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七年级数学（人教版）上册同步试卷 专题1.5 有理数的乘方
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这是一份七年级数学（人教版）上册同步试卷 专题1.5 有理数的乘方，文件包含专题15有理数的乘方教师版人教版docx、专题15有理数的乘方学生版人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
专题1.5 有理数的乘方
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1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
4.科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
5.近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
考点精讲
考点1：乘方的定义及计算
典例： （1）（2022·全国·七年级）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据乘方的定义运算即可．
【详解】
解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，
故答案为：（﹣2）4.
方法或规律点拨
本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作an，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂．
（2）（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【解析】
【分析】
各选项计算出两数的结果，即可做出判断．
【详解】
A.，数值不相等，故A错误；
B.，，数值相等，故B正确；
C.，，数值不相等，故C错误；
D.，，数值相等，故D错误．
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则计算判断即可．
【详解】
∵，
∴符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的综合计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江绥化·期末）的倒数等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据乘方法则和倒数的性质化简计算即可．
【详解】
解：∵，
∴的倒数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了乘方，倒数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（2022·四川成都·二模）计算的结果等于（ ）
A．10 B． C．50 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算乘方，再算乘法，得到答案．
【详解】
解：原式=（－2）×25=－50，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法与乘方的运算，熟练掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
4．（2022·河北邯郸·三模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法和乘方运算求解即可．
【详解】
解：
=2m+3n．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，数学常识，注意分辩．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）有理数，，，，0，，中正数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可．
【详解】
解：，，，，0既不是正数，也不是负数，，，
所以正数的个数有2个
故选：B．
【点睛】
本题考查的是有理数的概念、有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则、有理数的概念是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级）a，b互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）
A．a2与b2 B．a3与b5 C．a2n与b2n（n为正整数） D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【答案】D
【解析】
【分析】
由a，b互为相反数，则，再根据乘方的含义逐一进行判断即可．
【详解】
解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A不符合题意；
B、a，b互为相反数，则a3＝−b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B不符合题意；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C不符合题意；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相反数的含义，乘方的含义，理解相反数的含义及乘方运算的符号确定是解本题的关键．
7．（2022·上海·位育中学期中）的底数是 ____________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据幂的定义解答即可：在中，a叫底数，n叫做指数；
【详解】
解：的底数是6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了与两者的区别：的底数是-a，表示n个-a相乘的积；底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．
考点2：非负数的和为零
典例：（2022·河北邢台·一模）若（a-1）2+|b-a+3|=0，则a=_____，b=_____．
【答案】 1 -2
【解析】
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负数的性质列方程即可求出a、b的值．
【详解】
解：∵（a-1）2+|b-a+3|=0，而（a-1）2≥0，|b-a+3|≥0，
∴a-1=0，b-a+3=0，
解得a=1，b=-2，
故答案为：1，-2．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答此题关键．
巩固练习
1．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知，则的值为（ ）．
A．15 B． C． D．125
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性，可求x，y，代入求解即可．
【详解】
解：根据题意得，，，
∴，，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由非负数的性质可得且 再求解a，b的值，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：
且
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，乘方的含义，求解是解本题的关键．
3．（2022·广西崇左·七年级期末）若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据非负数的性质分别求出、，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．
【详解】
，且
，，即，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键．
4．（2022·上海市闵行区颛桥中学期中）已(m- 4)2 + = 0 知，则nm 的值是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，据此求得m和n，进而即可计算求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
【点睛】
本题考查非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，解题的关键是运用非负数的性质求得m和n的值．
考点3：含有乘方的四则混合运算
典例： （1）（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：．
【答案】-12
【解析】
【分析】
先计算乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案．
【详解】
解：
=-12．
【点睛】
本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．
（2）（2022·江西赣州·七年级期末）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据求绝对值、含乘方的有理数混合运算法则计算即可；
【详解】
解：原式
方法或规律点拨
此题考查了有理数的混合运算，绝对值、解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-9
