【同步讲义】苏科版数学八年级上册：专题03 角平分线的性质综合题 讲义（导图+易错点拨+易错题专训）

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专题03 角平分线的性质（综合题）

易错点拨

知识点：角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
易错题专训

一．选择题
1．（2021秋•西宁期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠BAF＝∠CAF
C．∠B+∠BAD＝90° D．S△ABC＝2S△ABF
【易错思路引导】根据三角形的角平分线、中线和高的概念及三角形的面积公式判断．
【规范解答】解：∵AF是△ABC的中线，
∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，C说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，B说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：B．
【考察注意点】本题考查的是三角形面积、三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形面积公式及三角形中线、高、角平分线的概念是解题的关键．
2．（2022春•城阳区期中）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为18cm2，则△BOC的面积为（　　）cm2．

A．27 B．54 C． D．108
【易错思路引导】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根据三角形面积公式得到S△BOC：S△AOB＝BC：AB．
【规范解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∴S△BOC＝×18＝27（cm2）．
故选：A．

【考察注意点】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．（2022春•龙岗区校级期中）如图，AP平分∠CAB，PD⊥AC于点D，若PD＝6，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是（　　）

A．PE＝6 B．PE＞6 C．PE≤6 D．PE≥6
【易错思路引导】过P点作PH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝6，然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
【规范解答】解：过P点作PH⊥AB于H，如图，
∵AP平分∠CAB，PD⊥AC，PH⊥AB，
∴PH＝PD＝6，
∵点E是边AB上一动点，
∴PE≥6．
故选：D．

【考察注意点】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
4．（2022春•开江县期末）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【易错思路引导】过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，根据角平分线的性质可得EO＝DO＝FO，再根据三角形的面积公式可得S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
【规范解答】解：过O分别作OE⊥AB，FO⊥BC，OD⊥AC，
∵BO是∠ABC平分线，
∴EO＝FO，
∵CO是∠ACB平分线，
∴EO＝DO，
∴EO＝DO＝FO，
∵S△ABO＝AB•EO，S△BCO＝CB•FO，S△CAO＝AC•DO，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝30：40：50＝3：4：5．
故选：D．

【考察注意点】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
5．（2022春•亭湖区校级期末）如图，∠ABC、∠ACE的平分线BP、CP交于点P，PF⊥BD，PG⊥BE，垂足分别为F、G，下列结论：①S△ABP：S△BCP＝AB：BC；②∠APB+∠ACP＝90°；③∠ABC+2∠APC＝180°，其中正确的结论有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【易错思路引导】根据角平分线的性质得到PF＝PG，根据三角形的面积公式即可得到①正确；过P作PH⊥AC于H，根据角平分线的定义和外角定理得到∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，求得∠ACB＝2∠APB，于是得到∠APB+∠ACP＝90°，故②正确；根据四边形的内角和定理得到∠ABC+∠FPG＝180°，根据全等三角形的性质得到∠APF＝∠APG，∠CPH＝∠CPG，于是得到∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确．
【规范解答】解：∵PB平分∠ABC，PF⊥BD，PG⊥BE，
∴PF＝PG，
∴S△ABP：S△BCP＝AB•PF：BC•PG＝AB：BC，故①正确；
过P作PH⊥AC于H，
∵PC平分∠ACE，
∴PH＝PG，
∴PF＝PH，
∴PA平分∠CAF，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CAF＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAF，∠PAF＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，
∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴＝∠APB+∠ACP＝90°，故②正确；
∵PF⊥AB，PG⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠FPG+90°＝360°，
∴∠ABC+∠FPG＝180°，
在Rt△PAF和Rt△PAH中，
，
∴Rt△PAF≌Rt△PAH（HL），
∴∠APF＝∠APG，
同理：Rt△PCH≌Rt△PCG（HL），
∴∠CPH＝∠CPG，
∴∠FPG＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故③正确；
故选：D．

【考察注意点】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（2021秋•十堰期末）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路引导】如图，①根据直角三角形的性质即可得到∠DEA＝∠AGH；②根据角平分线的定义得∠EAC＝∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA．
【规范解答】解：如图，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故③正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故④正确；
故选：D．
【考察注意点】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二．填空题
7．（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于MN为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 　5　．

【易错思路引导】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【规范解答】解：作DE⊥AB于E，

由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×2＝5，
故答案为：5．
【考察注意点】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．（2021秋•伊川县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D．如果AC＝10cm，那么AE+DE等于 　10cm　．

【易错思路引导】根据角平分线的性质得出DE＝CE，求出AE+DE＝AC，再代入求出答案即可．
【规范解答】解：∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，
∵AC＝10cm，
∴AE+DE＝AE+CE＝AC＝10cm，
故答案为：10cm．
【考察注意点】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9．（2022春•零陵区期末）如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是　16　．

【易错思路引导】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝2，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【规范解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，

∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
【考察注意点】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
10．（2021秋•垦利区期末）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为　6　．

【易错思路引导】作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到PF＝PE＝3，PG＝PE＝3，根据平行线间的距离的求法计算即可．
【规范解答】解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF＝PE＝3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG＝PE＝3，
∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG＝6，
故答案为：6．

【考察注意点】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（2021秋•江州区期末）△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是　4　．

【易错思路引导】过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE＝OF＝OD＝2，利用三角形的面积公式可解得结果．
【规范解答】解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC
＝
＝
∵△ABC的面积18，
∴＝18，
解得：BC＝4，
故答案为：4．

【考察注意点】本题主要考查了角平分线的性质，作出恰当的辅助线，利用角平分线的性质是解答此题的关键．
12．（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 　4　．

【易错思路引导】如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．利用全等三角形的性质证明EF＝EM+FN，可得结论．
【规范解答】解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．

∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
【考察注意点】本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，证明EF＝EM+FN是本题的突破点．
三．解答题（共8小题）
13．（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝　71　°．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知，则BC的长为 　9　．
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．


【易错思路引导】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠ACB，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【规范解答】解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝ABC＝29°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，
故答案为：71；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∴＝＝＝，
∴BC＝9，
故答案为：9；
（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣α）
＝90°﹣α，
在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°﹣α）
＝90°+α，
∵∠ACE为△ABC的外角，设∠ABC＝β，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，
∴∠FBE＝∠ABC＝β∠FCE＝∠ACE，
∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE＝（α+β）﹣β＝α．

【考察注意点】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（2021秋•安庆期末）教材呈现，如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，△ABC的周长是10，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，求△ABC的面积．

【易错思路引导】定理证明：利用AAS判定△OEP≌△ODP可得PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO＝DO，OF＝DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【规范解答】定理证明：证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△OEP和△ODP中，
，
∴△OEP≌△ODP（AAS），
∴PE＝PD；

定理应用：解：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，
∴EO＝FO＝3，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴△ABC的面积：AB•EO+AC•FO+CB•DO＝（AB+AC+BC）＝×10＝15．

【考察注意点】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
15．（2021秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．

【易错思路引导】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【规范解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8cm．
【考察注意点】本题主要考查了三角形面积的计算方法，以及角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
16．（2021秋•密山市校级期末）如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．

【易错思路引导】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【规范解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
【考察注意点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键．
17．（2021秋•东昌府区校级月考）如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F．PE＝PF．Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N，QM与QN相等吗？请证明．

【易错思路引导】根据到角的两边的距离相等的点再叫的平分线上可得OP是∠AOB的角平分线，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得QM＝QN．
【规范解答】解：QM＝QN，
理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F，PE＝PF，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM＝QN．
【考察注意点】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18．（2017秋•东昌府区期末）阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（　已知　），
∴OE＝OF（　角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等　）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（　等量代换　）．
∵CP是∠ACB的平分线（　已知　），
∴O在CP上（　角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上　）．
因此，AM，BN，CP交于一点．

【易错思路引导】根据角平分线的性质解答即可．
【规范解答】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【考察注意点】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的两个性质解答．
19．（2019秋•呼和浩特期末）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．

【易错思路引导】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【规范解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．

【考察注意点】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（2020秋•江宁区月考）我们把从一个角的顶点引出把这个角分成两个完全相同的角的射线叫做这个角的平分线．如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD或BE叫做∠ABC的“三等分线”．

【基础运用】
（1）已知△ABC，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，若∠BAC＝α（α＜60°），则BM、CN所在直线的夹角的度数为 　　​​​​​​​．（用含α的代数式表示）
【概念提升】
（2）在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三等分线与∠C的外角的三等分线交于点D，则∠BDC的度数为 　或或或　​​．
【问题解决】
∠EAB是四边形ABCD的外角，设∠B＝α、∠C＝β．
（3）如图②，∠ADC和∠EAB的三等分线DN、AN相交于点N（∠CDN＝∠ADC，∠BAN＝∠EAB），求证：∠N＝（α+β）﹣120°；
（4）如图③，∠ADC和∠EAB的n等分线分别相交于点P1、P2、P3、…、Pn﹣1，则∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1＝　　（用含α、β、n的代数式表示）．
【易错思路引导】（1）设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，直线BM与直线CN相交于点F，根据角平分线的性质和三角形的外角性质用含α的代数式即可表示出BM、CN所在直线的夹角的度数；
（2）画出图形，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点有四个，分别为D1、D2、D3和D4，根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求出∠BD1C、∠BD2C、∠BD3C和∠BD4C的度数；
（3）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可证明；
（4）根据角平分线的性质和三角形的外角性质用含α、β、n的代数式表示出∠P1、∠P2、∠P3、…、∠Pn﹣1，再将它们加在一起即可计算出∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1．
【规范解答】解：（1）如图所示，设∠ABC＝β，∠ACB＝γ，直线BM与直线CN相交于点F，
由题意可得，β+γ＝180°﹣α，
∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，
∴，，
∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，
∴，，
∴，，
∴∠F＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣＝180°﹣＝，
故答案为：；
（2）如图所示，∠ABC的三等分线与∠ACB的外角的三等分线的交点为D1、D2、D3和D4，
∵∠A＝70°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，
∴∠BD1C＝180°﹣15°﹣65°﹣＝，
∴∠BD2C＝∠BD1C﹣15°＝，∠BD3C＝∠BD1C﹣，
∴∠BD4C＝∠BD3C﹣15°＝，
故答案为：或或或；
（3）证明：如图所示，

∵∠1＝∠2+∠N，
∴∠N＝∠1﹣∠2，
∵，，
∴﹣＝120°﹣（∠BAD+∠ADC），
∵∠BAD+∠ADC+α+β＝360°，
∴∠BAD+∠ADC＝360°﹣（α+β），
∴∠N＝120°﹣（∠BAD+∠ADC）＝120°﹣＝（α+β）﹣120°；
（4）∵∠P1AE＝∠P1+∠P1DA，
∴∠P1＝∠P1AE﹣∠P1DA
＝
＝（180°﹣∠BAD）﹣∠ADC
＝
＝
＝
＝，
同理可得，，，……，
∴∠P1+∠P2+∠P3+…+∠Pn﹣1
＝（+……++）（α+β﹣180°）
＝（α+β﹣180°）
＝，
故答案为：．
【考察注意点】本题考查了角平分线的性质和三角形的外角性质，利用角平分线的性质进行角的计算是解答本题的关键