人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品达标测试

2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础

第21章《一元二次方程》

章节达标检测

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）

1．（2分）（2022春•庐阳区期末）合肥市装家书店开业，第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第三天收入约为6050元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（　　）

A．5000（1+x）＝6050 B．5000（1+2x）＝6050 

C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050

解：设每天的增长率为x，则x满足的方程是：5000（1+x）2＝6050．

故选：D．

2．（2分）（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（　　）

A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 

C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4

解：x2﹣2x﹣24＝0，

（x﹣6）（x+4）＝0，

x﹣6＝0或x+4＝0，

解得x1＝6，x2＝﹣4，

故选：B．

3．（2分）（2022•高要区二模）若关于x的方程x2+mx+2＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　）

A． B． C．±2 D．2

解：根据题意可得，

a＝1，b＝m，c＝2，

Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣8＝0，

解得：m＝．

故选：B．

4．（2分）（2022•泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）

A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 

C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝6210

解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，

∴一株椽的价钱为3（x﹣1）文．

依题意得：3（x﹣1）x＝6210．

故选：A．

5．（2分）（2022•沈阳二模）一元二次方程3x2+5x﹣1＝0根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法判断

解：∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，

∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，

∴一元二次方程3x2+5x﹣1＝0有两个不相等的实数根．

故选：A．

6．（2分）（2022•南京模拟）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x﹣1＝0 B．＝7 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x+y＝6

解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意；

B．是分式方程，故此选项不符合题意；

C．是一元二次方程，故此选项符合题意；

D．是二元一次方程，故此选项不符合题意．

故选：C．

7．（2分）（2022春•莱芜区期末）以为根的一元二次方程可能是（　　）

A．x2﹣4x﹣c＝0 B．x2+4x﹣c＝0 C．x2﹣4x+c＝0 D．x2+4x+c＝0

解：A．此方程的根为x＝，符合题意；

B．此方程的根为x＝，不符合题意；

C．此方程的根为x＝，不符合题意；

D．此方程的根为x＝，不符合题意；

故选：A．

8．（2分）（2022•哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96 

C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96

解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），

则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．

故选：C．

9．（2分）（2022•黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）

A．8 B．10 C．7 D．9

解：设共有x支队伍参加比赛，

根据题意，可得，

解得x＝10或x＝﹣9（舍），

∴共有10支队伍参加比赛．

故选：B．

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

10．（2分）（2022•淮安模拟）方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为 　﹣1　．

解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，

∴x1+x2＝﹣1，

故答案为：﹣1．

11．（2分）（2022•武侯区模拟）若（a﹣1）x|a+1|﹣3x+4＝0（其中a是常数）是关于x的一元二次方程，则a的值为 　﹣3　．

解：∵（a﹣1）x|a+1|﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，

∴|a+1|＝2且a﹣1≠0，

解得：a＝﹣3．

故答案为：﹣3．

12．（2分）（2022•张家港市一模）已知x＝1是关于x的一元二次方程的解，则m﹣1+a的值为 　1　．

解：由题意得：

，

解得m＝2，

故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，

因为x＝1是关于x的一元二次方程的解，

所以4﹣3﹣2a＝0，

解得a＝，

所以m﹣1+a＝＝＝1．

故答案为：1．

13．（2分）（2021秋•旬邑县期末）方程x（x+2）＝8化成一般形式是 　x2+2x﹣8＝0　．

解：x（x+2）＝8，

x2+2x＝8，

x2+2x﹣8＝0，

故答案为：x2+2x﹣8＝0．

14．（2分）（2022•辽宁）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＞2　．

解：∵一元二次方程x2+2x﹣k+3＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＞0，

即22﹣4×1×（﹣k+3）＞0，

解得：k＞2．

故答案为：k＞2．

15．（2分）（2022•吉首市校级模拟）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n＝mn（m+n）．例如，4※2＝4×2×（4+2）＝48．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则x1※x2＝　20　．

解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝5，x1x2＝4，

∴x1※x2＝x1x2（x1+x2）＝4×5＝20，

故答案为：20．

16．（2分）（2022•襄城区模拟）襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有 　10　个队参加比赛．

解：设共有x个队参加比赛，

依题意得：x（x﹣1）＝90，

解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），

∴共有10个队参加比赛．

故答案为：10．

17．（2分）（2022•银川校级一模）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m＝0为“好友方程”，则m的值是 　0或﹣10　．