(2)-22
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
(1)解：原式
(2)解：原式
【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)-3
(2)-13
(3)15
【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的，然后按照先乘方，后乘除，再加减的顺序进行计算即可求解．
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
(3)解：原式＝
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)-7
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
(1)原式=
．
(2)原式
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
(1)（﹣2）☆4；
(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【答案】(1)4；
(2)﹣27；
【解析】
【分析】
（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，代入数字求值即可；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，先计算中括号里，再计算中括号外即可；
(1)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
(2)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27；
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．
考点4：科学计数法
典例：（1）（2022·河北沧州·七年级期末）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：400000=，
故选：C．
方法或规律点拨
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C
【解析】
【分析】
将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．
【详解】
x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．
巩固练习
1．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．7.2×106 B．7.2×105 C．0.72×107 D．0.72×106
【答案】A
【解析】
【分析】
根据科学记数法的形式a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
【详解】
解：由题意可知：720万＝7200000＝7.2×106．
故选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法，熟记科学记数法的形式：a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
2．（2022·浙江绍兴·二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×103 B．3.8×104 C．0.38×105 D．0.38×106
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法进行改写即可．
【详解】
38000=3.8×104，
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学记数法，即把一个数表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·二模）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．
【详解】
解：100亿，，
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2022·北京·中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】
解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
∴262 883 000 000，
故选B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级）一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】
解：∵8.155×1010表示的原数为81550000000，
∴原数中“0”的个数为7，
故选：C．
【点睛】
本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
6．（2022·全国·七年级课时练习）全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为（ ）
A．0.1023亿 B．1.023亿 C．10.23亿 D．102.3亿
【答案】B
【解析】
【分析】
把1.023的小数点向右移动八位即得到科学记数法表示的原数，再改写为以亿为单位的数即可．
【详解】
=102300000=1.023亿，
故选：B．
【点睛】
本题考查了把用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握当科学记数法表示的数中的指数n为正整数时，把数a的小数点向右移动n位即得原数．
考点5：近似数与有效数字
典例： （1）（2022·全国·七年级课时练习）近似数37.5的实际值表示大于或等于 ___而小于 ___的数．从2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为 ___．
【答案】 37.45 37.55
【解析】
【分析】
根据“四舍五入”法则判断近似数37.5对应的实际值即可；科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：近似数为37.5，则对应实际值应该大于或等于37.45而小于37.55；
475490000精确到百万位为475000000，用科学记数法表示为，
故答案为：37.45；37.55；．
方法或规律点拨
本题考查近似数以及科学记数法的应用，理解“四舍五入”法则，并且掌握科学记数法中指数的确定是解题关键．
（2）（2022·全国·七年级课时练习）数四舍五入后的近似值为1.30，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四舍五入法的原则直接判断即可．
【详解】
根据四舍五入法的原则，保留两位小数的情况下，大于或等于1.295且小于1.305的数四舍五入后的近似值是1.30，
故答案为：B
方法或规律点拨
四舍五入是求近似值的方法，原则是：被舍的部分首位数字小于五时就舍去，而被舍去的部分首位数字等于五或大于五时就入，即在保留部分的末位上加1．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（ ）．
A．3.14 B．3.15 C．3.141 D．3.142
【答案】A
【解析】
【分析】
精确到百分位看百分位后面的千分位上的数按四舍五入的方法直接得到答案，
【详解】
解：≈．
故选A．
【点睛】
本题考查的近似数的精确度，掌握四舍五入的方法是关键．
2．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）用四舍五入法对0.07011取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.07（精确到千分位）
C．0.07（精确到0.01） D．0.0701（精确到0.0001）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度把0.07011精确到0.1得到0.1，精确度千分位得0.070，精确到0.01得0.07，精确到0.0001得0.0701，然后依次进行判断即可
【详解】
解：A、0.07011≈0.1（精确到0.1），所以A选项正确；
B、0.07011≈0.070（精确到千分位），所以B选项错误；
C、0.07011≈0.07（精确到0.01），所以C选项正确；
D、0.07011≈0.0701（精确到0.0001），所以D选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握四舍五入法则是解题关键．
3．（2022·全国·七年级）在近似数0.0270中，共有（ ）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有效数字的定义解答即可；
【详解】
解：近似数0.0270中，有效数字为：2，7，0，共有3个有效数字，
故选： C．
【点睛】
本题考查了有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
4．（2022·江苏苏州·二模）截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（ ）
A．22.699938×108 B．22.7×1010 C．2.27×108 D．2.270×107
【答案】D
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．
