+3﹣16
=﹣17．
【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
　
变式2．计算：
（1）64÷（﹣2）4；
（2）﹣22×（﹣3）2；
（3）（﹣2）3×（﹣3）2；
（4）．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）先算乘方，然后进行除法运算；
（2）先算乘方，然后进行乘法运算；
（3）先算乘方，然后进行乘法运算；
（4）先算乘方，然后进行乘法运算．
【解答】解：（1）原式=64÷16=4；
（2）原式=﹣4×9=﹣36；
（3）原式=﹣8×9=﹣72；
（4）原式=﹣1×（﹣8）×=．
【点评】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
　
变式3．计算：
（1）﹣32﹣（﹣2）2；
（2）（﹣10）2+[（﹣4）2﹣（3+32）×2]；
（3）（﹣1）4+（﹣23）÷×（﹣）3；
（4）（﹣2）2010+（﹣2）2011；
（5）（﹣0.25）2010×42011．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）（2）根据有理数的乘方进行计算即可得解；
（3）先算乘方，再算乘除，然后相加即可；
（4）把（﹣2）2011写成（﹣2）×（﹣2）2010，然后相加即可；
（5）把42011写成4×42010，然后先把底数相乘，再根据有理数的乘方进行计算即可得解．
【解答】解：（1）﹣32﹣（﹣2）2，
=﹣9﹣4，
=﹣13；

（2）（﹣10）2+[（﹣4）2﹣（3+32）×2]，
=100+[16﹣（3+9）×2]，
=100+（16﹣24），
=100﹣8，
=92；

（3）（﹣1）4+（﹣23）÷×（﹣）3，
=1﹣8××（﹣），
=1+，
=；

（4）（﹣2）2010+（﹣2）2011，
=（﹣2）2010+（﹣2）×（﹣2）2010，
=（1﹣2）×（﹣2）2010，
=﹣22010；

（5）（﹣0.25）2010×42011，
=（﹣0.25）2010×4×42010，
=（﹣0.25×4）2010×4，
=1×4，
=4．
【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的混合运算，（4）（5）转化为同指数幂相乘的运算是可以使计算更加简便．

变式4．计算题
（1）﹣（﹣2）4
（2）
（3）（﹣1）2003
（4）﹣13﹣3×（﹣1）3
（5）﹣23+（﹣3）2
（6）﹣32÷（﹣3）2
（7）（﹣2）2﹣2+（﹣2）3+23
（8）
（9）
（10）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+0×（﹣2）3
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】（1）（2）按乘方的意义计算；
（3）﹣1的奇次幂等于﹣1；
（4）先乘方，再乘法，最后加减；
（5）先乘方，再加法；
（6）先乘方，再除法；
（7）先乘方，再加减；
（8）前一部分把除法化为乘法，后一部分按同底数幂的除法法则计算；
（9）（10）先乘方，再乘除，最后加减．
【解答】解：（1）﹣（﹣2）4=﹣16；
（2）=（）3=；
（3）（﹣1）2003=﹣1；
（4）﹣13﹣3×（﹣1）3=﹣1﹣3×（﹣1）=﹣1+3=2；
（5）﹣23+（﹣3）2=﹣8+9=1；
（6）﹣32÷（﹣3）2=﹣9÷9=﹣1；
（7）（﹣2）2﹣2+（﹣2）3+23=4﹣2﹣8+8=2；
（8）=16×（﹣4）+5=﹣64+5=﹣59；
（9）=﹣64﹣16﹣9×=﹣80+7=﹣73；
（10）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+0×（﹣2）3=﹣4﹣3÷（﹣1）+0=﹣4+3=﹣1．
【点评】此题主要考查有理数的乘方在有理数运算中的计算，有乘方的要先算乘方，还要注意符号的处理．
　
变式5．计算
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】（1）先算乘方，再算乘法；
（2）先算乘方，再算乘法；
（3）先算乘方，再算乘法．
【解答】解：（1）原式=﹣3×（﹣）
=；

（2）原式=××（﹣）
=﹣；

（3）原式=﹣1×（﹣8）××（﹣）
=﹣．
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，注意：有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