解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．

①若x＝0是两个方程相同的实数根．

将x＝0代入方程x2+3x+m＝0，得：m＝0，

∴m＝0，此时原方程为x2+3x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，

∴m＝0；

②若x＝2是两个方程相同的实数根．

将x＝2代入方程x2+3x+m＝0，得：4+6+m＝0，

∴m＝﹣10，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，

∴m＝﹣10．

综上所述：m的值为0或﹣10．

故答案为：0或﹣10．

18．（2分）（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　（用百分数表示）．

解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），

依题意得：100（1+x）2＝169，

解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．

0.3＝30%，

∴新注册用户数的年平均增长率为30%．

故答案为：30%．

19．（2分）（2022•靖江市二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝　0　．

解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根，

∴x1+x2＝6；x1x2＝5．

则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣6+1＝0．

故答案为：0．

三．解答题（共9小题，满分62分）

20．（8分）（2021秋•龙岗区校级期末）把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．

（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2；

（2）．

解：（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；

（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．

21．（6分）（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根．

解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0，

解得：k≥﹣且k≠0；

（2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数，

∴k＝1，

故x2﹣4x+1＝0，

则x2﹣4x+4＝﹣1+4，

故（x﹣2）2＝3，

则x﹣2＝±，

解得：x1＝2+，x2＝2﹣．

22．（6分）（2021秋•邵阳县期末）某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？

解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，

依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理，得：x2﹣30x+200＝0，

解得：x1＝10，x2＝20，

又∵尽快减少库存，

∴x＝20，

∴299﹣x＝279．

答：每件衬衫定价应为279元．

23．（6分）（2021秋•渭滨区期末）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%．

（1）求该广场绿化区域的面积；

（2）求广场中间小路的宽．

解：（1）18×10×80%＝144（平方米）．

答：该广场绿化区域的面积为144平方米．

（2）设广场中间小路的宽为x米，

依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144，

整理，得：x2﹣19x+18＝0，

解得：x1＝1，x2＝18（不合题意，舍去）．

答：广场中间小路的宽为1米．

24．（6分）（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？

解：设路宽应为x米

根据等量关系列方程得：（50﹣2x）（38﹣2x）＝1260，

解得：x＝4或40，

40不合题意，舍去，

所以x＝4，

答：道路的宽应为4米．

25．（6分）（2022•山西二模）如图，矩形ABCD是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边AB的长为40米，边BC的长为25米，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200平方米，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．

解：设人行通道的宽度为x米，则每个展位的长为（25﹣2x）米，宽为米，

依题意得：（25﹣2x）•＝200，

整理得：2x2﹣45x+100＝0，

解得：x1＝，x2＝20（不合题意，舍去）．

答：人行通道的宽度为米．

26．（8分）（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．

（1）求4月份再生纸的产量；

（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；

（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？

解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，

依题意得：x+2x﹣100＝800，

解得：x＝300，

∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500．

答：4月份再生纸的产量为500吨．

（2）依题意得：1000（1+%）×500（1+m%）＝660000，

整理得：m2+300m﹣6400＝0，

解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）．

答：m的值为20．

（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，

依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a，

∴1200（1+y）2＝1500．

答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．

27．（8分）（2022•眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，

依题意得：1000（1+x）2＝1440，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，

依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），

解得：y≤，

又∵y为整数，

∴y的最大值为18．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

28．（8分）（2022•东莞市校级一模）某文具店规定：凡一次购实出规50个以上，（不包括50个），可以按零售价的8折优惠付款，购买50个以下，（包括50个）只能按零售价付款，901班家委长来该店给班上学生购买圆规，如果给全班学生每人购买1个，那么只能按零售价付款，需用480元，如果再多购买12个，那么可以按优惠价付款，同样需要480元．

（1）901班有多少名学生？

（2）为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要多少钱？

解：（1）设圆规的零售价为y元，

依题意，得：+12＝，

解得：y＝10，

经检验，y＝10是原分式方程的解，且符合题意，

∴＝48．

答：901班有48名学生；

（2）为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要（48+3）×10×0.8＝408（元），

答：为了保证班上每个学生都有圆规，至少需要408元钱