沪科版八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形习题

特殊的平行四边形中考题汇编

一、 选择题

1. (2019·广州)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F.若BE＝3，AF＝5，则AC的长为(　　)

A. 4  B.  4  C.  10  D.  8

2. (2019·眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是(　　)

A. 1  B.    C.  2  D. 

3. (2019·陕西)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6.若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为(　　)

A. 1  B.    C.  2  D.  4

4. (2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(　　)

A. 40  B.  24  C.  20  D.  15

5. (2019·大庆)下列说法中不正确的是(　　)

A. 四边相等的四边形是菱形B. 对角线垂直的平行四边形是菱形

C. 菱形的对角线互相垂直且相等D.  菱形的邻边相等

6. (2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(　　)

A. 2  B.  2  C.  4  D.  2

7. (2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1的度数为(　　)

A. 30°  B.  25°  C.  20°  D.  15°

8. (2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)

A. AC⊥BD  B.  AB＝AD    C.  AC＝BD  D.  ∠ABD＝∠CBD

9. (2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　)

A. 8  B.  12  C.  16  D.  32

10. (2019·赤峰)如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(　　)

A. 2.5  B.  3  C.  4  D.  5

11. (2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(　　)

A. 1 cm  B.  2 cm  C.  3 cm  D.  4 cm

12. (2019·深圳)如图，四边形ABCD为菱形，边长为4，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF，∠BAD＝120°，有下列结论：①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④  若AF＝1，则＝.其中，正确的个数为(　　)

A.  1  B.  2  C.  3  D.  4

13. (2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O为原点，点A的坐标为(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线的交点E的坐标为(　　)

A.  (2，)  B.  (，2)

C.  (，3)  D.  (3，)

14. (2019·鄂尔多斯)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED的度数为(　　)

A. 15°  B.  35°  C.  45°  D.  55°

15. (2019·河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(　　)

A. 1  B.  2  C.  3  D.  4

16. (2019·孝感)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为(　　)

A.   B.    C.    D. 

17. (2019·乐山)把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中涂色部分的面积为(　　)

A.   B.    C.    D. 

18.(2019·济南)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交BD于点M，N，连接EN，EF.有下列结论：①  AN＝EN；②  当AE＝AF时，＝2－；③  BE＋DF＝EF；④  存在点E，F，使得NF＞DF.其中，正确的个数是(　　)

A. 1  B.  2  C.  3  D.  4

二、 填空题

19. (2019·兰州)如图，四边形ABCD为矩形，∠BAC＝60°，以点A为圆心，任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧交于点P，作射线AP交BC于点E.若BE＝1，则矩形ABCD的面积为________．

20. (2019·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．

21. (2019·通辽)如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且AE平分∠BAC，则AB的长为________．

22. (2019·广西)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H.已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝________.

23. (2019·北京)在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，有下列结论：①  存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②  存在无数个四边形MNPQ是矩形；③  存在无数个四边形MNPQ是菱形；④  至少存在一个四边形MNPQ是正方形．其中，正确的有________(填序号)．

24. (2019·无锡)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点(不与点B重合)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为________．

25. (2019·绍兴)如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为__________．

26. (2019·常州)如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M，N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝________.

27. (2019·温州)三个形状大小相同的菱形按如图所示的方式摆放．已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2 cm.若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为________cm.

三、 解答题

28. (2019·云南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.

(1)  求证：四边形ABCD是矩形；

(2)  若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．

第28题

29. (2019·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F分别是AD，BC的中点．

(1)  求证：△ABM≌△CDN；

(2)  G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．

第29题

30.(2019·连云港)如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.

(1)  求证：△OEC为等腰三角形．

(2)  连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形？请说明理由．

第30题

31. (2019·青海)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：

(1)  △AEF≌△DEB；

(2)  四边形ADCF是菱形．

第31题

32.(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F.

(1)  求证：AE＝BF；

(2)  若E是AD的中点，AB＝2，求BD的长．

第32题

33.(2019·贺州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.

(1)  求证：△ABE≌△CDF.