变式6．计算
（1）（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣9）；
（2）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣7；
（3）（+﹣）×（﹣36）；
（4）﹣14﹣（﹣5）×+（﹣2）3÷|﹣32+1|
【考点】1G：有理数的混合运算．
【分析】（1）根据加减混合运算的顺序和法则计算即可求解；
（2）根据加法交换率和结合律简便计算；
（3）运用乘法的分配律计算；
（4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的．
【解答】解：（1）（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣9）
=﹣3﹣4﹣11+9
=﹣18+9
=﹣9；

（2）
=（﹣0.5﹣7）+（3.25+2.75）
=﹣8+6
=﹣2；

（3）
=﹣×36﹣×36+×36
=﹣18﹣30+21
=﹣27；

（4）
=﹣1+2﹣8÷|﹣9+1|
=﹣1+2﹣8÷8
=﹣1+2﹣1
=0．
【点评】本题考查的是有理数的运算能力．注意：
（1）要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；
（2）去括号法则：﹣﹣得+，﹣+得﹣，++得+，+﹣得﹣．
　
　

知识点四：科学记数法
例4．2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到4640万人次，其中4640万用科学记数法可表示为（　　）
A．0.464×109 B．4.64×108 C．4.64×107 D．46.4×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【专题】12 ：应用题．
【分析】先把4 640万表示为用个表示的数，进而用科学记数法表示成a×10n即可．
【解答】解：4 640万=46 400 000=4.64×107．
故选C．
【点评】将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．注意“万”表示为用个表示的数时在原数的基础上扩大10 000倍．
　
变式1．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，将2100000用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×108 B．2.1×106 C．2.1×107 D．21×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2100000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
【解答】解：2 100 000=2.1×106．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
变式2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．将82 000 000 000 用科学记数法表示为（　　）
A．0.82×1011 B．8.2×1010 C．8.2×109 D．82×109
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于82 000 000 000有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．
【解答】解：82 000 000 000=8.2×1010．
故选B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
变式3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（　　）
A．11×104 B．1.1×104 C．1.1×105 D．0.11×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将110000用科学记数法表示为1.1×105．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
变式4．国家体育场“鸟巢”建筑面积258000平方米，将258000用科学记数法表示应为（　　）
A．258×103 B．2.58×104 C．2.58×105 D．0.258×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将258000用科学记数法表示为2.58×105．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
变式5．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10nkm，则n的值为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于150000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
【解答】解：150 000 000=1.5×108．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
　
变式6．2014年巴西世界杯在南美洲国家巴西境内12座城市中的12座球场内举行，本届世界杯的冠军将获得3500万美元的奖励，将3500万用科学记数法表示为（　　）
A．3.5×106 B．3.5×l07 C．35×l06 D．0.35×l08
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3500万=3500 0000=3.5×l07，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

知识点五：近似数
例5．用四舍五入法按要求取近似值：
（1）99.5（精确到个位）
（2）28343（精确到千位）
（3）50673（精确到百位）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】（1）先用科学记数法表示，然后把十分位上的数字5进行四舍五入即可；
（2）先用科学记数法表示，然后把百位上的数字3进行四舍五入即可；
（3）先用科学记数法表示，然后把十位上的数字7进行四舍五入即可．
【解答】解：（1）99.5≈1×102；

（2）28343≈2.8×104；

（3）50673≈5.07×104．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．

变式1．下列各个数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？
（1）小琳称得体重为38千克；
（2）现在的气温是﹣2℃；
（3）1m等于100cm；
（4）东风汽车厂2000年生产汽车14 500辆．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数．
【解答】解：（1）小琳称得体重为38千克，是近似数；
（2）现在的气温是﹣2℃，是近似数；
（3）1m等于100cm，是准确数；
（4）东风汽车厂2000年生产汽车14 500辆，是准确数．
【点评】此题考查学生对近似数和准确数的定义的掌握情况．生活中的表示测量的数据往往是近似数，如测量的身高、体重等；准确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等．
　
变式2．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人；
（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种；
（3）某校有1148人；
（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷；
（5）这个路口每分钟有3人经过；
（6）地球表面积约5.1亿平方千米．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】准确数就是真实准确的数，而近似数就是与准确数相接近，通过估计得到的数．
【解答】解：（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人，是近似数；
（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种，是近似数；
（3）某校有1148人，是准确数；
（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷，是近似数；
（5）这个路口每分钟有3人经过，是近似数；
（6）地球表面积约5.1亿平方千米，是近似数；
【点评】此题考查学生对近似数和准确数的定义的掌握情况．生活中的表示测量的数据往往是近似数，如测量的身高、体重等；准确数往往是生活中可以用自然数来表示的人数或物体的个数等．
　
变式3．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数：
（1）地球上七大洲的总面积约为149480000平方千米（精确到10000000平方千米）
（2）某人一天需要饮水1890毫升（精确到1000毫升）
（3）人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】（1）先用科学记数法表示，然后再按要求精确；
（2）先用科学记数法表示，然后再按要求精确；
（3）小数点后第六位是7，四舍五入精确即可．
【解答】解：（1）149480000平方千米=1.4948×108≈1.5×108平方千米（精确到10000000平方千米）；
（2）1890=1.89×103≈2×103毫升（精确到1000毫升）；
（3）0.000077厘米≈0.00008厘米（精确到0.00001厘米）．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．

