数学19.3 矩形 菱形 正方形完美版课件ppt

3.正方形

【知识与技能】

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

【过程与方法】

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度】

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.

【教学重点】

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.

【教学难点】

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.

一、创设情境，导入新课

1.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.

2.通过折纸思考：什么样的四边形是正方形？

【教学说明】学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．

二、合作探究，探索新知

1.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）

【教学说明】通过前面的折叠对正方形的形象有一个直观的认识，然后再对照正方形的形状，让学生归纳正方形的定义，最后教师再进行强调.

2.【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

3.归纳、总结正方形的性质：

因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合.

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.

【教学说明】教师引导学生从菱形和矩形的角度分析，从而得出正方形的性质，并让学生结合图形简述理由，最后教师再进行总结和强调.

4.正方形的判定

操作1  你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？并请你把刚才所做的实验用图形表示出来.然后与邻位同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？

正方形的判定1  有一组邻边相等的矩形是正方形.

操作2  你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形.

正方形的判定 2有一个角是直角的菱形是正方形.

【教学说明】让学生通过实际动手操作，观察思考得出正方形的判定方法，然后让学生结合图形简述理由，最后再进行总结.

三、示例讲解，掌握新知

例1 如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.

求证：四边形A′B′C′D′是正方形.

证明： 因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD＝DA.

又 ∵AA′=BB′=CC′=DD′，

∴D′A＝A′B＝B′C＝C′D.

∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′，（SAS）.

∴A′B′＝B′C′＝C′D′＝D′A′，

即四边形A′B′C′D′是菱形.

又 ∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝90°，

∴∠2＋∠3＝90°，

∴∠D′A′B′＝90°.

所以四边形A′B′C′D′是正方形.

【教学说明】先判定四边形是菱形，然后再证明这个菱形是正方形，首先要让学生明确思路，再进行证明.

例2 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F.

求证：OE=OF.

【分析】要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）.

又∵DG⊥AE，

∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.

∴∠EAO=∠FDO.

∴△AEO≌△DFO.

∴OE=OF.

【教学说明】这里要充分应用正方形对角线的性质进行证明，可以稍作引导，然后再让学生证明.

四、练习反馈，巩固提高

1.如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是_____厘米.

第1题图                 第2题图

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_____时，四边形DECF是正方形.（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）

3.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.

【答案】1.        2.AC=BC

3.证明：（1）

∵对角线BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中， ,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB=∠CDB;

（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD,

∴∠PMD=∠PND=90°,

∵∠ADC=90°,

∴四边形MPND是矩形，

∵∠ADB=∠CDB,

∴∠ADB=45°

∴PM=MD,

∴四边形MPND是正方形.

【教学说明】第1题是对正方形性质的应用，第2题是对正方形判定的应用，第3题是对正方形判定的应用，学生应该独立完成，教师再根据学生出现的问题进行强调.

五、师生互动，课堂小结

正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系.

【教学说明】学生总结，教师通过画结构图的形式来理解正方形的性质和判定.

完成同步练习册中本课时的练习.

在教学中应该注意以下几点：

第一、利用图形比较进行教学，学生比较容易理解，同时很清楚各种图之间的关系. 结合矩形和菱形的条件得到正方形的定义：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形.在分析定义时，强调了正方形定义和前面两类特殊平行四边形的异同.突出要得到正方形的三个条件，1.一个角是直角；2.有一组邻边相等；3.是平行四边形；并指出每一个条件的作用.

第二、通过归纳矩形和菱形的性质得到正方形的性质，有前面学习的基础，学生掌握的比较轻松.

第三、正方形的判定，教材的处理没有用专门的判定，对于正方形的证明主要是通过定义，但是在证明的过程中又进行相应的结合，并不是纯粹的证明出三个条件.根据上面几个图形得到了判断的几种方法.首先根据定义，由平行四边形直接得到.然后由矩形增加条件得到，还有菱形增加一个条件得到.虽然没有专门用黑体字表示，但是实际上证明都可以用，总的来说其实就是用到了定义进行证明.在学习判定方法时，能够引导学生对判定方法进行证明，引导学生从边角对角线等角度去思考，避免了学生思维混乱，无从下手的局面.

第四、详细讲解范例，主要是引导学生，对于正方形的证明的思路以及书写的格式.