(2)  当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．

第33题

34.(2019·天门)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC的延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接AE，GF.求证：

(1)  AE⊥BF；

(2)  四边形BEGF是平行四边形．

第34题

35.(2019·杭州)如图，正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上．设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.

(1)  求线段CE的长；

(2)  若H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG.

第35题

36.(2019·内江)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD的延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.

(1)  求证：△ABE≌△ADF；

(2)  若AE＝5，求EF的长．

第36题

37. (2019·长沙)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.

(1)  求证：BE＝AF；

(2)  若AB＝4，DE＝1，求AG的长．

第37题

38.(2019·湘西州)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.

(1)  求证：△ABF≌△CBE；

(2)  若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．

第38题

39.(2019·哈尔滨)在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.

(1)  如图①，求证：AE＝CF；

(2)  如图②，当∠ADB＝30°时，连接AF，CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的，并说明理由．

40.(2019·绍兴)有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

(1)  若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

(2)  能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这块矩形材料的面积的最大值；如果不能，请说明理由．

第40题

参考答案

一、  A　  B　  C　  B　  C　  C　  D　    C　  C

  A　    A　  D　    D　    C　  C　  A　    A

    B

二、     3　　　　①②③　  8

    15°或45°　  6或　  (12＋8)

三、   (1)  ∵ AO＝OC，BO＝OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形．∵∠AOB＝∠OAD＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠OAD＝∠ADO.∴ AO＝OD.∴ AC＝BD.∴ 四边形ABCD是矩形　(2)  ∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°.∴∠ADO＋∠ODC＝90°.∵∠AOB＝2∠OAD，∠OAD＝∠ADO，∴∠AOB＝2∠ADO.∵∠AOB∶∠ODC＝4∶3，∴∠ADO∶∠ODC＝2∶3.∴∠ADO＋∠ADO＝90°.∴∠ADO＝36°

  (1) ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AB∥CD.∴∠MAB＝∠NCD.在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN　(2)  如图，连接EF，交AC于点O.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD＝BC，AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO.∵ E，F分别是AD，BC的中点，∴ AE＝AD，CF＝BC.∴ AE＝CF.在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO.∴ EO＝FO，AO＝CO.∴ O为EF，AC的中点．在Rt△ABC中，∵  AB＝3，BC＝4，∴  AC＝＝5.∴  AO＝CO＝.∵∠EGF＝90°，∴ OG＝EF＝.∴ AG＝OA－OG＝1或AG＝OA＋OG＝4.∴ AG的长为1或4

  (1)  ∵ AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴ AB∥DE.∴∠B＝∠DEC.∴∠ACB＝∠DEC.∴ OE＝OC，即△OEC为等腰三角形　(2)  当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形．理由：∵ AB＝AC，E为BC的中点，∴ AE⊥BC，BE＝EC.∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，∴ BE∥AD，BE＝AD.∴ AD∥EC，AD＝EC.∴ 四边形AECD是平行四边形．∵ AE⊥BC，∴∠AEC＝90°.∴ 四边形AECD是矩形．

  (1)  ∵ AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB　(2)  由(1)知，△AEF≌△DEB，∴ AF＝BD.∵  D是BC的中点，∴ BD＝CD.∴ AF＝CD.又∵ AF∥BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴ AD＝BC＝CD.∴ 四边形ADCF是菱形

    (1)  ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵ BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.在△AEB和△BFC中，∴△AEB≌△BFC.∴ AE＝BF　(2) ∵ E是AD的中点，BE⊥AD，∴ BD＝AB＝2

  (1)  ∵ 四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴ Rt△ABE≌Rt△CDF　(2)   当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形　理由：∵△ABE≌△CDF，∴ BE＝DF.∵ 四边形ABCD是矩形，∴  BC∥AD，BC＝AD.∴  BC－BE＝AD－DF，即CE＝AF.∵ CE∥AF，∴ 四边形AECF是平行四边形．又∵ AC⊥EF，∴ 四边形AECF是菱形．