拓展点一：利用乘方解决实际问题
例6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】今年该地高新技术产品进出口总额=去年某地高新技术产品进出口总额×（1+30%），再根据四舍五入法将结果精确到万位．
【解答】解：5287.8×（1+30%）
=5287.8×1.3
≈1×104（万美元）．
答：今年该地高新技术产品进出口总额可达到1×104万美元．
【点评】考查了近似数和有效数字，一般地说，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
　
变式1．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【专题】12 ：应用题．
【分析】距离的计算就是用时间乘以传播的速度．
一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字；
精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入．
【解答】解：×2.57×3×105=3.855×105≈3.86×105（km）．
答：地球和月球之间的距离约为3.86×105km．
【点评】本题注意精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，这是经常考查的内容．

拓展点二：确定近似数的精确度
例7．指出下列各近似值精确到哪一位．
（1）56.3
（2）5.630
（3）5.63×106
（4）5.630万
（5）0.017
（6）3800．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确到分别求解．
【解答】解：（1）56.3精确到十分位；
（2）5.630精确到千分位；
（3）5.63×106精确到十万位；
（4）5.630万精确到十位；
（5）0.017精确到千分位；
（6）3800精确到个位．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
　
变式1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：
（1）2.768（精确到百分位）；
（2）9.403（精确到个位）；
（3）8.965（精确到0.1）；
（4）17 289（精确到千位）．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】（1）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可；
（2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可；
（3）精确到0.1，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可；
（4）精确到千位，就看百位，利用“四舍五入”法解答即可．
【解答】解：（1）2.768（精确到百分位）可得：2.77；
（2）9.403（精确到个位）可得：9；
（3）8.965（精确到0.1）可得：9.0；
（4）17 289（精确到千位）可得：1.7×104．
【点评】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉．
　
变式2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（1）127.32；
（2）0.040 7；
（3）20.053；
（4）230.0千；
（5）4.002．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可．
【解答】解：（1）127.32精确到百分位；
（2）0.040 7精确到万分位；
（3）20.053精确到千分位；
（4）230.0千精确到百位；
（5）4.002精确到千分位．
【点评】此题考查了近似数，不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位，如果是用科学记数法表示的数先把原数还原，再看它所在位的位置即可．
　
变式3．下列近似数各精确到哪一位？
（1）3.14
（2）0.02010
（3）9.86万
（4）9.258×104
（5）3.9×103
（6）3.90×105．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确度分别进行判断．
【解答】解：（1）3.14精确到百分位；
（2）0.02010精确到十万分分位；
（3）9.86万精确到百位；
（4）9.258×104精确到十位；
（5）3.9×103精确到百位；
（6）3.90×105精确到千位．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．

变式4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位） D．0.0502（精确到0.0001）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确度把0.05019精确到0.1得到0.1，精确度千分位得0.050，精确到百分位得0.05，精确到0.0001得0.0502，然后依次进行判断．
【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以A选项正确；
B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以B选项错误；
C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以C选项正确；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以D选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．

