初中人教版14.2.1 平方差公式获奖ppt课件

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【观察思考】

问题：下面的两个算式你能马上说出答案吗？

201×199=？        1003×997=？

追问：想知道怎么能快速的算出答案吗？

这节课我们一起来研究这个问题.

【复习回顾】

多项式与多项式相乘

(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq

多项式与多项式相乘的法则：

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

认真思考

熟悉多项式相乘的运算法则

通过两个算式引入，让学生快速回答，激发学生的求知欲，提高学习兴趣.

通过复习回顾熟悉已学知识，为新知识的学习作准备.

环节二 探究新知

【探究】

教师活动：先给出式子让学生计算出结果，然后通过追问引导学生发现这些等式的规律，得出平方差公式.

问题1：计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？

(1)  (x+1)(x1)=                 ；

(2)  (m+2)(m2)=                ；

(3)  (2x+1)(2x1)=               .

   答案：(1) x21； (2) m24； (3) 4x21.

观察上面的等式，你能发现什么规律？

追问1：下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？

(1)  (x+1)(x1)=x21；

(2)  (m+2)(m2)=m24；

(3)  (2x+1)(2x1)=4x21.

答案：均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.

追问2：相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？

答案：两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.

追问3：根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.

答案：猜想(a+b)(ab)=a2b2

追问4：你能对发现的规律进行推导吗？

小组合作：

1.独立思考，完成验证；

2.两人一组，交流思路，完善过程.

推导过程：

(a+b)(ab)

=a2ab+abb2

=a2b2

平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

【思考】

问题2：你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？

小组合作：

1.独立思考，完成验证；

2.四人一组，交流思路，完善过程.

3.学生分组展示过程.

推导过程：

S1+S3=a2b2        S1+S2=(a+b)(ab)

∵ S2=S3

∴ (a+b)(ab)=a2b2

追问：是否还有其它的剪拼方法来证明？

教师活动：先让学生思考，然后播放视频，让学生感知剪拼过程，并简单梳理推导过程.

【归纳】   

平方差公式的特征

       等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.

       等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.

       公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.

【做一做】

判断下列式子是否能用平方差公式计算：

(1)  (a+2b)(a−2b)

(2)  (a−2b)(2b−a) 

(3)  (2ab)(b+2a)

(4)  (a−3b)(a+3b)

(5)  (2x+3y)(3y−2x)

答案：(1) 不能，不存在相同的项；

(2) 不能，不存在相同的项； 

(3) 不能，不存在相反的项；

(4) 能，a2−(3b)2  = a2+9b2

(5) 不能，不存在相反的项.

小总结：符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算.

快速运算出结果

认真观察并思考

先自主完成，再小组交流

熟悉平方差公式

先独立思考，再分组探究交流

认真观看视频

熟悉平方差公式的特征

认真思考并抢答

让学生通过多项式相乘的运算法则计算出结果，由熟悉的知识入手，提高学习积极性.

通过追问引导学生发现等式的规律，培养学生的观察分析能力.

   通过合作探究培养学生的合作意识，并让学生感知从一般到特殊的研究问题的方法.

利用几何图形的面积验证平方差公式，让学生从不同的角度理解这一公式，了解平方差公式的几何意义，并让学生感知数形结合的思想.

通过不同的剪拼方法，让学生进一步熟悉平方差公式的几何意义.

通过归纳平方差公式的特征，培养学生的观察分析能力和归纳概括能力.

通过抢答进一步熟悉平方差公式的特征，并提高学习积极性.

环节三

应用新知

【典型例题】

【例1】运用平方差公式计算：

(1)  (3x+2)(3x2) ；

(2)  (x2y)(x+2y)

提示：关键是确认公式中的a，b分别代表什么.

解：(1)  (3x+2)(3x2)

= (3x)222

= 9x24；

(2)  (x2y)(x+2y)

= (x)2(2y)2

= x24y2

提问：你还有其他的计算方法吗？

小总结：所有的可应用公式的乘法，都可以用一般的多项式乘法法则来计算.

【例2】计算：

(1)  (y+2)(y2)(y1)(y+5)

(2)  102×98

提示：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.

解： (1)  (y+2)(y2)(y1)(y+5)

        =y222(y2+5yy5)

        =y24y24y+5

        =4y+1

(2)  102×98

   =(100+2)(1002)

   =100222

   =9996

关键：识别式子是否符合公式的条件.

【想一想】

现在能快速说出下面式子的答案吗？

201×199=？          1003×997=？

解：201×199

   =(200+1)(2001)

   =200212

   =3999

1003×997

   =(1000+3)(10003)

   =1000232

   =999991

明确本题的做法

明确本题的做法

快速计算并并回答

   让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，培养学生的应用意识.

让学生在应用过程中进一步加深对平方差公式的认识和理解，并让学生明白只有符合公式条件的乘法或者能变形成满足平方差公式特征的式子，才能运用公式简化运算.

与引入部分呼应，通过PK让学生体验获得新知的喜悦.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)  (x+2)(x2)=x22

(2)  (3a2)(3a2)=9a24

2.运用平方差公式计算：

(1)  (5mn)(5mn)

(3)  (2x+3)(2x3)(3x+2)(2x3)

(选做)

3. (a+3)(a2+9)(a3) 的计算结果是（      ）

A. a4+81   B. a481   C. a481   D. 81a4

答案：

1. 解：(1)正确；

       (2)错误，(3a2)(3a2)=49a2.

  2. 解：(1)  (5mn)(5mn)

            =(n)2(5m)2

            =n225m2

(3)  (2x+3)(2x3)(3x+2)(2x3)

   =(2x)232(6x29x+4x6)

   =4x296x2+9x4x+6

=2x2+5x3

      3. C

解：(a+3)(a2+9)(a3)

         =(a29)(a2+9)

         =a48       

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第108页

练习第2题

第112页

习题14.2第1题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.