第21课 两个三角形相似的判定-九年级数学上册同步精品讲义(浙教版)
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学习目标 |
1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似. 2.掌握三角形相似的3个判定定理 3.会运用上述定理判定两个三角形相似. |
知识点01 相似三角形的判定
1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与
原三角形相似.
2.三角形相似的判定定理:
(1)有两个角对应相等的两个三角形相似,并能运用这个定理证明两个三角形相似.
(2)三边对应成比例的两个三角形相似.
(3)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.
考点01 相似三角形的判定
【典例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若AB=26,BC=20,求线段DE的长.
【即学即练1】如图,M为线段AB中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=45°,且DM交AC于点F,ME交BC于点G.(1)求证:△AMF∽△BGM;(2)连接FG,若AB=4,AF=3,求FG的长;
题组A 基础过关练
1.如图,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.B.C. D.
2.如图,每个小方格的边长都是1,则下列图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
3.如图,在△ABC中,点D在AC边上,连接BD,若∠ABC=∠ADB,AD=2,AC=6,则AB的长为( )
A.3 B.4 C. D.2
4. 如图所示,添加一个条件 ,使△ADB∽△ABC.
5.如图,在△ABC和△ADE中,,∠CAE=40°,则∠BAD的度数为 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上的一点,CD⊥AB于点D,AD=3,BD=5,则边AC的长为 .
7.如图,在△ABC中,点D在AB边上,∠B=∠ACD,且∠A=90°.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AD=2,AB=6.求CD的长.
8.如图,AB为⊙O的直径,D为弧BC中点,DE⊥AB于点E,BC交DE于点F,交AD于点G.
(1)求证:GF=DF;
(2)求证:BE•AB=AD•DG.
题组B 能力提升练
9.如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,则在下列五个条件中:①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD•BC=DE•AC;⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,在正方形网格中有5个格点三角形,分别是:①△ABC,②△ACD,③△ADE,④△AEF,⑤△AGH,其中与⑤相似的三角形是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④
11.如图,在△ABC中,AD⊥BC,点D为垂足,为了证明∠BAC=90°,以下添加的等积式中,正确的有( )
①AD2=BD•CD ②AB•CD=AC•AD ③AC2=BC•CD ④AB2=AC•BD
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图,已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的点,AB=AC,BD=2,CD=3,CE=4,AE=,∠FDE=∠B,则AF的长为( )
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
13.如图,把△ABC绕点A旋转得到△ADE,当点D刚好落在BC上时,连接CE,设AC、DE相交于点F,则图中不全等的相似三角形共有 对.
14.如图,线段AB=9,AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,AC=2,BD=4,点P为线段AB上一动点,且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似,则AP的长为 .
15.如图,半圆O以AB为直径,四边形ABCD是半圆O的内接四边形,延长BC,AD交于点E,DC=BC=4,AD=14,求AB的长 .
16.如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)(如图2)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值.
17.如图,AB是⊙O的直径,线CD⊥AB于点E,G是弧AC上任意一点,延长AG,与DC的延长线交于点F,连接AD,GD,CG.
(1)求证:∠AGD=∠FGC;
(2)求证:△CAG∽△FAC;
(3)若AG•AF=48,CD=4,求⊙O的半径.
题组C 培优拔尖练
18.如图,分别以下列选项作为一个已知条件,不一定能得到△AOB与△COD相似的是( )
A. B. C. D.∠BAC=∠BDC
19.如图,四边形ABCD内接于半径为4的⊙O,BD=4,连AC交BD于E,若E为AC的中点,且AB=AD,则四边形ABCD的面积是( )
A.6 B.8 C.9 D.18
20.如图,在△ABC中,AB=AC=9,BC=12,D,E分别是BC,AB上的动点(点D与B,C不重合),且2∠ADE+∠BAC=180°,若BE=4,则CD的长为 .
21.如图,DA⊥AC,BC⊥AC,AB与CD相交于点E,过点E作EF⊥AC交AC于F,且BC=2,AD=3,则EF的长为 .
22.如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=3,BC=4,点E在BC边上,若AE⊥AD,且∠AEB=∠DEA,则BE的长为 .
23.如图,在正方形ABCD中,点E在BC边上,连接AE,∠DAE的平分线AG与CD边交于点G,与BC的延长线交于点F.设=λ(λ>0).
(1)若AB=2,λ=1,求线段CF的长为 ;
(2)连接EG,若EG⊥AF,则λ的值为 .
24.如图,△ABC内接于半径为的半圆O中,AB为直径,点M是的中点,连结BM交AC于点E,AD平分∠CAB交BM于点D,∠ADB=135°且D为BM的中点,则DM的长为 ;BC的长为 .
25.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能经过B、C),过D作∠ADE=45°,DE交AC于E.
(1)设BD=x,AE=y,求y与x的函数关系,并写出其定义域;
(2)若三角形ADE恰为等腰三角形,求AE的长.
26.从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中,一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图②,在△ABC中,AC=3,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.