拓展点三：科学记数法与近似数的综合应用
例8．某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得
导火索的长度至少为×0.11≈1.6（m）；
答：导火索的长度至少1.6m才能保证安全．
【点评】此题考查了列代数式和有效数字，关键是读懂题意，列出代数式，再根据有效数字的四舍五入法取近似值即可．
　
变式1．人体中血液的重量约占人体重量的，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】用40乘以，然后进行近似计算即可．
【解答】解：40×≈3.1（结果保留一位小数）．
答：她体内的血液约重3.1千克．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．\
　
变式2．2013年12月14日21时11分，嫦娥三号成功登陆月球．北京飞控中心通过无线电波控制，将“嫦娥三号”着陆器与巡视器成功分离的画面传回到大屏幕上．已知无线电波传播速度为3×105km/s，无线电波到月球并返回地面用2.57s，求此时月球与地球之间的距离（精确到1000km）．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据速度公式得到月球与地球之间的距离为=3.855×105，然后进行四舍五入精确到1000km．
【解答】解：=3.855×105≈3.86×105．
答：此时月球与地球之间的距离为3.86×105km．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
　
变式3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值，并分别写出相应的有效数字．
（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；
（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；
（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；
【解答】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米
（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米
（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．
　
变式4．1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．
所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒　3.1　千米．
（1）现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？
（2）写出你的计算过程．（结果保留一位小数）
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】我们用卫星到地球的距离加上地球的半径，运用圆的周长公式求出卫星绕地球一周的路程，然后除以飞行一圈的时间就是卫星在轨道上的绕行速度．
【解答】解：3.14×（36000+6400）×2÷（3600×24），
=3.14×（36000+6400）×2÷3600÷24，
=3.14×42400×2÷3600÷24，
=266272÷3600÷24，
=73.96444÷24，
=3.081，
≈3.1（千米）；
答：卫星在轨道上的绕行速度约为每秒3.1千米．
故答案为3.1．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确．本题是一道简单的行程问题，计算的过程难一点，数值较大，易出错．
　

拓展点四：用分段法进行有理数的混合运算
例9．（﹣0.125）2006×82005=　0.125　．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质．
【解答】解：82005×（﹣0.125）2006
=82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125）
=（﹣8×0.125）2005×（﹣0.125）
=0.125，
故答案为：0.125．
【点评】本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数相乘，逆用积的乘方的性质是解题的关键．

拓展点五：利用乘方进行大小比较
例10．比较大小：32　＞　23．
【考点】1E：有理数的乘方；18：有理数大小比较．
【专题】11 ：计算题．
【分析】分别计算32 和23，再比较大小即可．
【解答】解：∵32=9，23=8，
∴9＞8，
即32＞23．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的乘方以及有理数的大小比较，是基础知识要熟练掌握．

变式1．（1）问题：你能比较20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题，首先写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
通过计算，比较下列各组数的大小（在横线上填写“＞”、“＜”、“=”号）：
12　＜　21，23　＜　32，34　＞　43，45　＞　54，56　＞　65，…
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是什么？
（3）根据上面的归纳猜想，尝试比较20042005和20052004的大小．
【考点】1E：有理数的乘方；18：有理数大小比较．
【专题】2A ：规律型．
【分析】（1）根据有理数的乘方的定义分别计算即可比较大小；
（2）根据计算结果解答；
（3）根据（2）的结论猜想即可．
【解答】解：（1）∵12=1，21=2，
∴12＜21，
∵23=8，32=9，
∴23＜32，
∵34=81，43=64，
∴34＞43，
∵45=1024，54=625，
∴45＞54，
∵56=15625，65=7776，
∴56＞65，
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞；

（2）当n＜2时，nn+1＜（n+1）n，
当n＞3时，nn+1＞（n+1）n；

（3）∵2004＞2，
∴20042005＞20052004．
【点评】本题考查了有理数的乘方，熟记概念并准确计算是解题的关键．

变式2．化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来．
（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22
解：化简：（﹣1）2016=　1　；+（﹣3.5）=　﹣3.5　；﹣（﹣1.5）=　1.5　；﹣|﹣2.5|=　﹣2.5　；﹣22=　﹣4　．
在数轴上表示，并用“＜”号连接为：　﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）　．

【考点】1E：有理数的乘方；13：数轴；15：绝对值；18：有理数大小比较．
【分析】根据有理数的乘方、相反数、绝对值化简，即可解答．
【解答】解：（﹣1）2016=1；+（﹣3.5）=﹣3.5；﹣（﹣1.5）=1.5；﹣|﹣2.5|=﹣2.5；﹣22=﹣4．

﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．
故答案为：1；﹣3.5；1.5；﹣2.5；﹣4；﹣22＜+（﹣3.5）＜﹣|﹣2.5|＜（﹣1）2016＜﹣（﹣1.5）．
【点评】本题考查了有理数的乘方、相反数、绝对值，解决本题的关键是熟记有理数的乘方、相反数、绝对值．