【详解】
解：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了科学记数法近似数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
5．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）下列对圆周率的取值说法错误的是（ ）
A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.1） D．（精确到百分位）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据近似数的知识逐项进行判断即可．
【详解】
A.是精确到十分位，故A错误，符合题意；
B.是精确到十分位，故B正确，不符合题意；
C.是精确到十分位，即精确到0.1，故C正确，不符合题意；
D.是精确到百分位，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，是基础题，比较简单．
6．（2022·全国·七年级课时练习）近似数4.50所示的数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．
【详解】
解：近似数4.50所表示的准确值a的取值范围是4.495≤a＜4.505．
故选：A．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
7．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．
【答案】6.21×106
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【详解】
解：将6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21×106米．
故答案为：6.21×106.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）按四舍五入法取近似数：_________（精确到0.01）．
【答案】2.70
【解析】
【分析】
把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】
解：近似数．
故答案为：2.70．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
9．（2021·全国·课时练习）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题：
（1）＜π＞＝ （π为圆周率）；
（2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）3；（2）5.5＜x＜6.5
【解析】
【分析】
【详解】
【分析】（1）利用近似数的精确度和新定义求解；
（2）利用近似数的精确度按5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5；6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5两种情况分析求解．
（1）π＝3.1415..．
∵0.1415...＜0.5，
∴＜π＞＝3，
故答案为：3；
（2）若＜x＞＝6，
①当5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5时，即x＞5.5，
②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5，
∴x的取值范围是5.5＜x＜6.5，
故答案为：5.5＜x＜6.5．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·福建厦门·七年级期末）下列式子可以表示2的3次方的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据乘方的意义可得答案．
【详解】
解：表示2的3次方的是23，
故选：B．
【点睛】
本题考查乘方的意义及表示方法，解题的关键是掌握乘方运算的定义及表示方法．
2．（2022·全国·七年级课时练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（ ）
A．7位数 B．8位数
C．9位数 D．10位数
【答案】D
【解析】
【分析】
把科学记数转化为原数即可求得答案．
【详解】
解：，
故选D．
【点睛】
本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
3．（2022·天津南开·二模）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离，远地距离．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用科学记数法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）.
【详解】
解： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查科学记数法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）.
4．（2022·河南南阳·七年级期末）对于有理数，规定了一种运算：.如，则计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
根据题中的新定义得：
原式=-5[32-3×（-2）]
=-515
=（-5）2-（-5）×15
=25+75
=100．
故选：B．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【详解】
解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ）
A．当时， B．若，则m只能是5
C．若，则m只能是4 D．随着m的增大，n不一定也增大
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“冰雹猜想”进行推理即可得到答案．
【详解】
解∶A．当时，
则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．若，
则m→16→8→4→2→1，
∴m既可能是32，也可能是5，
故选项错误，符合题意；
C．若，
则m→2→1，
∴m只能是4，
故选项正确，不符合题意；
D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2，
∴随着m的增大，n不一定也增大
故选∶B．
【点睛】
本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰雹猜想”的概念是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·福建·模拟预测）计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】
解：原式．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
8．（2022·江苏镇江·七年级期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
把用科学记数法表示的大数还原，即可得出结果.
【详解】
用科学记数法表示为的原数为6250000000，所以原数中“0”的个数为7，
故答案为：7
【点睛】
此题考查了科学记数法，把用科学记数法表示的大数还原是解答此题的关键.
9．（2020·浙江·七年级期末）把精确到千分位得到的近似数是6.010，则的范围是________．
【答案】6.0095≤a＜6.0105
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度即可得到结果．
【详解】
解：∵精确到千分位得到的近似数是6.010，
∴6.0095≤a＜6.0105，
故答案为：6.0095≤a＜6.0105．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数．
10．（2022·北京大兴·二模）某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A类有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如下表：
种类
A
B
C
D
E
单价（元/类）
20
36
42
65
90
小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．
【答案】84
【解析】
【分析】
求出每种类型下的茶叶的单价，从每袋茶叶价格最低的种类开始购买6袋，分别计算即可得到答案．
【详解】
解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即买
A类则一袋茶的单价是20元/袋，
B类：每袋茶的单价是36÷2=18（元/袋），
C类：每袋茶的单价是42÷3=14（元/袋），
D类：每袋茶的单价是65÷5=13（元/袋），
E类：每袋茶的单价是90÷7= （元/袋），
当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，尽量选择每袋单价最低，
①单价最低的是E类含有7袋茶叶，则需要90元，
②买一个D类和一个A类共六袋，则费用为65+20=85（元）
③买两个C类,则费用是42×2=84（元）
∵84<85<90,
购买茶叶的总费用最低为84元.
