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人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定精品课堂检测
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这是一份人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定精品课堂检测，文件包含同步讲义人教版数学八年级上册专题1224三角形全等的判定4AAS学生版docx、同步讲义人教版数学八年级上册专题1224三角形全等的判定4AAS教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共67页， 欢迎下载使用。
专题12.2.4 三角形全等的判定4（AAS）
目标导航
1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“AAS”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定4：（AAS）
知识点
三角形全等的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件
例1．（2021•覃塘区八年级期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
【即学即练】
1．（2021•句容市八年级月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等（实际应用）
例2．（2021•南关区八年级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．
【即学即练】
2.（2022•嘉定区八年级期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）
例3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE=________cm．
【即学即练1】
3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________．
【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等（求角的度数）
例4．（2022·山东·八年级期末）如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)与全等吗？为什么？(2)已知，，求的度数．
【即学即练2】
2．（2021•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
知识拓展5】利用AAS证明三角形全等（证明类）
例5．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．
即学即练5】
5．（2022·浙江·瑞安市八年级阶段练习）如图，在中，，，平分，，垂足为点E，和的延长线交于点F．（1）求证：．（2）求证：．
6．（2021•西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
能力拓展
考法01 利用AAS证明三角形全等（探究类）
【典例1】（2022·山东烟台·七年级期末）如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若，时，求的长．
变式1．（2022•呼兰区八年级期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
变式2．（2021•华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
考法02 全等中的坐标问题
【典例2】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．(1)设点C的坐标为（a，b），求a+b的值．(2)求四边形OACB的面积．(3)在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．
变式2.（2022·福建宁德·八年级期中）在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．(1)如图1，当，，点在第四象限时，直接写出点的坐标．(2)如图2，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，求，，之间的关系．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·河南洛阳·八年级期中）已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
3．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
4．（2021·山东烟台·九年级期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC
A．55 B．16 C．6 D．4
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝________．
7．（2021秋•长春期末）如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm．
8．（2022·天津蓟州·八年级期末）如图，已知相交于点O，ABCD．求证．
9．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
10.（2021•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．
组B 能力提升练
1．（2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中）如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为E、F两点，则图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2.（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155° B．125° C．135° D．145°
3．（2022·四川南充·八年级期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·深圳大学附属中学七年级期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．
5.（2022•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
6.（2022•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
7．（2022•雁塔区八年级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
8．（2022·陕西榆林·七年级期末）如图，在中，点E在边上，且．
(1)请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若的平分线交于点F，//交于点D，设，，求的长．
9．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AEAC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
(1)如图①，当PDBD时，求证：△PDA△DBC；(2)如图②，当PDAB于点F时，求此时t的值．
10．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．(2)如果将直线绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
题组C 培优拔尖练
1.（2021•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，，，．下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·湖南岳阳·八年级期中）如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.（2021•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
5（2022·广东·执信中学八年级期中）ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．
（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．
6.（2022•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
7．（2022·全国·九年级单元测试）在中，，，直线MN经过点C且于D，于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①≌；②；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
8．（2021·北京市师达中学八年级期中）在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
(1)如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
9．（2022·河南平顶山·七年级期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．
(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点
10．（2022·河南洛阳·八年级期中）【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴AH＝BC．
【拓展】：如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
专题12.2.4 三角形全等的判定4（AAS）
目标导航
1. 经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“AAS”条件判定两个三角形全等；
2. 使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.
3. 通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学 生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.
知识精讲
知识点01三角形全等的判定4：（AAS）
知识点
三角形全等的判定4：角角边（AAS）
文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等；
图形：
符号：在与中，
【微点拨】
1.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
2.全等三角形对应边上的高也相等.