拓展点六：近似数真值的取值范围
例11．近似数1.50所表示的准确数a的范围是（　　）
A．1.55≤a＜1.65 B．1.55≤a≤1.64
C．1.495≤a＜1.505 D．1.495≤a≤1.505
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据题目中的数据可以得到a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：近似数1.50所表示的准确数a的范围是1.495≤a＜1.505，
故选C．
【点评】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

变式1．近似数15.60，它表示大于或等于　15.595　，而小于　15.605　的数．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：数a的近似数15.60，则15.595≤a＜15.605．
故答案为15.595，15.605．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
　
变式2．近似数1.70所表示的准确数A的范围是　1.695≤A＜1.705　．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】根据近似数通长用四舍五入的方法得到，精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入，即可得出答案．
【解答】解：根据取近似数的方法可得：
1.70可以大于或等于1.695的数，0后面的一位数字，满5进1得到；
或由小于1.705的数，舍去1后的数字得到，
则近似数1.70所表示的准确数x的范围是1.695≤A＜1.705
故答案为1.695≤A＜1.705．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，近似数精确到哪一位，是对下一位的数字进行四舍五入得到的．
　
变式3．按要求取近似值：37.49≈　37.5　（精确到0.1），这个近似数表示大于或等于　37.45　，而小于　37.55　 的数．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据四舍五入的方法即可确定近似数所表示的原数的范围．
【解答】解：37.49≈37.5（精确到0.1），这个近似数表示大于或等于37.45，而小于37.55 的数．
故答案为37.5，37.45，37.55．
【点评】此题考查了近似数和有效数字，近似计算时，近似值精确程度的确定是本题考查的重点．

拓展点七：偶次方的非负性
例12．若|a﹣1|+（b+3）2=0，则ba=（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，即可列出关于a和b的方程，求得a和b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：根据题意得a﹣1=0且b+3=0，
解得a=1，b=﹣3，
则原式=﹣3．
故选A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，理解性质是关键．
　
变式1．若（2a﹣1）2+2|b﹣3|=0，则ab=（　　）
A． B． C．6 D．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；16：非负数的性质：绝对值；33：代数式求值；98：解二元一次方程组．
【专题】11 ：计算题．
【分析】由于平方与绝对值都具有非负性，根据两个非负数的和为零，其中每一个加数都必为零，可列出二元一次方程组，解出a、b的值，再将它们代入ab中求解即可．
【解答】解：由题意，得，
解得．
∴ab=（）3=．
故选D．
【点评】本题主要考查非负数的性质和代数式的求值．初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
　
变式2．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+（y+3）2=0，则（）2016的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，根据乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣3=0，y+3=0，
解得，x=3，y=﹣3，
则（）2016=（﹣1）2016=1，
故选：D．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．

变式3．若（a+1）2+|b﹣2|=0，求a2000•b3的值．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，a+1=0，b﹣2=0，
解得，a=﹣1，b=2，
a2000•b3=1×8=8．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
　
变式4．已知|2x+1|+（y﹣2）2=0，求（xy）2011的值．
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；16：非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出方程，求出x、y的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，2x+1=0，y﹣2=0，
解得，x=﹣，y=2，
则（xy）2011=﹣1．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
　
拓展点八：定义新运算
例13．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b=ab和a★b=ba，那么（﹣3☆2）★1=　1　．
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】23 ：新定义．
【分析】先根据题意得出（﹣3☆2）★1=[（﹣3）2]★1=9★1=19即可．
【解答】解：∵a☆b=ab和a★b=ba，
∴（﹣3☆2）★1=[（﹣3）2]★1=9★1=19=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，根据题意把原式化为（﹣3☆2）★1=[（﹣3）2]★1=9★1=19的形式是解答此题的关键．

变式1．现规定一种新的运算“⊙”：a⊙b=a2+b2﹣1，如2⊙3=22+32﹣1=12，则（﹣3）⊙4=　24　．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】24 ：网格型．
【分析】根据新的运算“⊙”的含义和运算方法，以及有理数的混合运算的方法，求出（﹣3）⊙4的值是多少即可．
【解答】解：（﹣3）⊙4
=（﹣3）2+42﹣1
=9+16﹣1
=25﹣1
=24
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

变式2．现定义一种新运算，对任意有理数x，y都有x⊕y=x2﹣y，例如3⊕2=32﹣2=7，则44⊕（﹣81）=　2017　．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式利用新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式=442﹣（﹣81）=1936+81=2017，
故答案为：2017
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