故答案为：84．
【点睛】
本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确列出版式是解答本题的关键．
11．（2020·浙江杭州·七年级期中）已知a和n都是正整数，且，则a可能取的值是_____．
【答案】4或2或16
【解析】
【分析】
运用有理数乘方法则计算即可．
【详解】
解：∵，和都是正整数，
∴，或，或，
∴a=4，n=2或a=2，n=4或a=16，n=1，
故答案为：4或2或16．
【点睛】
此题考查了乘方运算，解题的关键是熟记有理数乘方法则．
12．（2022·广东梅州·一模）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．
【答案】28
【解析】
【分析】
用10加上超过1千克的部分的费用，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：需要付费元．
故答案为：28
【点睛】
本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2020·江西景德镇·七年级期中）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)3
(2)-9
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合计算法则求解即可；
（2）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可．
(1)解：
；
(2)解：
．
【点睛】
本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在学习了有理数的计算后，数学王老师给出这样三道题：
①；②；③．
甲、乙、丙三名同学各计算一道题，过程如下：
甲同学：解①：原式．
乙同学：解②：原式．
丙同学：解③：原式．
(1)甲、乙、丙三名同学的计算是否正确？
(2)如果不正确，请你写出正确的计算过程．
【答案】(1)甲计算错误，乙计算正确，丙计算错误，见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）按照有理数的运算顺序计算比较即可．
（2）按照有理数的运算顺序计算．
(1)甲计算错误，乙计算正确，丙计算错误．
(2)甲计算改正如下：
=
=
=
=72．
丙计算改正如下：
=
=
=26．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．
15．（2022·全国·七年级期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩需求量大幅增加，巴中市某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是2月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）、
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+400
﹣100
+100
﹣100
﹣200
+150
+350
(1)根据记录可知前三天共生产口罩 个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产口罩 个；
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.6元，该工厂以每个1.5元的批发价将前5天的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将剩下两天的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？
【答案】(1)15400；600
(2)赚了7300元
【解析】
【分析】
（1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解；根据正负数的意义确定星期一产量最多，星期五产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（2）根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
(1)
解：（个）
故前三天共生产15400个口罩；
（个）
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个；
故答案为：15400；600；
(2)
（元）
答：该工厂本周是赚了7300元
【点睛】
此题主要考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量、在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
专题1.5 有理数的乘方
目标导航
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
3.有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
4.科学记数法
把一个大于10的数表示成 的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。
5.近似数的精确位：
一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字
考点精讲
考点1：乘方的定义及计算
典例： （1）（2022·全国·七年级）把式子（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）写成乘方的形式 __．
【答案】
【解析】
【分析】
根据乘方的定义运算即可．
【详解】
解：（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝（﹣2）4，
故答案为：（﹣2）4.
方法或规律点拨
本题考查了乘方的定义：一般地，几个相同的因数a相乘，记作an，这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次幂．
（2）（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）下列各组数中，数值相等的是（ ）．
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【解析】
【分析】
各选项计算出两数的结果，即可做出判断．
【详解】
A.，数值不相等，故A错误；
B.，，数值相等，故B正确；
C.，，数值不相等，故C错误；
D.，，数值相等，故D错误．
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂的运算法则计算判断即可．
【详解】
∵，
∴符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
∵，
∴不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的综合计算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
2．（2022·黑龙江绥化·期末）的倒数等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据乘方法则和倒数的性质化简计算即可．
【详解】
解：∵，
∴的倒数为，
故选：D．
【点睛】
本题考查了乘方，倒数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
3．（2022·四川成都·二模）计算的结果等于（ ）
A．10 B． C．50 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算乘方，再算乘法，得到答案．
【详解】
解：原式=（－2）×25=－50，
故选B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法与乘方的运算，熟练掌握运算顺序和计算法则是解题关键．
4．（2022·河北邯郸·三模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的乘法和乘方运算求解即可．
【详解】
解：
=2m+3n．