  (1)  ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠ABE＝∠BCF＝90°.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵ EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.∴∠BAE＝∠CEG.∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°.∴ AE⊥EG.∴ AE⊥BF　(2)  如图，延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.∵ CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°.∴∠P＝∠ECG.在△APE和△ECG中，∴△APE≌△ECG.∴ AE＝EG.∵△ABE≌△BCF，∴ AE＝BF.∴ EG＝BF.∵ EG∥BF，∴ 四边形BEGF是平行四边形

  (1)  设正方形CEFG的边长为a.∵ 正方形ABCD的边长为1，∴ DE＝1－a.∵ S1＝S2，∴ a2＝1×(1－a)，解得a＝－(负值舍去)．∴  线段CE的长是－　(2)  ∵  H为BC边的中点，BC＝1，∴ CH＝.∴ HD＝＝＝.∵ CH＝，CG＝－，∴ HG＝CH＋CG＝.∴ HD＝HG

    (1)  ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°.在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF　(2)  ∵△ABE≌△ADF，∴ AE＝AF，∠BAE＝∠DAF.∵∠BAE＋∠EAD＝90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°.∴△AEF为等腰直角三角形．∴  EF＝AE＝5

   (1)  ∵ 四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD.∵ DE＝CF，∴  AD－DE＝CD－CF，即AE＝DF.在△BAE和△ADF中，∴△BAE≌△ADF.∴ BE＝AF　(2)  由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD.∵∠EBA＋∠AEB＝90°，∴∠GAE＋∠AEG＝90°.∴∠AGE＝90°，即AG⊥BE.∵ AD＝AB＝4，DE＝1，∴ AE＝4－1＝3.∴ BE＝＝5.在Rt△ABE中，AB·AE＝BE·AG，∴ AG＝＝

   (1)  ∵  四边形ABCD是正方形，∴  AB＝BC，∠A＝∠C＝90°.在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE　(2)  ∵△ABF≌△CBE，∴  S△ABF＝S△CBE＝×4×1＝2.∴  S四边形BEDF＝42－2－2＝12

 (1)  ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF.∴ AE＝CF　(2)  △ABE，△CDF，△BCE，△ADF　理由：∵  四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.∵∠ADB＝30°，∴  AB＝BD.∵△ABE≌△CDF，∴  BE＝DF，AE＝CF.∴  S△ABE＝S△CDF＝S△BCE＝S△ADF.易证△ABE∽△DBA，∴＝＝.又∵  S△DBA＝S矩形ABCD，∴＝.∴  S△ABE＝S△CDF＝S△BCE＝S△ADF＝S矩形ABCD.

   (1)  ①  如图①，若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于点F，则矩形材料的面积S1＝AB·BC＝6×5＝30.②  如图②，若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EI⊥AE交CD于点I，过点I作IG⊥AB于点G，过点C作CH⊥IG于点H，则四边形AEIG为矩形，四边形BCHG为矩形．∴  IG＝AE＝6，HG＝BC＝5，CH＝BG，∠HCB＝90°.∴  IH＝IG－HG＝1.∵∠BCD＝135°，∴∠ICH＝45°.∴△CHI为等腰直角三角形．∴ CH＝IH＝1.∴ BG＝1.∴ AG＝AB－BG＝5.∴  矩形材料的面积S2＝AE·AG＝6×5＝30.∴  若所截矩形材料的一条边是BC或AE，则矩形材料的面积是30　(2)  能．如图③，在CD上取点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AE于点N，过点C作CQ⊥PM于点Q，则四边形ANPM为矩形，四边形BCQM为矩形．∴  MQ＝BC，BM＝CQ，∠QCB＝90°.∵∠BCD＝135°，∴∠PCQ＝45°.∴△PCQ为等腰直角三角形．∴ PQ＝CQ.∴ PQ＝BM.设AM＝x，则BM＝6－x，∴ PM＝MQ＋PQ＝BC＋BM＝11－x.∴ 矩形材料的面积S＝AM·PM＝x(11－x)＝－(x－5.5)2＋30.25.∵  －1<0，0<x<6，∴ 当x＝5.5时，S的最大值为30.25.∴这块矩形材料的面积的最大值为30.25