变式3．从三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作C32==3，一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：Cmn=．例：从7个元素中选5个元素，共有C75==21种不同的选法．
问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有　120　种．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；23 ：新定义；511：实数．
【分析】根据题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：C103==120，
则从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有120种．
故答案为：120
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

变式4．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．
解决下列问题：
（1）＜π＞=　3　（π为圆周率）；
（2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最　小　（填大或小）值，这个值为　　．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【分析】（1）根据新定义把π四舍五入得到3；
（2）根据新定义得到2.5≤2x﹣1＜3.5，解得≤x＜．
【解答】解：（1）＜π＞=3（π为圆周率）；
（2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最小值，这个值为．
故答案为3，小，．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．
　
变式5．阅读：如果一个非负数x四舍五入到个位后得到非负整数为n，记作“x”=n，例如“0.4”=0，“0.6”=1，“1.7”=2等，显然如果“x”=n，则可得n﹣0.5≤x＜n+0.5，反过来如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则可得“x”=n．根据以上知识，请解决以下问题：
（1）当x为非负数，m为非负整数时，请说明“x+m”=m+“x”；
（2）求满足3“x”=4x时，所有非负实数x的值．
【考点】1H：近似数和有效数字．
【专题】32 ：分类讨论．
【分析】（1）分别表示出“x+m”和m+“x”，即可得到所求不等式；
（2）设这个整数为k，易得这个整数应在应在k﹣0.5和k+0.5之间，包括k﹣0.5，不包括k+0.5，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值．
【解答】解：（1）∵“x”=n，则n﹣0.5≤x＜n+0.5，n为非负整数；
∴（n+m）﹣0.5≤x+m＜（n+m）+0.5，且n+m为非负整数，
∴“x+m”=n+m=m+“x”．．
（2）∵x≥0，3“x”=4x，
x为整数，
设x=k，k为整数，
则x=k，
∴“k”=k，
∴k﹣0.5≤k＜k+0.5，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．
【点评】此题考查不等式组的运用，解决本题的关键是理解题意，准确得出不等式组解决问题．

拓展点九：规律探究问题
例14．观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】2A ：规律型．
【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出220的末位数字．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，…
∴220的末位数字是6．
故选C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，根据题意找出规律是本题的关键．

变式1．观察下列式子：12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，写出第10项的算式　102﹣92=19　．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】根据12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，可得：第n个算式的被减数是n2，减数是（n﹣1）2，差是2n﹣1，据此写出第10项的算式即可．
【解答】解：观察下列式子：12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，写出第10项的算式：102﹣92=19．
故答案为：102﹣92=19．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意根据所给的算式总结出规律．

变式2.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先设S=1+2+22+23+24+…+22017①
则2S=2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S=22018﹣1
即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1
以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”
1+3+32+33+34+…+32017=　22018﹣　．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】仿照题中的方法求出值即可．
【解答】解：设S=1+3+32+33+34+…+32017①
则3S=3+32+33+34+35+…+32019②
②﹣①得2S=22019﹣1，
即1+3+32+33+34+…+32017=22018﹣，
故答案为：22018﹣
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清“错位相减法”的步骤是解本题的关键．
　
变式3．观察下列各式：
13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）=　　．
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】观察已知等式，得到n个正整数立方和等于各底数之和的平方．
【解答】解：根据题意得：13+23+…+n3（n是正整数）=[]2=，
故答案为：
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．

易错点一：混淆(-a)2与-a2的值
例15．﹣43的计算结果是（　　）
A．64 B．12 C．﹣12 D．﹣64
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解．
【解答】解：﹣43=﹣64．
故选D．
【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，要注意﹣43与（﹣4）3区别．
　
变式1．下列各组的运算结果相等的是（　　）
A．34和43 B．（﹣3）5和﹣35 C．﹣32和（﹣3）2 D．和
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、34=81，43=64，不相等，故本选项错误；
B、（﹣3）5=﹣243，﹣35=﹣243，故本选项正确；
C、﹣32=﹣9，（﹣3）2=9，不相等，故本选项错误；
D、（﹣）3=﹣，﹣=﹣，不相等，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，要注意负数和分数的乘方要加括号，否则意义完全不一样．