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，数学常识，注意分辩．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）有理数，，，，0，，中正数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方法则、绝对值的性质计算，判断即可．
【详解】
解：，，，，0既不是正数，也不是负数，，，
所以正数的个数有2个
故选：B．
【点睛】
本题考查的是有理数的概念、有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则、有理数的概念是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级）a，b互为相反数，下列各数中，一定互为相反数的一组为（ ）
A．a2与b2 B．a3与b5 C．a2n与b2n（n为正整数） D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
【答案】D
【解析】
【分析】
由a，b互为相反数，则，再根据乘方的含义逐一进行判断即可．
【详解】
解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A不符合题意；
B、a，b互为相反数，则a3＝−b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B不符合题意；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C不符合题意；
D、a，b互为相反数，由于2n＋1是奇数，则a2n＋1与b2n＋1互为相反数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相反数的含义，乘方的含义，理解相反数的含义及乘方运算的符号确定是解本题的关键．
7．（2022·上海·位育中学期中）的底数是 ____________ ．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据幂的定义解答即可：在中，a叫底数，n叫做指数；
【详解】
解：的底数是6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了与两者的区别：的底数是-a，表示n个-a相乘的积；底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．
考点2：非负数的和为零
典例：（2022·河北邢台·一模）若（a-1）2+|b-a+3|=0，则a=_____，b=_____．
【答案】 1 -2
【解析】
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负数的性质列方程即可求出a、b的值．
【详解】
解：∵（a-1）2+|b-a+3|=0，而（a-1）2≥0，|b-a+3|≥0，
∴a-1=0，b-a+3=0，
解得a=1，b=-2，
故答案为：1，-2．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解答此题关键．
巩固练习
1．（2022·湖南长沙·七年级期末）已知，则的值为（ ）．
A．15 B． C． D．125
【答案】C
【解析】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性，可求x，y，代入求解即可．
【详解】
解：根据题意得，，，
∴，，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了非负数，解题的关键是熟练掌握三种非负数：绝对值、偶次方、算术平方根．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由非负数的性质可得且 再求解a，b的值，代入计算即可得到答案．
【详解】
解：
且
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，乘方的含义，求解是解本题的关键．
3．（2022·广西崇左·七年级期末）若，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据非负数的性质分别求出、，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．
【详解】
，且
，，即，，
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键．
4．（2022·上海市闵行区颛桥中学期中）已(m- 4)2 + = 0 知，则nm 的值是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
根据非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，据此求得m和n，进而即可计算求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
【点睛】
本题考查非负数的性质：若两个非负数的和是0，则这两个数一定都是0，解题的关键是运用非负数的性质求得m和n的值．
考点3：含有乘方的四则混合运算
典例： （1）（2022·陕西渭南·七年级期末）计算：．
【答案】-12
【解析】
【分析】
先计算乘方运算，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案．
【详解】
解：
=-12．
【点睛】
本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．
（2）（2022·江西赣州·七年级期末）计算：
【答案】
【解析】
【分析】
根据求绝对值、含乘方的有理数混合运算法则计算即可；
【详解】
解：原式
方法或规律点拨
此题考查了有理数的混合运算，绝对值、解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则以及运算顺序．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)-9
(2)-22
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
(1)解：原式
(2)解：原式
【点睛】
本题主要考查有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2022·内蒙古· 七年级期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)-3
(2)-13
(3)15
【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算进行计算，注意运算顺序，先计算括号内的，然后按照先乘方，后乘除，再加减的顺序进行计算即可求解．
(1)解：原式＝
(2)解：原式＝
(3)解：原式＝
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)-7
(2)7
【解析】
【分析】
（1）利用乘法分配律，根据有理数的混合运算法则计算即可．
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
(1)原式=
．
(2)原式
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n＝mn+mn﹣n，例如：2☆3＝23+2×3﹣3＝8+6﹣3＝11，解答下列问题：
(1)（﹣2）☆4；
(2)（﹣1）☆[（﹣5）☆2]．
【答案】(1)4；
(2)﹣27；
【解析】
【分析】
（1）根据m☆n＝mn+mn﹣n，代入数字求值即可；
（2）根据m☆n＝mn+mn﹣n，先计算中括号里，再计算中括号外即可；
(1)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣2）☆4
＝（﹣2）4+（﹣2）×4﹣4
＝16+（﹣8）+（﹣4）
＝4；
(2)解：∵m☆n＝mn+mn﹣n，
∴（﹣1）☆[（﹣5）☆2]
＝（﹣1）☆[（﹣5）2+（﹣5）×2﹣2]
＝（﹣1）☆（25﹣10﹣2）
＝（﹣1）☆13
＝（﹣1）13+（﹣1）×13﹣13
＝（﹣1）+（﹣13）+（﹣13）
＝﹣27；
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．
考点4：科学计数法
典例：（1）（2022·河北沧州·七年级期末）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船发射升空，三位航天员入驻距离地球约400000米的中国空间站，开启为期半年的太空任务．将400000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：400000=，