【知识拓展1】角角边判定三角形全等的条件
例1．（2021•覃塘区八年级期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
【即学即练】
1．（2021•句容市八年级月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
【知识拓展2】利用AAS判定三角形全等（实际应用）
例2．（2021•南关区八年级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；（2）求A'到地面的距离．
【即学即练】
2.（2022•嘉定区八年级期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【知识拓展3】利用AAS证明三角形全等（求线段的长度）
例3．（2022·黑龙江黑河·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE=________cm．
【即学即练1】
3．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，E是的边的中点，过点C作，过点E作直线交于D，交于F，若，则的长为__________．
【知识拓展4】利用AAS证明三角形全等（求角的度数）
例4．（2022·山东·八年级期末）如图，点D在边AC上，BC与DE交于点P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)与全等吗？为什么？(2)已知，，求的度数．
【即学即练2】
2．（2021•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．（1）求证：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
知识拓展5】利用AAS证明三角形全等（证明类）
例5．（2021•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．
即学即练5】
5．（2022·浙江·瑞安市八年级阶段练习）如图，在中，，，平分，，垂足为点E，和的延长线交于点F．（1）求证：．（2）求证：．
6．（2021•西城区八年级期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
能力拓展
考法01 利用AAS证明三角形全等（探究类）
【典例1】（2022·山东烟台·七年级期末）如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；②若，时，求的长．
变式1．（2022•呼兰区八年级期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
变式2．（2021•华容县八年级期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求证：EF＝CF﹣BE．（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
考法02 全等中的坐标问题
【典例2】（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中A（0，2），B（﹣1，0），以点A为直角顶点，AB为直角边在第二象限内作等腰直角△ABC．(1)设点C的坐标为（a，b），求a+b的值．(2)求四边形OACB的面积．(3)在（1）的条件下，坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，5），则A点的坐标是_____．
变式2.（2022·福建宁德·八年级期中）在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．(1)如图1，当，，点在第四象限时，直接写出点的坐标．(2)如图2，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，求，，之间的关系．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·河南洛阳·八年级期中）已知：如图，，，要使，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理合适的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
3．（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，AE⊥AB且，BC⊥CD且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
4．（2021·山东烟台·九年级期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为( )
A．S△ABC >S△DEF B．S△ABC
A．55 B．16 C．6 D．4
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．则DE＝________．
7．（2021秋•长春期末）如图，小张同学拿着老师的等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每个长方体教具高度均为6cm，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm．
8．（2022·天津蓟州·八年级期末）如图，已知相交于点O，ABCD．求证．
9．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求证：ABC≌CDE．
10.（2021•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．
组B 能力提升练
1．（2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中）如图，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分别为E、F两点，则图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2.（2021秋•苏州期末）如图，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，则∠ABE的度数为（ ）
A．155° B．125° C．135° D．145°
3．（2022·四川南充·八年级期末）如图，点B，C，E在同一直线上，且，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学七年级期中）如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广东·深圳大学附属中学七年级期末）如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____．
5.（2022•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
6.（2022•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
7．（2022•雁塔区八年级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
8．（2022·陕西榆林·七年级期末）如图，在中，点E在边上，且．
(1)请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若的平分线交于点F，//交于点D，设，，求的长．
9．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D在AC上，且AD=6cm，过点A作射线AEAC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．
(1)如图①，当PDBD时，求证：△PDA△DBC；(2)如图②，当PDAB于点F时，求此时t的值．
10．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E．
(1)请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．(2)如果将直线绕点C进行旋转，其它条件不变，（1）中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
题组C 培优拔尖练
1.（2021•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，，，．下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·湖南岳阳·八年级期中）如图，P是∠AOB平分线上的点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，则下列结论：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC与POD的面积相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.（2021•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
5（2022·广东·执信中学八年级期中）ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．
（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．
6.（2022•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
7．（2022·全国·九年级单元测试）在中，，，直线MN经过点C且于D，于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①≌；②；
(2)当直线MN烧点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
8．（2021·北京市师达中学八年级期中）在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，顶点A、C分别在y轴、x轴上．
(1)如图，已知点，，点B在第四象限时，则点B的坐标为 ；
(2)如图，点C、A分别在x轴、y轴的负半轴上，BC边交y轴于点D，AB边交x轴于点E，若AD平分∠BAC，点B坐标为．探究线段AD、OC、OD之间的数量关系．请回答下列问题：
①点B到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；
②写出点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，点D的坐标为 ；
③直接写出线段AD、OC、OD之间的数量关系： ．
9．（2022·河南平顶山·七年级期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．
(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点
10．（2022·河南洛阳·八年级期中）【发现】：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH＝BC．
【证明】：∵AH⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠AHC＝90°＝∠BAC．
∴∠BAH＋∠CAH＝90°，∠BAH＋∠B＝90°．
∴∠CAH＝∠B（ ），
在△ABH和△CAH中，
．
∴△ABH≌△CAH．（ ）．
∴BH＝AH，AH＝CH．（ ）．
∴AH＝BC．
【拓展】：如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为 ，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
【应用】：在如图3的两张图中，在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝90°，在同一平面内有一点P，满足PC＝1，PB＝6，且∠BPC＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
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