变式2．下列各组中两个式子的值相等的是（　　）
A．32与﹣32 B．（﹣2）2与﹣22 C．|﹣2|与﹣|+2| D．（﹣2）3与﹣23
【考点】1E：有理数的乘方．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、32=9，﹣32=﹣9，不相等；
B、（﹣2）2=4，﹣22=﹣4，不相等；
C、|﹣2|=2，﹣|+2|=﹣2，不相等；
D、（﹣2）3=﹣23=﹣8，相等，
故选D
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
　
变式3．下列各数与﹣6相等的（　　）
A．|﹣6| B．﹣|﹣6| C．﹣32 D．﹣（﹣6）
【考点】1E：有理数的乘方；14：相反数；15：绝对值．
【分析】利用绝对值以及乘方的性质即可求解．
【解答】解：A、|﹣6|=6，故选项错误；
B、﹣|﹣6|、﹣6，故选项正确；
C、﹣32=﹣9，故选项错误；
D、﹣（﹣6）=6，故选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了有理数的运算以及绝对值的性质，正确理解绝对值的性质是关键．
　
变式4．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（　　）
A．﹣32 B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3） D．（﹣3）+（﹣3）
【考点】1G：有理数的混合运算．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式利用乘方的意义计算出结果，即可作出判断．
【解答】解：（﹣3）2=9，
A、原式=﹣9，不相等；
B、原式=﹣6，不相等；
C、原式=9，相等；
D、原式=﹣6，不相等，
故选C
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
易错点二：混淆乘方和乘法
例16．=　　； （）3=　　； （﹣）3=　﹣　；﹣=　﹣　．
【考点】1E：有理数的乘方．
【分析】根据有理数的乘方，即可解答．
【解答】解：，，，，
故答案为：，，﹣，﹣．
【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．

易错点三：对科学记数法理解不够
例17．将下列用科学记数法表示的数还原
（1）2.23×103；
（2）3.0×108；
（3）6.03×105．
【考点】1K：科学记数法—原数．
【分析】直接将a向右移动n位小数即可得原数．
【解答】解：（1）2.23×103=2230，
（2）3.0×108=300000000，
（3）6.03×105=603000．
【点评】本题是将科学记数法表示的数还原，若科学记数法a×10n表示的数，还原的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数；还要注意负号．

变式1．用小数表示下列各数：
（1）8.5×10﹣3
（2）2.25×10﹣8
（3）9.03×10﹣5．
【考点】1K：科学记数法—原数．
【分析】（1）将8.5的小数点向左移动3位得出即可；
（2）将2.25的小数点向左移动8位得出即可；
（3）将9.03的小数点向左移动5位得出即可；
【解答】解：（1）8.5×10﹣3=0.0085；

（2）2.25×10﹣8=0.0000000225；

（3）9.03×10﹣5=0.0000903．
【点评】本题考查了科学记数法表示原数．将科学记数法a×10﹣n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．

变式2．用科学记数法表示的数3.61×108．它的原数是（　　）
A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000
【考点】1K：科学记数法—原数．
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题把数据“3.61×108中3.61的小数点向左移动8位就可以得到结果．
【解答】解：3.61×108=361000000，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
　
变式3．今年1月中旬以来的低温、雨雪、冰冻天气，造成全国多个地区发生不同程度的灾害，直接经济损失已达到了5.379×1010元，将此数据用亿元表示为（　　）
A．0.5379亿元 B．5.379亿元 C．53.79亿元 D．537.9亿元
【考点】1K：科学记数法—原数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5.379×1010=5.379×1010×10﹣8（亿）=537.9（亿），
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
变式4．用小数表示3.56×10﹣7为（　　）
A．0.000000356 B．0.0000000356
C．0.00000000356 D．0.000000000356
【考点】1K：科学记数法—原数．
【分析】根据科学记数法表示小数，小数点向左移动几位，可得答案．
【解答】解：小数表示3.56×10﹣7为0.000000356，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法，指数是负几小数点向左移动几位．

易错点四：“0”不能随便去掉
例18．把35.89543精确到百分位所得到的近似数为 。
【解答】35.90

变式1．据统计，某年我国国内生产总值达397983亿元．则以亿元为单位用科学记数法表示这一年我国的国内生产总值为（　　）亿元．
A．3.97983×1013 B．3.97983×105 C．4.0×1013 D．4.0×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：397983亿元用科学记数法表示为3.97983×105亿元，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．