故选：C．
方法或规律点拨
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
（2）（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】C
【解析】
【分析】
将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．
【详解】
x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．
故选C．
方法或规律点拨
本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．
巩固练习
1．（2022·宁夏·银川市第三中学模拟预测）2021年5月11日，我国第七次人口普查结果发布．宁夏回族自治区总人口达到720万这个数字用科学记数法表示为（ ）
A．7.2×106 B．7.2×105 C．0.72×107 D．0.72×106
【答案】A
【解析】
【分析】
根据科学记数法的形式a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
【详解】
解：由题意可知：720万＝7200000＝7.2×106．
故选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法，熟记科学记数法的形式：a×10n(1≤a＜10)，确定a和n的值即可．
2．（2022·浙江绍兴·二模）据人民日报报道，截至2022年4月5日，15省份38000多名医务人员驰援上海．其中38000用科学记数法表示为（ ）
A．3.8×103 B．3.8×104 C．0.38×105 D．0.38×106
【答案】B
【解析】
【分析】
根据科学记数法进行改写即可．
【详解】
38000=3.8×104，
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学记数法，即把一个数表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．
3．（2022·河南南阳·二模）华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．
【详解】
解：100亿，，
故选：C．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2022·北京·中考真题）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】
解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
∴262 883 000 000，
故选B．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级）一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】
解：∵8.155×1010表示的原数为81550000000，
∴原数中“0”的个数为7，
故选：C．
【点睛】
本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
6．（2022·全国·七年级课时练习）全面推进新农村建设是改善农村居住环境，提高农民生活水平的必经之路．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金．数据可表示为（ ）
A．0.1023亿 B．1.023亿 C．10.23亿 D．102.3亿
【答案】B
【解析】
【分析】
把1.023的小数点向右移动八位即得到科学记数法表示的原数，再改写为以亿为单位的数即可．
【详解】
=102300000=1.023亿，
故选：B．
【点睛】
本题考查了把用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握当科学记数法表示的数中的指数n为正整数时，把数a的小数点向右移动n位即得原数．
考点5：近似数与有效数字
典例： （1）（2022·全国·七年级课时练习）近似数37.5的实际值表示大于或等于 ___而小于 ___的数．从2020年7月23日发射，到2021年2月10日，“天问一号”探测器飞行了7个月才进入环火星轨道总飞行里程约475490000千米，数据475490000精确到百万位并用科学记数法表示为 ___．
【答案】 37.45 37.55
【解析】
【分析】
根据“四舍五入”法则判断近似数37.5对应的实际值即可；科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：近似数为37.5，则对应实际值应该大于或等于37.45而小于37.55；
475490000精确到百万位为475000000，用科学记数法表示为，
故答案为：37.45；37.55；．
方法或规律点拨
本题考查近似数以及科学记数法的应用，理解“四舍五入”法则，并且掌握科学记数法中指数的确定是解题关键．
（2）（2022·全国·七年级课时练习）数四舍五入后的近似值为1.30，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四舍五入法的原则直接判断即可．
【详解】
根据四舍五入法的原则，保留两位小数的情况下，大于或等于1.295且小于1.305的数四舍五入后的近似值是1.30，
故答案为：B
方法或规律点拨
四舍五入是求近似值的方法，原则是：被舍的部分首位数字小于五时就舍去，而被舍去的部分首位数字等于五或大于五时就入，即在保留部分的末位上加1．
巩固练习
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校期中）数3.14159精确到百分位约为（ ）．
A．3.14 B．3.15 C．3.141 D．3.142
【答案】A
【解析】
【分析】
精确到百分位看百分位后面的千分位上的数按四舍五入的方法直接得到答案，
【详解】
解：≈．
故选A．
【点睛】
本题考查的近似数的精确度，掌握四舍五入的方法是关键．
2．（2021·云南·景谷傣族彝族自治县教育体育局教研室七年级期末）用四舍五入法对0.07011取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.07（精确到千分位）
C．0.07（精确到0.01） D．0.0701（精确到0.0001）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度把0.07011精确到0.1得到0.1，精确度千分位得0.070，精确到0.01得0.07，精确到0.0001得0.0701，然后依次进行判断即可
【详解】
解：A、0.07011≈0.1（精确到0.1），所以A选项正确；
B、0.07011≈0.070（精确到千分位），所以B选项错误；
C、0.07011≈0.07（精确到0.01），所以C选项正确；
D、0.07011≈0.0701（精确到0.0001），所以D选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；掌握四舍五入法则是解题关键．
3．（2022·全国·七年级）在近似数0.0270中，共有（ ）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有效数字的定义解答即可；
【详解】
解：近似数0.0270中，有效数字为：2，7，0，共有3个有效数字，
故选： C．
【点睛】
本题考查了有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
4．（2022·江苏苏州·二模）截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22 699 938，精确到万位，用科学记数法表示为（ ）
A．22.699938×108 B．22.7×1010 C．2.27×108 D．2.270×107
【答案】D
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．
【详解】
解：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了科学记数法近似数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．
