第22课 相似三角形的性质及其应用-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第22课  相似三角形的性质及其应用

知识点01 相似三角形的性质

1.相似三角形的对应角相等,对应边成比例.

2.相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比都等于相似比.

3.相似三角形的周长之比等于相似比.

4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

知识点02 三角形的重心

1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

2.三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段

考点01    相似三角形的性质

【典例1】已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且DE⊥BC，AD＝AC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：∠ECB＝∠B；

（2）求证：△ABC∽△FCD；

（3）若△FCD的面积为7.5，BC＝10，求DE的长．

【即学即练1】如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作DE∥BC交AB于点D．

（1）求证：AE•BC＝BD•AC；

（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．

考点02  三角形的重心的应用

【典例2】已知：如图，点P是△ABC的重心，过P作AC的平行线，分别交AB，BC于点D，E，作DF∥EC，交AC于点F，若△ABC的面积为18cm2，求四边形ECFD的面积．

【即学即练2】已知，点G是△ABC的重心，AG⊥GC，AG＝3，GC＝4，求BG的长度．

考点03  相似三角形的应用

【典例3】学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF＝1.5米，“标杆”AB＝2.5米，又BD＝23米，FB＝2米．

（1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）？

（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD＝11.5米，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？

【即学即练3】大雁塔位于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺内，又名“慈恩寺塔”，是国家级文物保护单位，西安市的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC＝4米，将标杆CD向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG＝6米，GC＝62米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．

题组A  基础过关练

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠ADE＝∠C，如果AE＝3，△ADE的面积为5，四边形的面积为15，那么AB的长为（　　）

A．8 B． C．6 D．

2.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9

3.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果BE＝2EC，那么S△BEF：S△DAF等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：9

4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，，那么EH的长为（　　）

A． B． C． D．

5.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.2米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，则旗杆的高度（　　）

A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米

6.已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是 　　．

7.两个相似六边形的相似比为3：5，它们周长的差是24cm，那么周长较大的六边形周长为 　cm．

8. 在比例尺为1：40000的地图上，某经济开发区的面积为20cm2，那么，该经济开发区的实际面积为　　km2．

9.如图，D是△ABC的边AB上一点，∠B＝∠ACD，AC＝2，△ACD与△BDC的面积之比为2：1，则AD的长为 　　．

10.如图．已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE＝6．

（1）证明：△BED∽△BCA；

（2）求点B到直线AC的距离．

题组B  能力提升练

11.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（　　）

A．＝     B．＝    C．＝   D．＝

12.如图，D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，则图中三部分图形的面积比S1：S2：S3＝（　　）

A．1：2：3 B．1：4：9 C．1：3：5 D．1：3：6

13.如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△ADE＝1：2，S△ODE：S△OAC＝　　．

14.如图，BD是▱ABCD的对角线，E是边AD上的点，且DE＝2AE，连结CE交BD于点F，若△DEF的面积为2，则四边形ABFE的面积为 　　．

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝8，那么CD的长是 　　．

16.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝AF；③DF＝DC；④，其中正确结论的序号为 　　．

17.如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP＝　　．

18.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．

（1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；

（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．

19.如图，在矩形ABCD中，点E在射线CB上，连结AE，∠DAE的平分线AG与CD交于点G，与BC的延长线交于F点．设＝λ（λ＞0），＝k（k＞0且k≠2）．

（1）若AB＝8，λ＝1，k＝，求线段CF的长．

（2）连结EG，若EG⊥AF，

①求证：点G为CD边的中点；

②求λ的值（用k表示）．

20.如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．

（1）求BC的长．

（2）求灯泡到地面的高度AG．

21.如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2．

（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）

（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．

（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？

题组C  培优拔尖练

22.如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4

23.《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）

A． B． C． D．

24.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AB上的一点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：

①＝；

②若点D是AB的中点，则AF＝AB；

③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；

④若＝，则S△ABC＝9S△BDF，其中正确的结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

25．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M、N，则S△MND：S△AFD的值为　　．

26.如图，矩形ABCD由三个全等矩形拼成，AC与DE、EF、FG、HG、HB分别交于点P、Q、K、M、N，设△EPQ、△GKM、△BNC的面积依次为S1、S2、S3．若S1+S3＝40，则S2的值为　　．

27.如图，一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第　　个．

28.已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．

（1）如图1，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝　　；

（2）如图2，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　　（用n的代数式表示）．

29.如图，AB为半圆O的直径，CD＝，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF＝　　．

30.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为的中点．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）直线l切⊙O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F，点G．

①若∠BAC＝45°，求的值；

②若⊙O半径的长为r，△ABC的面积为△CDF的面积的12倍，求BG的长（用含r的代数式表示）．

31.如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（与点B、C不重合），连接AE交BD于点G．

（1）若AG＝BG，AB＝2，BD＝3，求线段DG的长；

（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；

（3）求的最大值．

32．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点．

（1）若3BM＝4CN，

①如图1，当CN＝时，判断MN与AC的位置关系，并说明理由；

②如图2，连接AN，CM，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，求BM的值．

（2）当MN⊥AB时，将△NMB沿直线MN翻折得到△NMF，点B落在射线BA上的F处，设MB＝x，△NMF与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数表达式及x的取值范围．