初中数学4.3 相似三角形课时训练

这是一份初中数学4.3 相似三角形课时训练，文件包含专题47相似三角形的证明与计算专项训练60道教师版-2023年九年级上册数学举一反三系列浙教版docx、专题47相似三角形的证明与计算专项训练60道学生版-2023年九年级上册数学举一反三系列浙教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共123页， 欢迎下载使用。

考卷信息：
本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！
一．解答题（共30小题）
1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在中，点在边上，.
（1）求证：；
（2）若求的长.
2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在中，，于D．
求证：．
4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB．
6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．
7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，∠1=∠2，，求证：∠C=∠D．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，∠MPN的旋转随即停止.
（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：△ABP ∽△PCD
（2）如图3，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由
（3）设AE，连结EF，则在旋转过程中，当为何值时，△BPE与△PEF相似.
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且，求证：．
10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接，，求的值．
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边上一点，且满足．
(1)证明：；
(2)若，，求AB的长．
12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2；
（1）证明：△ABC∽△ADE．
（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件为： ．
13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE是的高．
（1）求证：；
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，，E为与的交点，F在上，求证：．
15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．
①如图2，若PQ＝5，求AP长．
②如图3，若BD平分∠PDQ．则DP的长为 ．
16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．
18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．求证：△ADF∽△DEC；
19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，点，分别在边、上，与相交于点，且，，．求证：．
20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．
21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：．
22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在△ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．
（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，△ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．
①求a，b之间的等量关系；
②若AE是△ABD的中线．求证：△ACE是“和谐三角形”．
23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．
26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知．
（1）求证：；
（2）若ABCD为平行四边形，，，求FD的长度．
27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知中，，点在边上，满足
求证：（1） （2）．
29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点F是线段上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点F为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，求的长．
30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．
（1）求证：△CAE≌△BAD；
（2）求证：△AMN∽△ABC；
（3）若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．
32．（2022·全国·九年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．
问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号）
求证：．
33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．
34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD是平行四边形．
若，，，求AB的长．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，E是边的中点，于点F．
(1)求证：．
(2)已知，求的长．
36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
(1)求证：△DMN∽△BCN；
(2)求BD的长；
(3)若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点．
（1）如图1，连接．求证：；
（2）如图2，连接．
①求证：；
②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）．
38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．
(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．
40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，
（1）若BK＝KC，求的值；
（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝AD（n＞2）时，线段AB、BC，CD三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．
(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PEBC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．
(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）
(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上， 将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．

(1)如图 1，当＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．
47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接作垂足为H，交CD于F作，交BF于
求证：；
．
48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．
(1)若点E为AB的中点，求的值．
(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．
(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．
49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．
∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．
【实践探究】
（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展】
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．

50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践
问题情境：在Rt中，，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
(1)操作发现：如图①，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①的度数为______；
②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
(2)探究证明：如图2，当时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若，在点D的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．
52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求线段的长．
53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝DE＝AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．
（1）[问题发现]
①当θ＝0°时，＝ ； ②当θ＝180°时，＝ ；
（2）[拓展研究]
试判断：当0°≤θ＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）[问题解决]
在旋转过程中，BE的最大值为 ．
54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB=∠ACB+90°．
（1）求证：∠CAD+∠CBD=90°；
（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，
①求证：△ACD∽△BCE；
②求的值．
55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是．
(1)如图①，在中，∠A＝36°，，∠ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：
(2)如图②，在中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，，，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，
56．（2022·山东·淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，PF⊥BD，如图（1），证明四边形是菱形；
（2）若，如图（2），求证：．
57．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在中，平分，E是上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
58．（2022·全国·九年级专题练习）[教材呈现]下面是华师大九年级上最数学教材第76页的部分内容．
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．
结合图①，完成解答过程．

[拓展]
（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为 ；
（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB=4，AD=3，则EF的长为 ．
59．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）( 定义：长宽比为 ∶1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
(1)证明：四边形ABCD为矩形；
(2)点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求NB：CN的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝
60．（2022·四川广元·二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝________；β＝________；
（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；
（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB， AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：
①＝________；
②请直接写出α和β之间的关系式．