5．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）下列对圆周率的取值说法错误的是（ ）
A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.1） D．（精确到百分位）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据近似数的知识逐项进行判断即可．
【详解】
A.是精确到十分位，故A错误，符合题意；
B.是精确到十分位，故B正确，不符合题意；
C.是精确到十分位，即精确到0.1，故C正确，不符合题意；
D.是精确到百分位，故D正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，是基础题，比较简单．
6．（2022·全国·七年级课时练习）近似数4.50所示的数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度求解．
【详解】
解：近似数4.50所表示的准确值a的取值范围是4.495≤a＜4.505．
故选：A．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数称为近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完，所以这些数字都叫这个近似数的有效数字．
7．（2022·上海市西南模范中学九年级阶段练习）长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为______米．
【答案】6.21×106
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
【详解】
解：将6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21×106米．
故答案为：6.21×106.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．熟练掌握科学记数法是解题的关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学期中）按四舍五入法取近似数：_________（精确到0.01）．
【答案】2.70
【解析】
【分析】
把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】
解：近似数．
故答案为：2.70．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
9．（2021·全国·课时练习）对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.493＞＝1，＜18.75＞＝＜19.499＞＝19，…．解决下列问题：
（1）＜π＞＝ （π为圆周率）；
（2）若＜x＞＝6，则x的取值范围是 ．
【答案】（1）3；（2）5.5＜x＜6.5
【解析】
【分析】
【详解】
【分析】（1）利用近似数的精确度和新定义求解；
（2）利用近似数的精确度按5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5；6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5两种情况分析求解．
（1）π＝3.1415..．
∵0.1415...＜0.5，
∴＜π＞＝3，
故答案为：3；
（2）若＜x＞＝6，
①当5＜x＜6，但x的小数部分小于0.5时，即x＞5.5，
②当6＜x＜7，但x的小数部分小于0.5时，即x＜6.5，
∴x的取值范围是5.5＜x＜6.5，
故答案为：5.5＜x＜6.5．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·福建厦门·七年级期末）下列式子可以表示2的3次方的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据乘方的意义可得答案．
【详解】
解：表示2的3次方的是23，
故选：B．
【点睛】
本题考查乘方的意义及表示方法，解题的关键是掌握乘方运算的定义及表示方法．
2．（2022·全国·七年级课时练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（ ）
A．7位数 B．8位数
C．9位数 D．10位数
【答案】D
【解析】
【分析】
把科学记数转化为原数即可求得答案．
【详解】
解：，
故选D．
【点睛】
本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
3．（2022·天津南开·二模）今年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域安全着陆，三位航天员顺利返回地面，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功．已知神舟十三号飞行过程中近地距离，远地距离．将“356000”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用科学记数法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）.
【详解】
解： ，
故选：B.
【点睛】
本题考查科学记数法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数）.
4．（2022·河南南阳·七年级期末）对于有理数，规定了一种运算：.如，则计算的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
根据题中的新定义得：
原式=-5[32-3×（-2）]
=-515
=（-5）2-（-5）×15
=25+75
=100．
故选：B．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2022·福建·厦门双十中学七年级期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．
【详解】
解：由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子①错误；
由三组数的运算得：，
，
，
归纳类推得：当时，，式子②正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
6．（2022·江苏扬州·二模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次的步骤，必然进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”．如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得．则下列命题错误的是（ ）
A．当时， B．若，则m只能是5
C．若，则m只能是4 D．随着m的增大，n不一定也增大
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“冰雹猜想”进行推理即可得到答案．
【详解】
解∶A．当时，
则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，
∴，
故选项正确，不符合题意；
B．若，
则m→16→8→4→2→1，
∴m既可能是32，也可能是5，
故选项错误，符合题意；
C．若，
则m→2→1，
∴m只能是4，
故选项正确，不符合题意；
D．当m=3时，n=7；当m=4时，n=2，
∴随着m的增大，n不一定也增大
故选∶B．
【点睛】
本题主要考查了合情推理，审清题意，理解“冰雹猜想”的概念是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·福建·模拟预测）计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据有理数的乘方，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】
解：原式．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
8．（2022·江苏镇江·七年级期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
把用科学记数法表示的大数还原，即可得出结果.
【详解】
用科学记数法表示为的原数为6250000000，所以原数中“0”的个数为7，
故答案为：7
【点睛】
此题考查了科学记数法，把用科学记数法表示的大数还原是解答此题的关键.
9．（2020·浙江·七年级期末）把精确到千分位得到的近似数是6.010，则的范围是________．
【答案】6.0095≤a＜6.0105
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度即可得到结果．
【详解】
解：∵精确到千分位得到的近似数是6.010，
∴6.0095≤a＜6.0105，
故答案为：6.0095≤a＜6.0105．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数．
10．（2022·北京大兴·二模）某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A类有一袋茶叶，B类有二袋茶叶，C类有三袋茶叶，D类有五袋茶叶，E类有七袋茶叶，价格如下表：
种类
A
B
C
D
E
单价（元/类）
20
36
42
65
90
小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．
【答案】84
【解析】
【分析】
求出每种类型下的茶叶的单价，从每袋茶叶价格最低的种类开始购买6袋，分别计算即可得到答案．
【详解】
解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即买
A类则一袋茶的单价是20元/袋，
B类：每袋茶的单价是36÷2=18（元/袋），
C类：每袋茶的单价是42÷3=14（元/袋），
D类：每袋茶的单价是65÷5=13（元/袋），
E类：每袋茶的单价是90÷7= （元/袋），
当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，尽量选择每袋单价最低，
①单价最低的是E类含有7袋茶叶，则需要90元，
②买一个D类和一个A类共六袋，则费用为65+20=85（元）
③买两个C类,则费用是42×2=84（元）
∵84<85<90,
购买茶叶的总费用最低为84元.
故答案为：84．
【点睛】
本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确列出版式是解答本题的关键．
11．（2020·浙江杭州·七年级期中）已知a和n都是正整数，且，则a可能取的值是_____．
【答案】4或2或16
【解析】
【分析】
运用有理数乘方法则计算即可．
【详解】
解：∵，和都是正整数，
∴，或，或，
∴a=4，n=2或a=2，n=4或a=16，n=1，
故答案为：4或2或16．
【点睛】
此题考查了乘方运算，解题的关键是熟记有理数乘方法则．
12．（2022·广东梅州·一模）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．
【答案】28
【解析】
【分析】
用10加上超过1千克的部分的费用，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：需要付费元．
故答案为：28
【点睛】
本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2020·江西景德镇·七年级期中）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)3
(2)-9
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合计算法则求解即可；
（2）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可．
(1)解：
；
(2)解：
．
【点睛】
本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年级期末）在学习了有理数的计算后，数学王老师给出这样三道题：
①；②；③．
甲、乙、丙三名同学各计算一道题，过程如下：
甲同学：解①：原式．
乙同学：解②：原式．
丙同学：解③：原式．
(1)甲、乙、丙三名同学的计算是否正确？
(2)如果不正确，请你写出正确的计算过程．
【答案】(1)甲计算错误，乙计算正确，丙计算错误，见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）按照有理数的运算顺序计算比较即可．
（2）按照有理数的运算顺序计算．
(1)甲计算错误，乙计算正确，丙计算错误．
(2)甲计算改正如下：
=
=
=
=72．
丙计算改正如下：
=
=
=26．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．
15．（2022·全国·七年级期末）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩需求量大幅增加，巴中市某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是2月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）、
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+400
﹣100
+100
﹣100
﹣200
+150
+350
(1)根据记录可知前三天共生产口罩 个；产量最多的一天比产量最少的一天多生产口罩 个；
(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.4元的工资，每个口罩的材料成本为0.6元，该工厂以每个1.5元的批发价将前5天的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将剩下两天的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了？
【答案】(1)15400；600
(2)赚了7300元
【解析】
【分析】
（1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解；根据正负数的意义确定星期一产量最多，星期五产量最少，然后用记录相减计算即可得解；
（2）根据工资总额的计算方法列式计算即可得解．
(1)
解：（个）
故前三天共生产15400个口罩；
（个）
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个；
故答案为：15400；600；
(2)
（元）
答：该工厂本周是赚了7300元
【点睛】
此题主要考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量、在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
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